證明容量代數與自動門檻階梯雙雙判定封閉：全局容量定理、自由晉升定理同時確立，但全局 0.835 重型證書仍 COMPUTE-DEFERRED

Round 15（AMRAL-LUC-FC-R15，2026-09-19）把 Round 14 對每個 claim 只給出的 PASS/FAIL 判定，換成可量化的 proof capacity：在不重算全部 shards 的前提下，現有 distributed evidence graph 最多能把 lower target 推到哪裡，超過此點時究竟只需重算哪些 proof region。本輪先指出 root 本身也有 capacity——outside-root 的合法性來自「a-priori bound ≥ 0.835」，即使 internal shards 之後有巨大 slack，也不能未經 outside-root 支援、或未提高 root master target，就把 theorem target 直接推到 0.8353；因此定義 Root-Domain Capacity C_root（保守取 C_root = T_M，即 phase target），並用 Direct Claim Capacity D(p) = 該 node 所有相容 claim 中 capacity 的最大值，遞迴定義 Recursive Evidence Capacity：C(p) = max(D(p), min(C(p0), C(p1)))，root 記為 C_evidence = C(ε)，並以對 proof tree 的結構歸納完整證明 Evidence Capacity Theorem（定理 6.1：對任意 T ≤ C(p)，既有 evidence graph 可證 B(p) 內所有點 Φ(x) ≥ T）。本輪核心量是 Global Proof Capacity：C_global = min(C_root, C_evidence)，並證明 Free Promotion Theorem——只要新 target T1 ≤ C_global，晉升 T0→T1 不需新增任何 geometry certificate，只需語義驗證器重算 eligibility、全域合併與 publication arithmetic gate 三步；由此推出 Capacity Staircase 結構：target 提升只在各自的 capacity breakpoint 改變 eligibility，故 evidence reuse 呈階梯狀。本輪另定義 Target Feasibility Boolean F_T(p) 與 Deficit Frontier Δ_T（未被既有 evidence 關閉的最前緣 obligations），並提出 Minimum-Cost Repair DP：K_T(p) = min(J_T(p), K_T(p0)+K_T(p1))，以標準動態規劃歸納完整證明其為最小預估成本（Repair DP Theorem），把 Round 13 的 Certified Ancestor Contraction 從單純的 race-safe 復原機制，升格為主動的 cost optimization 選項。為避免每次 target 增加 10⁻⁴ 就重擴 global root、打亂 shard 復用與排程，本輪提出 Phase Master Root 策略，並以設計例 T_M = 0.8365（明白宣告這不是新 lower bound，只是 phase root ceiling）示範：對應 a-priori 半寬 t₃≈0.201023529007、t₅≈0.202618286230、t₇≈0.201473445786（相對 T=0.835 的 t₃≈0.194856180909、t₅≈0.197820670401、t₇≈0.196935046771，半寬比約 1.03165 / 1.02425 / 1.02305），四座標 enclosing-box 體積約增加 11.66%，B7 平移方格約增加 4.66%——一個 domain-amortization 的權衡；並指出官方四體 D+B₃+B₅+B₇ 數值搜尋上限約 0.836494901，故 0.8365 只是自然的 B7-phase 工程上限（PHASE-DESIGN-CHOICE，非定理）。本輪在 Round 14 的本地參考例（e=10⁻⁸）上完整跑通整條機制：四個 leaf capacity（seed 00/11 經 shard-A 為 0.8350003869877956、seed 01 經修正後 shard-B 為 0.8350009574949350、seed 10 經 shard-C 為 0.8350003545377508），推得 C_ref = C(ε) = 0.8350003545377508，並明言「這不是 global Lebesgue lower bound」；示範原 target 0.835 可免新增證書自由晉升至 0.83500035（machine planner 判定 READY），並逐步展示 bottleneck 推進：target 0.83500036 時僅 shard-C/seed-10 落後（Δ_T={10}）；target 0.83500039 時 shard-A（同時覆蓋 seed 00、11）也落後，deficit 名義上是 {00,10,11} 三點，但 job planner 應識別 00 與 11 共用同一 shard-A claim，故實際只需「升級 shard-A ＋升級 shard-C」兩項工作而非三項獨立工作；target 續升至 0.83500095 時仍只有 A/C 落後，至 0.83500096 時連 shard-B 也落後，四個 seed 全數需要新 evidence。本輪並定義四種 Proof Capacity Status Labels（FREE-PROMOTABLE / SHARD-BOTTLENECK / ROOT-BOTTLENECK / MIXED-BOTTLENECK）與 production 用的 automatic threshold ladder 迴圈，並列出四項 COMPUTE-DEFERRED 待辦（C15-1 至 C15-4：production root 換為 phase master、每 shard 保存 capacity 等中繼資料、建立真正 global capacity tree、checkpoint 自動輸出 bottleneck 與 repair plan），指定 Round 16 題目為 Capacity-Aware Global Pilot and Bottleneck Profiler。Reproducibility checklist 中 Root capacity 為 FORMALIZED、Recursive evidence capacity／Global capacity theorem／Free promotion／Minimum-cost repair DP 均為 PROVED、Capacity staircase 為 FORMALIZED + REFERENCE TESTED、Deficit frontier 為 IMPLEMENTED、Phase-master root 為 FORMALIZED、Reference capacity planner 為 PASS，但 Global 0.8350 heavy certificate 仍列為 COMPUTE-DEFERRED——全局界 a_Leb≥0.835 本輪未獲新證，本輪產出的是可重複使用的證明容量演算架構，而非新的數值下界。研究發起與方法論來源為 Neo.K；本輪 AI 協力研究者與主要執行者為 Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol。