有限見證完備性證明成立，飽和閘門正式形式化：Finite Witness Attainment 仍是未解猜想

Round 05（AMRAL-LUC-FC-R05，v0.1，2026-09-18）在 Round 01–04 完成 target→placement→candidate cover 三層 finite-resolution compiler 之後，將問題由「能不能有限化」改寫為「有限 hierarchy 何時真的可以在有限層停止」，正式開啟 LUC-FC 研究線的 Saturation 階段。本輪建立有限見證下界泛函 Λ(F)（對有限見證族 F 取 min，並證明其可被取到而非僅為 inf），並證明 Finite-Witness Completeness 定理：a_Leb = sup 於所有有限 F 之上的 Λ(F)——即真值在極限意義下確實可被有限族逼近。在此之上定義 cardinality ladder λ_m（至多 m 個見證的最佳有限下界），證明 λ_m↑a_Leb 且每一層 λ_m 皆可取到 maximum，並證明 No False Permanent Saturation 定理：只要 λ_m 仍嚴格小於 a_Leb，就必存在更大的 m′ 使 λ_m′ 嚴格更大——連續幾層數值不變本身不足以證明 permanent plateau。本輪另外為未來的 global candidate-cell branch-and-bound 建立 cell-local 面積下界（LB_outer、LB_env、LB_tip）與兩條安全剪枝規則（outer non-universality prune、area prune），並證明嚴格 non-universal 或嚴格 suboptimal 的 candidate 在無限細化下終將被剪除。全篇最關鍵、承載全局安全性的單一定理是結論 A：「finite-resolution convergence 不蘊含 finite exact closure」，其證明方式是與無理數逼近的精確類比——一列有理數可以收斂到一個無理數，卻沒有任何一項真正等於該無理數；有限見證族逼近 a_Leb 的方式與此同構。本輪因此明確不宣稱有限恰好飽和已經成立，而是將其列為獨立的 Finite Witness Attainment Conjecture（是否存在有限 m⋆ 使 λ_{m⋆}=a_Leb），並清楚聲明此猜想可能為真也可能為假，不應因數值穩定就提前宣稱成立。文中也重新核實 Mishra 2026 的已知結果：其三見證家族給出的是 λ_3 ≥ 0.8344 這一嚴格下界證書，而非 λ_3 = 0.8344 的精確值；連同 Gibbs 上界 0.8440935944，公開已知 squeeze 區間寬度約 0.0096935944，本輪未改變此區間。研究方向與方法論來源為 Neo.K；本輪執行者為 Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol。