橢圓軌道生成、局部 Mordell–Weil 篩，與固定 k 的虧格 5 閉合曲線的五橢圓分解

k = 7/32 的第一個閘是一條撓群為 Z/4 × Z/2 的橢圓曲線，種子點 P 的階為無窮；由 nP + T（n ≤ 100）產生的 200 個正的第一閘狀態全都過不了第二閘，局部篩強迫 n 在兩個軌道族分別被 19,070,251,200 與 12,700,800 整除；虧格 5 曲線的 V4 對稱給出 Jac(C_k) ~ E_f² × E_0 × E_+ × E_−（在 Q 上），經由明確的虧格 1 商與虧格 3 商 H_k。