> 本文為英文原文的全文譯本。研究主張仍以原文為權威來源；翻譯不代表獨立數學驗證。

# 完美長方體 G2B — 橢圓軌道生成與局部 Mordell-Weil 篩

## 固定切片 $k=7/32$

本階段以精確的橢圓曲線生成取代有理數分母枚舉。

第一個平方閘為

$$
q^2
=
F_k(h)
=
\frac{h^2+k^2}{1+k^2h^2}.
$$

當

$$
k=\frac7{32},
$$

時，該閘與下列曲線雙有理等價：

$$
E:
\qquad
y^2
=
(x-2)(x+2)
\left(
x+\frac{1050977}{50176}
\right).
$$

目前的種子

$$
h=\frac47,
\qquad
q=\frac{17}{28}
$$

映至

$$
P
=
\left(
\frac{1497}{64},
\frac{2224625}{14336}
\right).
$$

---

# 1. 精確的撓群結構

此曲線包含下列三個有理 $2$-撓點：

$$
(2,0),
$$

$$
(-2,0),
$$

$$
\left(
-\frac{1050977}{50176},
0
\right).
$$

它也包含

$$
T_4
=
\left(
\frac{1297}{112},
\frac{1632033}{25088}
\right),
$$

且有

$$
2T_4=(2,0),
$$

因此

$$
4T_4=O.
$$

再加上 $(-2,0)$，便得到八個互異的有理撓點。

在良好質數 $11$ 與 $17$ 處，

$$
\#E(\mathbb F_{11})=8,
$$

以及

$$
\#E(\mathbb F_{17})=16.
$$

有理撓群的與 $p$ 互質部分單射至良好約化。結合這兩次約化，可迫使有理撓群的階整除

$$
\gcd(8,16)=8.
$$

由於已展示八個有理撓點，

$$
\boxed{
E(\mathbb Q)_{\mathrm{tors}}
\cong
\mathbb Z/4\mathbb Z
\times
\mathbb Z/2\mathbb Z.
}
$$

種子點 $P$ 不是撓點。

因此

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E(\mathbb Q)\ge1.
}
$$

這裡並未宣稱秩恰為一。

---

# 2. 有界掃描得到的點呈現同一種橢圓軌道模式

令 $Q$ 表示對應於下列值的點：

$$
h=\frac4{33}.
$$

精確的橢圓加法給出

$$
P+Q=T_4.
$$

因此

$$
Q=T_4-P.
$$

以分母掃描至 $20{,}000$ 所找到的四個 Gate-1 點，可由 $P$ 與撓群生成。

模掉下列平方閘對稱性：

$$
h\mapsto-h
$$

以及

$$
h\mapsto\frac1h,
$$

後，兩條標準序列為

$$
H_n
=
\operatorname{can}(h(nP)),
$$

以及

$$
J_n
=
\operatorname{can}(h(T_4-nP)).
$$

它們的首批值為：

$$
H_1=\frac47,
\qquad
J_1=\frac4{33},
$$

$$
H_2=\frac{33}{119},
\qquad
J_2=\frac{256}{817}.
$$

這恰好就是先前分母掃描找到的四個點。

接下來的值已跳出該搜尋區域：

$$
H_3=\frac{19796}{135293},
$$

$$
J_3=\frac{191869}{373428}.
$$

因此，橢圓生成幾乎立即就能離開分母有界的搜尋範圍。

---

# 3. 精確生成至索引 $100$ 的軌道

所有形如

$$
nP+T
$$

的點，皆已在以下範圍內精確生成：

$$
0\le n\le100
$$

並涵蓋全部八個撓點

$$
T\in E(\mathbb Q)_{\mathrm{tors}}.
$$

模掉保閘對稱性

$$
h\mapsto\pm h^{\pm1},
$$

之後，得到

$$
\boxed{
200
}
$$

個互異的正標準 Gate-1 狀態。

這些狀態中的最大分母含有超過五千個十進位數字。

每個狀態都以精確整數平方測試檢查第二個平方閘。

結果：

$$
\boxed{
0
\text{ 個第二閘命中}.
}
$$

這不是對整條橢圓曲線的證明。

這是在已知非撓點 $P$ 與有理撓群所生成的子群上的精確有限排除。

---

# 4. 為何群生成與分母枚舉有本質差異

先前的固定 $k$ 掃描測試每個既約有理數

$$
h=\frac uv
$$

其分母滿足

$$
v\le20{,}000.
$$

橢圓倍乘並非遍歷所有較小分母後，才提高算術高度。

相反，

$$
nP
$$

的高度大致隨 $n$ 呈二次成長。

因此，數十次橢圓加法就已能產生分子、分母含數百或數千位數字的有理狀態。

這正是所需的轉向：

$$
\boxed{
\text{高度枚舉}
\rightarrow
\text{群結構導航}.
}
$$

---

# 5. Mordell-Weil 軌道上的局部平方障礙

假設第二閘在其中一條標準軌道族的某點上是有理平方。

對每個使該有理函數有定義的良好質數 $p$，其約化必須是下列域中的二次剩餘：

$$
\mathbb F_p.
$$

序列

$$
nP
$$

模 $p$ 為週期序列，其週期為

$$
\operatorname{ord}(P\bmod p).
$$

因此，每個質數都給出 $n$ 的一個有限允許同餘類集合。

極點一律保留，絕不用作排除依據。

所得的篩因此不會破壞證明的可靠性。

---

# 6. 第一條標準族

對於

$$
H_n=\operatorname{can}(h(nP)),
$$

結合不超過 $5000$ 的良好質數處的精確局部平方條件，可得必要整除條件

$$
\boxed{
19{,}070{,}251{,}200
\mid n.
}
$$

因此，沒有滿足下列不等式的正索引

$$
n<
19{,}070{,}251{,}200
$$

能在這條已知的 Mordell-Weil 族中通過第二個平方閘。

此結論不需要構造那些點的巨大有理座標。

---

# 7. 撓點平移族

對於

$$
J_n=\operatorname{can}(h(T_4-nP)),
$$

同一個局部篩給出

$$
\boxed{
12{,}700{,}800
\mid n.
}
$$

因此，沒有滿足下列不等式的正索引

$$
n<
12{,}700{,}800
$$

能在此撓點平移族中通過第二個平方閘。

再次強調，這是已知子群上的精確局部障礙，而不是關於 $E$ 上所有有理點的陳述。

---

# 8. 結果的範圍

下列群的自由秩

$$
E(\mathbb Q)
$$

尚未獲得認證。

仍有以下可能：

- 秩大於一；
- $P$ 並未生成完整自由部分；
- 存在額外獨立的 Gate-1 有理族。

因此，局部篩**並未**證明固定 $k$ 的完美長方體切片為空。

它實際證明的內容窄得多，但仍有用：

> 在目前的種子點與有理撓群所生成的子群內，第二閘的交集被迫出現在極大的橢圓索引。

因此，不必在這條軌道上暴力擴充分母範圍。

---

# 9. 下一個精確目標

下一個目標不再是更大的軌道索引。

而是：

$$
\boxed{
\text{確定完整的 Mordell-Weil 結構}
}
$$

並利用虧格 $5$ 的雙平方曲線本身。

隨附的 G2C 分解顯示，其 Jacobian 在同源意義下分裂為五個橢圓因子。

這把下一個證明問題轉化為有限組橢圓秩與覆蓋計算。

---

**G2B 結束**