# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 15
## Global Proof Capacity and Automatic Threshold Ladder

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R15  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 15 / Capacity-aware lower-bound ladder  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R14 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要判定

Round 14 已讓每個 claim 不再只有：

`PASS / FAIL`

而有 quantitative proof capacity。

Round 15 的核心問題：

> 在不重算全部 shards 的情況下，現有 distributed evidence graph 最多能把 lower target 推到哪裡？超過那個點時，究竟只需要重算哪些 proof regions？

本輪得到：

1. Root-Domain Capacity；
2. Recursive Evidence Capacity；
3. Global Capacity Theorem；
4. Free Promotion；
5. Capacity Staircase；
6. Bottleneck / Deficit Frontier；
7. Minimum-Cost Repair Dynamic Programming；
8. phase-master root strategy；
9. actual reference capacity planner。

本輪判定：

$$
\boxed{
\text{PROOF CAPACITY ALGEBRA: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{THRESHOLD LADDER AUTOMATION: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{GLOBAL }0.8350\text{ HEAVY CERTIFICATE: STILL COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

---

# 1. 第一個不能忽略的限制：root 也有 capacity

若 global proof只在：

$$
|t_3|\le t_3(0.835),
\qquad
|t_5|\le t_5(0.835)
$$

內 exhaustive certification，

outside-root 的合法性來自：

$$
\text{a-priori bound}\ge0.835.
$$

即使所有 internal shards後來都有巨大 slack，

也不能直接把 theorem target提高到：

$$
0.8353
$$

除非：

- outside-root proof也支援 $0.8353$；
- 或 root本來就用更高 master target建立。

所以：

$$
\boxed{
\text{shard slack不是唯一 capacity}.
}
$$

---

# 2. Root-Domain Capacity

定義：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{root}}
}
$$

為目前 root + outside-root exclusion theorem 可以支援的最高 target。

若 root直接按 phase target：

$$
T_M
$$

建：

$$
t_n=t_n(T_M),
$$

則至少：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{root}}\ge T_M.
}
$$

在本 program中通常直接把 phase contract寫：

$$
C_{\mathrm{root}}=T_M.
$$

保守且清楚。

---

# 3. Direct Claim Capacity

對 proof-tree node：

$$
p,
$$

所有直接證：

$$
B(p)
$$

的 current-compatible claims集合：

$$
\mathcal C(p).
$$

Round 14給每個：

$$
c
$$

capacity：

$$
\operatorname{Cap}(c).
$$

定義：

$$
\boxed{
D(p)
=
\max_{c\in\mathcal C(p)}
\operatorname{Cap}(c).
}
$$

如果沒有：

$$
\mathcal C(p),
$$

則：

$$
D(p)=-\infty.
$$

---

# 4. Recursive Evidence Capacity

如果 node：

$$
p
$$

有完整 child partition：

$$
p0,p1,
$$

則：

$$
\boxed{
C(p)
=
\max
\left\{
D(p),
\min
\{
C(p0),C(p1)
\}
\right\}.
}
$$

如果沒有完整 child evidence branch：

$$
C(p)=D(p).
$$

root：

$$
\epsilon.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{evidence}}
=
C(\epsilon).
}
$$

---

# 5. 為什麼是 max-min

有兩條合法 proof route。

## Route A：Direct ancestor

直接用 claim：

$$
c_p.
$$

最多支援：

$$
D(p).
$$

## Route B：Split composition

要用 children覆蓋 parent，

左右兩邊都必須成立。

所以 threshold受較弱 child限制：

$$
\min
\{
C(p0),C(p1)
\}.
$$

兩條 route可選較強者：

$$
\max.
$$

因此得到 max-min recursion。

---

# 6. Evidence Capacity Theorem

## 定理 6.1

對任意：

$$
T\le C(p),
$$

registered evidence graph可證：

$$
\forall x\in B(p),
\quad
\Phi(x)\ge T.
$$

### 證明

對 proof tree結構歸納。

若：

$$
C(p)=D(p),
$$

存在 direct compatible claim支援至少：

$$
T.
$$

若：

$$
C(p)
=
\min
\{
C(p0),C(p1)
\},
$$

則兩 child皆證：

$$
\ge T.
$$

且：

$$
B(p)
\subseteq
B(p0)\cup B(p1).
$$

故 parent成立。

如果兩種 route capacity相同，任取其一。

Q.E.D.

---

# 7. Relative Optimality

在固定：

- registered evidence graph；
- registered semantic migration rules；
- direct claim / binary child composition grammar；

下：

$$
C(p)
$$

就是可導出的最高 threshold。

這不是在說不存在另一個尚未加入的新數學證明。

它只是在說：

$$
\boxed{
\text{current evidence graph 的 proof ceiling}.
}
$$

---

# 8. Global Proof Capacity

global theorem target同時受：

- root；
- evidence；

限制。

所以：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{global}}
=
\min
\{
C_{\mathrm{root}},
C_{\mathrm{evidence}}
\}.
}
$$

這是 Round 15 的核心 quantity。

---

# 9. Free Promotion Theorem

若 current canonical target：

$$
T_0
<
T_1
\le
C_{\mathrm{global}},
$$

則不需要新增 geometry certificate。

只需：

1. semantic validator用：

   $$
   T_1
   $$

   重算 eligibility；

2. global merge；
3. publication arithmetic gate。

所以：

$$
\boxed{
T_0\to T_1
}
$$

是 free proof promotion。

---

# 10. Capacity Staircase

當 target從低往高移動，

claim eligibility只會在其 capacity breakpoint被改變。

所以 evidence reuse呈階梯狀：

$$
\boxed{
T_1<T_2<\cdots<T_k.
}
$$

每跨一個 breakpoint，

只有該 breakpoint附近的 bottleneck evidence需要新 work。

---

# 11. Target Feasibility Boolean

對 target：

$$
T,
$$

定義：

$$
F_T(p).
$$

若 direct：

$$
D(p)\ge T,
$$

則：

$$
F_T(p)=1.
$$

否則若 complete children存在：

$$
F_T(p)
=
F_T(p0)\land F_T(p1).
$$

無可用 route：

$$
F_T(p)=0.
$$

---

# 12. Deficit Frontier

若：

$$
F_T(\epsilon)=0,
$$

沿 proof tree往下找第一批未被既有 evidence closure 的 obligations。

稱：

$$
\boxed{
\Delta_T
}
$$

為 target deficit frontier。

scheduler只需對：

$$
\Delta_T
$$

發新 jobs。

---

# 13. Reference capacity

Round 14 local reference，current：

$$
e=10^{-8}.
$$

leaf direct capacities：

## Seed `00`

由 shard-A：

$$
0.8350003869877956.
$$

## Seed `01`

由 corrected shard-B：

$$
0.8350009574949350.
$$

## Seed `10`

由 shard-C：

$$
\boxed{
0.8350003545377508.
}
$$

## Seed `11`

由 shard-A：

$$
0.8350003869877956.
$$

---

# 14. Reference tree calculation

child：

$$
0
$$

capacity：

$$
\min
(
C(00),C(01)
)
=
0.8350003869877956.
$$

child：

$$
1
$$

capacity：

$$
\min
(
C(10),C(11)
)
=
0.8350003545377508.
$$

root：

$$
\boxed{
C(\epsilon)
=
0.8350003545377508.
}
$$

因 local reference scope沒有 outside-global-root obligation，

本例 root capacity視為 scope-fixed。

所以 reference proof capacity：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{ref}}
=
0.8350003545377508.
}
$$

這不是 global Lebesgue lower bound。

---

# 15. Reference Free Promotion

原 target：

$$
0.835.
$$

現有 evidence不新增證書即可支援：

$$
\boxed{
0.83500035
}
$$

within local reference scope。

machine planner驗證：

`READY`

---

# 16. First bottleneck

若 target：

$$
0.83500036,
$$

則：

- `00`：pass；
- `01`：pass；
- `10`：fail；
- `11`：pass。

所以：

$$
\boxed{
\Delta_T=\{10\}.
}
$$

只需要 shard-C / seed-10的新 evidence。

---

# 17. Second capacity step

target：

$$
0.83500039.
$$

此時 shard-A capacity也低於 target。

deficit：

$$
\boxed{
\{00,10,11\}.
}
$$

但：

`00`

與：

`11`

共用同一 shard-A claim。

所以 job planner應識別：

$$
\boxed{
\text{upgrade shard-A}
+
\text{upgrade shard-C}
}
$$

而不是三個完全獨立工作。

---

# 18. Higher reference targets

target：

$$
0.83500095
$$

仍然：

- B pass；
- A/C fail。

target：

$$
0.83500096
$$

則 B也超過 capacity：

$$
\boxed{
\{00,01,10,11\}
}
$$

全部需要新 evidence。

---

# 19. Minimum-Cost Repair DP

現在不只想知道：

> 哪些 seed fail？

還想知道：

> 證 ancestor比較便宜，還是分別補 descendants？

令：

$$
J_T(p)
$$

為直接重新證：

$$
B(p)
$$

到 target：

$$
T
$$

的預估 cost。

定義：

$$
K_T(p).
$$

若已有：

$$
F_T(p)=1,
$$

則：

$$
K_T(p)=0.
$$

否則 complete children存在時：

$$
\boxed{
K_T(p)
=
\min
\left\{
J_T(p),
K_T(p0)+K_T(p1)
\right\}.
}
$$

若無 child decomposition：

$$
K_T(p)=J_T(p).
$$

---

# 20. Repair DP Theorem

在以下 job grammar：

- direct recertification at node；
- independent child repairs；
- additive cost forecast；

下，

上述：

$$
K_T(p)
$$

是最小 forecast cost。

### 證明

node只有兩種 closure方式：

1. direct；
2. both children。

取兩者 cost minimum。

children再遞迴 optimal。

標準 dynamic programming induction。

Q.E.D.

---

# 21. Ancestor contraction 的規劃版本

Round 13：

Certified Ancestor Contraction是 race-safe merge rule。

Round 15：

$$
J_T(p)
$$

允許 planner主動問：

> 與其重算很多 descendants，是不是直接重證 ancestor $p$ 更便宜？

所以 ancestor contraction從：

`race recovery`

升成：

$$
\boxed{
\text{cost optimization option}.
}
$$

---

# 22. Cost 不進 proof

$$
J_T(p)
$$

可以不準。

最壞只是排程慢。

它不影響：

- certificate validity；
- target；
- domain coverage。

所以 planner可以用 learned cost model。

---

# 23. Phase Master Root

如果每次 target增加：

$$
10^{-4}
$$

就重新擴 global root，

會造成：

- frontier identity大量變動；
- shard不能直接 reuse；
- scheduler重排。

所以 Round 15建議 phase開始先選：

$$
\boxed{
T_M>T_{\rm immediate}.
}
$$

---

# 24. Reuleaux phase example

本輪設計例：

$$
\boxed{
T_M=0.8365.
}
$$

這不是新 lower bound。

只是一個 phase root ceiling。

對 a-priori formula：

$$
d_\star
\approx
0.699860544061.
$$

translation：

$$
\boxed{
t_3
\approx
0.201023529007,
}
$$

$$
\boxed{
t_5
\approx
0.202618286230,
}
$$

$$
\boxed{
t_7
\approx
0.201473445786.
}
$$

---

# 25. Master-root overhead

相對：

$$
T=0.835
$$

root：

$$
t_3
\approx
0.194856180909,
$$

$$
t_5
\approx
0.197820670401,
$$

$$
t_7
\approx
0.196935046771.
$$

halfwidth ratio：

$$
\frac{t_3(0.8365)}{t_3(0.835)}
\approx
1.03165,
$$

$$
\frac{t_5(0.8365)}{t_5(0.835)}
\approx
1.02425,
$$

$$
\frac{t_7(0.8365)}{t_7(0.835)}
\approx
1.02305.
$$

base四個 translation coordinates的 enclosing-box volume約增加：

$$
\boxed{
11.66\%.
}
$$

B7 translation square約增加：

$$
\boxed{
4.66\%.
}
$$

這是 domain-amortization tradeoff。

---

# 26. Why 0.8365 is only a phase design

官方四體：

$$
D+B_3+B_5+B_7
$$

numerical search ceiling約：

$$
0.836494901.
$$

所以：

$$
0.8365
$$

是自然的 B7-phase engineering ceiling。

但：

- numerical ceiling不是 rigorous family minimum；
- future witness batch可能超越 B7-only phase。

因此：

`PHASE-DESIGN-CHOICE`

不是 theorem。

---

# 27. Root capacity wall

如果 future：

$$
C_{\mathrm{evidence}}
=
0.8366
$$

但：

$$
C_{\mathrm{root}}
=
0.8365,
$$

則：

$$
C_{\mathrm{global}}
=
0.8365.
$$

此時再重算 shard無用。

真正 bottleneck：

$$
\boxed{
\text{master root}.
}
$$

需要 new phase。

---

# 28. Automatic threshold ladder

production loop：

```text
load Hot Proof Core
compute claim capacities
compute evidence-tree capacity
compute root capacity
global_capacity = min(root,evidence)

if desired target <= global_capacity:
    free semantic promotion
else:
    compute target deficit frontier
    compute minimum-cost repair plan
    issue only selected jobs
    merge
    repeat
```

---

# 29. Ladder target selection

可有兩種模式。

## Publication Grid

例如：

$$
10^{-4}
$$

或：

$$
10^{-5}
$$

固定 decimal milestones。

優點：

- 清楚；
- 易引用。

## Capacity-Driven

直接把 target推到：

$$
C_{\mathrm{global}}-\epsilon_{\rm guard}.
$$

優點：

- 不浪費已有 slack。

建議 research internal用 capacity-driven，

public theorem用易讀 decimal。

---

# 30. Bottleneck claim groups

scheduler輸出不只：

```text
failed seeds
```

還要輸出：

```text
shared claims responsible
```

因一個 shard recertification可能同時提升多 seed。

這可以降低 job count。

---

# 31. Claim-set alternative routes

如果 node有：

- direct ancestor claim；
- descendants claims；

planner會自動選 capacity較高 route。

target改變後，optimal route可能切換。

所以 active proof skeleton本身可以跟 target一起變。

不需要刪任何 evidence。

---

# 32. Capacity snapshot

Round 15 package附：

`reference_capacity_snapshot.json`

保存：

- node capacity；
- optimal modes；
- leaf capacities；
- breakpoints；
- sample target deficit frontier；
- free-promotion example。

---

# 33. Root Capacity Contract

future global checkpoint必須新增：

```text
root_capacity
master_target
root_domain_parameters
outside_root_exclusion_rule
```

沒有：

`root_capacity`

的 capacity planner禁止宣稱 global target promotion。

---

# 34. Proof Capacity Status Labels

## `FREE-PROMOTABLE`

$$
T\le C_{\mathrm{global}}.
$$

## `SHARD-BOTTLENECK`

$$
C_{\mathrm{evidence}}
<
\min(
T,
C_{\mathrm{root}}
).
$$

## `ROOT-BOTTLENECK`

$$
C_{\mathrm{root}}
<
\min(
T,
C_{\mathrm{evidence}}
).
$$

## `MIXED-BOTTLENECK`

兩者同時不足。

---

# 35. COMPUTE-DEFERRED

## C15-1

Global $0.835$ production root一開始就改成 phase master：

$$
T_M=0.8365
$$

或經 pilot後選定的 phase target。

## C15-2

每個 global shard保存：

- proved threshold；
- error budget；
- worst slack；
- capacity。

## C15-3

建立 real global capacity tree。

## C15-4

每次 checkpoint自動輸出：

- current global capacity；
- bottleneck seeds；
- bottleneck claims；
- next free target；
- repair plan。

---

# 36. Round 16 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R16
### Capacity-Aware Global Pilot and Bottleneck Profiler

如果 heavy compute仍未回來：

下一輪可以真的建立：

$$
T_M=0.8365
$$

global master-root pilot emitter，

先跑有限 seed depth，不追完整 $0.835$ closure，而量測：

- APR prune率；
- REP prune率；
- CORE prune率；
- retained hard seeds；
- predicted B7 lift cost；
- root/master-domain overhead；
- capacity-aware shard sizing。

然後本地端就有一個真正可以開始長跑的 global job package。

---

# 37. Reproducibility checklist

## Root capacity

`FORMALIZED`

## Recursive evidence capacity

`PROVED`

## Global capacity theorem

`PROVED`

## Free promotion

`PROVED`

## Capacity staircase

`FORMALIZED + REFERENCE TESTED`

## Deficit frontier

`IMPLEMENTED`

## Minimum-cost repair DP

`PROVED`

## Phase-master root

`FORMALIZED`

## Reference capacity planner

`PASS`

## Global $0.8350$ heavy certificate

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 38. 最短交接結論

Round 15 把 distributed proof第一次變成：

$$
\boxed{
\text{quantitative theorem resource}.
}
$$

不再只是：

> 哪些 shards PASS？

而是：

> 現有全部 evidence 最多能共同證到多少？

核心：

$$
\boxed{
C(p)
=
\max
\left(
D(p),
\min(C(p0),C(p1))
\right)
}
$$

以及：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{global}}
=
\min(
C_{\mathrm{root}},
C_{\mathrm{evidence}}
).
}
$$

超過 capacity時，

也不用全部重算。

只需計算：

$$
\boxed{
\Delta_T
}
$$

與：

$$
\boxed{
K_T(\epsilon)
}
$$

就能找到下一批 bottleneck work。

所以後續 lower-bound progress可以變成一條真正自動化的：

$$
\boxed{
\text{threshold ladder}.
}
$$