# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 05
## Global Candidate-Cell Branch-and-Bound and the Saturation Gate

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R05  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 05 / 正式攻堅 / Saturation theory  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R04 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要判定

Round 01–04 已完成三層 finite-resolution compiler：

$$
\text{target}
\to
\text{placement}
\to
\text{candidate cover}.
$$

因此 Round 05 不再問：

> 能不能有限化？

而改問：

$$
\boxed{
\text{有限 hierarchy 何時真的可以在有限層停止？}
}
$$

本輪得到六個核心結論。

---

## 結論 A：Convergence 不等於 finite saturation

若只有：

$$
L_n\uparrow L
$$

或：

$$
U_n\downarrow U,
$$

以及顯式誤差：

$$
\varepsilon_n\to0,
$$

並不能推出：

$$
\exists n_\star:
L_{n_\star}=L.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{finite-resolution convergence}
\not\Rightarrow
\text{finite exact closure}.
}
$$

Round 04 的 polygon hierarchy 與 Zeng 型 finite hierarchy 都必須另外處理「是否有限達成」問題。

---

## 結論 B：有限 hard-witness family 是完整的 lower-bound 語言

對有限：

$$
\mathcal F
=
\{K_1,\ldots,K_m\}
$$

定義：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F)
=
\min_{g_1,\ldots,g_m\in E(2)}
\operatorname{Area}
\left(
\operatorname{conv}
\bigcup_{i=1}^m
g_iK_i
\right).
}
$$

則：

$$
\Lambda(\mathcal F)
\le
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

更重要的是：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
=
\sup_{\mathcal F\ \mathrm{finite}}
\Lambda(\mathcal F).
}
$$

所以有限 witness families 在極限上是 complete 的。

---

## 結論 C：建立 finite-witness cardinality hierarchy

令：

$$
\lambda_m
$$

為所有至多 $m$ 個 unit constant-width witnesses 中可得到的最佳 finite-witness lower bound。

則：

$$
\boxed{
\lambda_1
\le
\lambda_2
\le
\cdots
\le
a_{\mathrm{Leb}},
}
$$

且：

$$
\boxed{
\lambda_m
\to
a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

每一層：

$$
\lambda_m
$$

都能取到 maximum。

---

## 結論 D：No False Permanent Saturation

若：

$$
\lambda_m
<
a_{\mathrm{Leb}},
$$

則存在：

$$
m'>m
$$

使：

$$
\boxed{
\lambda_{m'}
>
\lambda_m.
}
$$

所以 finite-witness hierarchy 不可能在真值以下永久 plateau。

若卡住，代表：

- 還沒找到能排除全部現有 minimizers 的 witnesses；
- 或真的已達 exact saturation。

---

## 結論 E：Exact finite saturation 的停止條件被壓成一個匹配證書

若存在有限 witness family：

$$
\mathcal F_\star
$$

與 universal cover：

$$
U_\star
$$

使：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F_\star)
=
\operatorname{Area}(U_\star)
=
A_\star,
}
$$

則：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
=
A_\star.
}
$$

這就是本計畫的 exact finite saturation criterion。

---

## 結論 F：Candidate-cell branch-and-bound 有安全 prune 規則

每個 support cell 都有：

1. outer polygon non-universal prune；
2. cell area lower-bound prune；
3. recursive refinement；
4. strict non-universal / strict suboptimal cell 的 eventual prune theorem。

因此 hierarchy 的 active cells 會逐漸集中到：

$$
\boxed{
W(U)=0
}
$$

且面積接近 optimum 的 frontier。

---

本輪總判定：

$$
\boxed{
\text{SATURATION GATE: FORMALIZED}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{FINITE ATTAINMENT: OPEN}
}
$$

---

# 1. 為何 convergence 本身不夠

考慮最簡單的有限網格逼近：

$$
x_n
=
\frac{\lfloor n\alpha\rfloor}{n},
$$

其中：

$$
\alpha
$$

是 irrational number。

則：

$$
x_n\to\alpha,
$$

但一般：

$$
x_n\neq\alpha
$$

對所有 finite：

$$
n.
$$

所以從：

$$
|x_n-\alpha|
\to0
$$

不能推出：

$$
\exists n:
x_n=\alpha.
$$

幾何 hierarchy 同理。

即使：

$$
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
-
\beta_{M,q}
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A^{\mathrm{poly}}_{M,q},
$$

且：

$$
\beta_{M,q}\to0,
$$

仍不能只憑此推出某個有限：

$$
(M,q)
$$

已經得到 exact equality。

因此 Round 05 將：

$$
\boxed{
\text{convergence}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{finite attainment}
}
$$

正式分離。

---

# 2. Finite witness lower functional

令：

$$
\mathcal W_1^0
$$

為 Round 01 的 centered unit constant-width target family。

令：

$$
D
=
B_{1/2}(0)
$$

為 unit-diameter disk。

考慮有限 family：

$$
\mathcal F
=
\{D,K_2,\ldots,K_m\},
\qquad
K_i\in\mathcal W_1^0.
$$

定義：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F)
=
\inf_{g_1,\ldots,g_m\in E(2)}
\operatorname{Area}
\left(
\operatorname{conv}
\bigcup_i g_iK_i
\right).
}
$$

因整個 configuration 可以共同施加同一 isometry，所以可固定 disk：

$$
g_1D=D.
$$

---

# 3. Finite witness lower bound theorem

## 定理 3.1

對任意有限：

$$
\mathcal F,
$$

有：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F)
\le
a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

### 證明

任取 universal cover：

$$
U.
$$

對每個：

$$
K_i\in\mathcal F,
$$

存在：

$$
g_i\in E(2)
$$

使：

$$
g_iK_i
\subseteq
U.
$$

因：

$$
U
$$

凸，所以：

$$
\operatorname{conv}
\bigcup_i g_iK_i
\subseteq
U.
$$

因此：

$$
\operatorname{Area}(U)
\ge
\operatorname{Area}
\left(
\operatorname{conv}
\bigcup_i g_iK_i
\right)
\ge
\Lambda(\mathcal F).
$$

再對 universal covers 取 infimum：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
\ge
\Lambda(\mathcal F).
$$

Q.E.D.

---

# 4. $\Lambda(\mathcal F)$ 的 minimum 會被取到

Round 05 不希望把：

$$
\inf
$$

在沒有 attainment 的情況下偷偷當成：

$$
\min.
$$

由已知 universal cover upper bound：

$$
\bar A,
$$

有限 family：

$$
\mathcal F
$$

一定可被某個面積：

$$
\le\bar A
$$

的 universal cover 同時容納。

因此在計算：

$$
\Lambda(\mathcal F)
$$

時可限制到 candidate class：

$$
\mathcal C_{\bar A}.
$$

Round 04 已證：

$$
\mathcal C_{\bar A}
$$

compact。

對固定 target：

$$
K,
$$

集合：

$$
\mathcal C(K)
=
\{U\in\mathcal C_{\bar A}:K\text{ fits in }U\}
$$

是 closed。

因此：

$$
\bigcap_{K\in\mathcal F}
\mathcal C(K)
$$

為 nonempty compact set。

area functional 對 convex-body Hausdorff convergence 連續，所以存在：

$$
U_{\mathcal F}
$$

使：

$$
\operatorname{Area}(U_{\mathcal F})
=
\min
\left\{
\operatorname{Area}(U):
U\text{ covers every }K\in\mathcal F
\right\}.
$$

對任一 placement 的 convex hull 本身就是一個 cover；反之任何 cover 都包含 placement hull。

故：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F)
=
\min
\left\{
\operatorname{Area}(U):
U\text{ covers }\mathcal F
\right\}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\inf
\text{ can be promoted to }
\min.
}
$$

---

# 5. Fit-set closedness

這是後續 compactness argument 的必要接口。

## 定理 5.1

對固定 compact target $K$：

$$
\mathcal C(K)
=
\{U\in\mathcal C_{\bar A}:K\text{ fits in }U\}
$$

在 Hausdorff topology 下 closed。

### 證明

令：

$$
U_n\to U
$$

且每個：

$$
U_n
$$

都能容納：

$$
g_nK.
$$

由 Round 04：

$$
U_n
\subseteq
B_R
$$

一致有界。

所以：

$$
g_nK
\subseteq
B_R.
$$

rotation / reflection 部分位於 compact：

$$
O(2).
$$

translation 因 $g_nK$ 有界而有界。

因此可取 subsequence：

$$
g_{n_j}\to g.
$$

由：

$$
g_{n_j}K
\subseteq
U_{n_j}
$$

與 Hausdorff convergence，得到：

$$
gK\subseteq U.
$$

Q.E.D.

---

# 6. Finite-witness completeness theorem

## 定理 6.1

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
=
\sup_{\mathcal F\subset\mathcal W_1^0,\ \mathcal F\ finite,\ D\in\mathcal F}
\Lambda(\mathcal F).
}
$$

### 第一方向

由定理 3.1：

$$
\Lambda(\mathcal F)
\le
a_{\mathrm{Leb}}
$$

對所有 finite family 成立。

所以：

$$
\sup_{\mathcal F\ finite}
\Lambda(\mathcal F)
\le
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

---

### 第二方向

反設存在：

$$
A
<
a_{\mathrm{Leb}}
$$

使：

$$
\Lambda(\mathcal F)
\le A
$$

對所有有限：

$$
\mathcal F
$$

都成立。

考慮 compact candidate class：

$$
\mathcal C_A
=
\left\{
U:
\begin{array}{l}
B_{1/2}(0)\subseteq U,\\
U\text{ compact convex},\\
\operatorname{Area}(U)\le A
\end{array}
\right\}.
$$

若：

$$
A<\frac{\pi}{4},
$$

則連 disk 都無法容納，矛盾立即成立。

故只需：

$$
A\ge\frac{\pi}{4}.
$$

對每個：

$$
K\in\mathcal W_1^0,
$$

定義 closed set：

$$
S_K
=
\{U\in\mathcal C_A:K\text{ fits in }U\}.
$$

假設任意有限：

$$
K_1,\ldots,K_m
$$

都滿足：

$$
\Lambda(\{D,K_1,\ldots,K_m\})\le A.
$$

則：

$$
S_{K_1}\cap\cdots\cap S_{K_m}
\neq\varnothing.
$$

所以 family：

$$
\{S_K\}_{K\in\mathcal W_1^0}
$$

具有 finite intersection property。

因：

$$
\mathcal C_A
$$

compact，得到：

$$
\bigcap_{K\in\mathcal W_1^0}
S_K
\neq\varnothing.
$$

也就是存在：

$$
U\in\mathcal C_A
$$

可容納全部 unit constant-width targets。

由 Round 01 constant-width reduction，$U$ 是 Lebesgue universal cover。

因此：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A,
$$

與：

$$
A<a_{\mathrm{Leb}}
$$

矛盾。

故對任意：

$$
A<a_{\mathrm{Leb}},
$$

都存在 finite：

$$
\mathcal F
$$

使：

$$
\Lambda(\mathcal F)>A.
$$

因此：

$$
\sup_{\mathcal F\ finite}
\Lambda(\mathcal F)
\ge
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

Q.E.D.

---

# 7. Finite-witness cardinality hierarchy

定義：

$$
\boxed{
\lambda_m
=
\sup
\left\{
\Lambda(\mathcal F):
D\in\mathcal F,
\ |\mathcal F|\le m
\right\}.
}
$$

則顯然：

$$
\lambda_m
\le
\lambda_{m+1}
\le
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

由定理 6.1：

$$
\boxed{
\lim_{m\to\infty}\lambda_m
=
a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

---

# 8. 每一個 $\lambda_m$ 都會取到

為了把：

$$
\sup
$$

提升成：

$$
\max,
$$

考慮 target tuple：

$$
(K_1,\ldots,K_m)
\in
(\mathcal W_1^0)^m
$$

其中：

$$
K_1=D.
$$

Round 01 已證：

$$
\mathcal W_1^0
$$

compact。

需要證：

$$
\Lambda(K_1,\ldots,K_m)
$$

對 tuple 連續。

---

# 9. Finite-witness value 的 uniform continuity

假設：

$$
d_H(K_i,L_i)
\le
\varepsilon
$$

對所有：

$$
i.
$$

令：

$$
U_K
$$

為 $K$-tuple 的 optimal finite-family cover。

因 family 包含 disk，可 anchor：

$$
B_{1/2}(0)\subseteq U_K.
$$

且：

$$
\operatorname{Area}(U_K)
\le
\bar A.
$$

Round 04 給出：

$$
U_K\subseteq B_R,
\qquad
R=2\bar A.
$$

用 $K_i$ 的 optimal placements：

$$
g_iK_i\subseteq U_K.
$$

由 Hausdorff 距離：

$$
g_iL_i
\subseteq
g_iK_i+\varepsilon B
\subseteq
U_K+\varepsilon B.
$$

所以：

$$
\Lambda(L_1,\ldots,L_m)
\le
\operatorname{Area}(U_K+\varepsilon B).
$$

Steiner formula：

$$
\operatorname{Area}(U_K+\varepsilon B)
=
\Lambda(K_1,\ldots,K_m)
+
\varepsilon\operatorname{Per}(U_K)
+
\pi\varepsilon^2.
$$

又：

$$
\operatorname{Per}(U_K)
\le
2\pi R
=
4\pi\bar A.
$$

所以：

$$
\Lambda(L)
-
\Lambda(K)
\le
4\pi\bar A\varepsilon
+
\pi\varepsilon^2.
$$

交換 $K,L$：

$$
\boxed{
|\Lambda(K)-\Lambda(L)|
\le
4\pi\bar A\varepsilon
+
\pi\varepsilon^2.
}
$$

因此：

$$
\Lambda
$$

在 compact product target space 上連續。

故：

$$
\boxed{
\lambda_m
\text{ is attained for every finite }m.
}
$$

可寫：

$$
\lambda_m
=
\max_{|\mathcal F|\le m}
\Lambda(\mathcal F).
$$

---

# 10. 已知公開 lower bound 在這個 ladder 中的位置

對：

$$
m=1,
$$

只有 disk witness：

$$
D=B_{1/2},
$$

所以：

$$
\boxed{
\lambda_1
=
\frac{\pi}{4}
\approx
0.7853981634.
}
$$

Mishra 2026 使用 finite constant-width family：

- disk；
- Reuleaux triangle；
- Reuleaux pentagon；

得到嚴格 lower bound：

$$
0.8344.
$$

因此至少可記：

$$
\boxed{
\lambda_3
\ge
0.8344.
}
$$

這不代表：

$$
\lambda_3=0.8344.
$$

Mishra 結果只提供該 finite family 的 certified lower contribution。

目前 Gibbs 已證：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
\le
0.8440935944.
$$

所以公開已知 squeeze 至少為：

$$
0.8344
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
0.8440935944.
$$

gap：

$$
\boxed{
0.0096935944.
}
$$

---

# 11. No False Permanent Saturation theorem

## 定理 11.1

若：

$$
\lambda_m
<
a_{\mathrm{Leb}},
$$

則存在：

$$
m'>m
$$

使：

$$
\boxed{
\lambda_{m'}
>
\lambda_m.
}
$$

### 證明

因：

$$
\lambda_m
$$

會被取到，選 maximizing family：

$$
\mathcal F_m
$$

使：

$$
\Lambda(\mathcal F_m)
=
\lambda_m.
$$

令：

$$
\mathcal M_m
$$

為所有：

- cover $\mathcal F_m$；
- area 正好：

$$
\lambda_m
$$

的 minimizing covers。

它是 compact。

由：

$$
\lambda_m
<
a_{\mathrm{Leb}},
$$

沒有：

$$
U\in\mathcal M_m
$$

是 universal。

所以對每個：

$$
U\in\mathcal M_m,
$$

存在：

$$
K_U\in\mathcal W_1^0
$$

使：

$$
K_U
$$

不能放入 $U$。

對固定：

$$
K,
$$

fit set：

$$
S_K
$$

closed。

因此 non-fit set：

$$
N_K
=
\mathcal M_m\setminus S_K
$$

在：

$$
\mathcal M_m
$$

中 open。

family：

$$
\{N_{K_U}\}_{U\in\mathcal M_m}
$$

覆蓋 compact：

$$
\mathcal M_m.
$$

所以存在 finite subcover：

$$
N_{K_1},
\ldots,
N_{K_r}.
$$

令：

$$
\mathcal F'
=
\mathcal F_m
\cup
\{K_1,\ldots,K_r\}.
$$

若：

$$
\Lambda(\mathcal F')
=
\lambda_m,
$$

則存在 area：

$$
\lambda_m
$$

的 minimizing cover：

$$
U'
$$

cover：

$$
\mathcal F'.
$$

因它也 cover：

$$
\mathcal F_m,
$$

所以：

$$
U'\in\mathcal M_m.
$$

但 finite subcover 性質表示每個：

$$
U\in\mathcal M_m
$$

至少漏掉：

$$
K_1,\ldots,K_r
$$

中的一個。

矛盾。

因此：

$$
\Lambda(\mathcal F')
>
\lambda_m.
$$

取：

$$
m'=m+r,
$$

得到：

$$
\lambda_{m'}
>
\lambda_m.
$$

Q.E.D.

---

# 12. No False Plateau corollary

如果存在：

$$
m_0
$$

使：

$$
\lambda_m
=
L
$$

對所有：

$$
m\ge m_0,
$$

則：

$$
\boxed{
L=a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{finite-witness hierarchy cannot permanently plateau below truth}.
}
$$

注意：

觀測到幾個 consecutive levels 數值相同，並不能證明 permanent plateau。

需要 exact certificate。

---

# 13. Saturation dichotomy

Round 05 將 exact closure 分成兩種邏輯可能。

## Regime I：Finite-attainment

存在：

$$
m_\star<\infty
$$

使：

$$
\boxed{
\lambda_{m_\star}
=
a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

此時存在 finite witness family：

$$
\mathcal F_\star
$$

exactly saturating lower bound。

---

## Regime II：Asymptotic-only

對所有 finite：

$$
m,
$$

皆有：

$$
\lambda_m
<
a_{\mathrm{Leb}},
$$

但：

$$
\lambda_m
\uparrow
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

此時沒有任何 finite witness family 單獨鎖死真值。

所以：

$$
\boxed{
\text{exact finite closure}
}
$$

並不是從 compactness 自動保證的。

這正是未來必須實驗與證明的 central saturation question。

---

# 14. Exact finite saturation theorem

## 定理 14.1

假設存在：

$$
\mathcal F_\star
$$

finite witness family，及：

$$
U_\star
$$

universal cover，使：

$$
\Lambda(\mathcal F_\star)
\ge
A_\star
$$

與：

$$
\operatorname{Area}(U_\star)
\le
A_\star.
$$

則：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
=
A_\star.
}
$$

### 證明

finite witness lower theorem：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
\ge
\Lambda(\mathcal F_\star)
\ge
A_\star.
$$

universal upper candidate：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
\le
\operatorname{Area}(U_\star)
\le
A_\star.
$$

所以 equality。

Q.E.D.

---

# 15. Saturation gap

對 finite witness family：

$$
\mathcal F
$$

與 certified universal cover：

$$
U,
$$

定義：

$$
\boxed{
\Gamma(\mathcal F,U)
=
\operatorname{Area}(U)
-
\Lambda(\mathcal F).
}
$$

必有：

$$
\Gamma\ge0.
$$

如果：

$$
\boxed{
\Gamma=0,
}
$$

則 exact finite saturation 成立。

因此 Round 05 之後，AMRAL 可以不再只追：

- 更高 lower bound；
- 更低 upper bound；

而追：

$$
\boxed{
\Gamma\downarrow0.
}
$$

---

# 16. Primal–dual squeeze ladder

令：

$$
\mathcal F_1
\subseteq
\mathcal F_2
\subseteq
\cdots
$$

為逐步加入 hard targets 的 witness families。

定義：

$$
L_n
=
\Lambda(\mathcal F_n).
$$

若：

$$
U_n
$$

為逐步改善且 certified universal candidates，定義：

$$
A_n
=
\operatorname{Area}(U_n).
$$

則：

$$
\boxed{
L_n
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A_n.
}
$$

若：

$$
\mathcal F_n
\subseteq
\mathcal F_{n+1},
$$

則：

$$
L_{n+1}\ge L_n.
$$

若只接受 area 改善的 universal surgery：

$$
A_{n+1}\le A_n.
$$

所以：

$$
\boxed{
L_n
\uparrow,
\qquad
A_n
\downarrow.
}
$$

定義 squeeze gap：

$$
G_n
=
A_n-L_n.
$$

研究目標變成：

$$
\boxed{
G_n\to0
}
$$

或 finite：

$$
G_n=0.
$$

---

# 17. Witness-exchange interpretation

如果 finite lower minimizer：

$$
U_{\mathcal F}
$$

不是 universal，則：

$$
W(U_{\mathcal F})>0.
$$

Round 01–03 的 adversarial target oracle 可以尋找：

$$
K_{\mathrm{new}}
$$

使：

$$
M_{U_{\mathcal F}}(K_{\mathrm{new}})>0.
$$

將其加入：

$$
\mathcal F.
$$

但單一 witness 不保證：

$$
\Lambda
$$

立刻嚴格上升，因可能存在另一個舊 minimizer 能容納它。

定理 11.1 說明真正需要的是：

> 找到有限 witness batch，同時覆蓋／排除整個 current minimizer set。

因此下一階段的 witness exchange 不應只找：

$$
\text{one violated target}
$$

而應找：

$$
\boxed{
\text{minimizer-set separating witness batch}.
}
$$

---

# 18. Candidate support cell

Round 04 的 support-height quantization 定義 candidate cells。

令：

$$
\mathbf b
=
(b_0,\ldots,b_{M-1})
$$

為 upward-quantized support vector。

定義 cell：

$$
\boxed{
\mathfrak C(\mathbf b)
=
\left\{
U\in\mathcal C_{\bar A}:
\underline b_j
\le
h_U(u_j)
\le
b_j
\right\},
}
$$

其中：

$$
\underline b_j
=
\max
\left\{
\frac12,
b_j-q
\right\}.
$$

outer polygon：

$$
\boxed{
P_{\mathbf b}
=
\bigcap_j
\{x:x\cdot u_j\le b_j\}.
}
$$

對任何：

$$
U\in\mathfrak C(\mathbf b),
$$

有：

$$
U\subseteq P_{\mathbf b}.
$$

---

# 19. Cell-local Hausdorff error

令：

$$
R_{\mathbf b}
=
\max_{x\in P_{\mathbf b}}
\|x\|.
$$

則對：

$$
U\in\mathfrak C(\mathbf b)
$$

有：

$$
U\subseteq P_{\mathbf b}
$$

且兩者都包含於：

$$
B_{R_{\mathbf b}}.
$$

取任意：

$$
v\in S^1
$$

與最近 grid direction：

$$
u_j
$$

使：

$$
\|v-u_j\|
\le
d_M.
$$

由 cell lower support：

$$
h_U(u_j)
\ge
b_j-q.
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
h_{P_{\mathbf b}}(v)
&\le
b_j
+
R_{\mathbf b}d_M,\\
h_U(v)
&\ge
b_j-q
-
R_{\mathbf b}d_M.
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\boxed{
d_H(U,P_{\mathbf b})
\le
\varepsilon_{\mathbf b}
:=
q+2R_{\mathbf b}d_M.
}
$$

這通常比 Round 04 的 global：

$$
\varepsilon_{M,q}
$$

更緊。

---

# 20. Consistent cell area lower bound

因：

$$
P_{\mathbf b}
\subseteq
U+\varepsilon_{\mathbf b}B,
$$

Steiner formula 給：

$$
\operatorname{Area}(P_{\mathbf b})
\le
\operatorname{Area}(U)
+
\varepsilon_{\mathbf b}\operatorname{Per}(U)
+
\pi\varepsilon_{\mathbf b}^2.
$$

又：

$$
U\subseteq P_{\mathbf b}
$$

且 convex perimeter 對 inclusion 單調：

$$
\operatorname{Per}(U)
\le
\operatorname{Per}(P_{\mathbf b}).
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(U)
\ge
\operatorname{Area}(P_{\mathbf b})
-
\operatorname{Per}(P_{\mathbf b})
\varepsilon_{\mathbf b}
-
\pi\varepsilon_{\mathbf b}^2.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{LB}_{\mathrm{outer}}(\mathbf b)
=
\operatorname{Area}(P_{\mathbf b})
-
\operatorname{Per}(P_{\mathbf b})
\varepsilon_{\mathbf b}
-
\pi\varepsilon_{\mathbf b}^2.
}
$$

這是 safe、cell-local、resolution-consistent 的 area lower bound。

---

# 21. Support-envelope area lower bound

另有一條 independent cell lower bound。

所有：

$$
U\in\mathfrak C(\mathbf b)
$$

都包含：

$$
B_r(0),
\qquad
r=\frac12.
$$

因：

$$
U\subseteq B_R,
$$

support function 為 $R$-Lipschitz。

所以：

$$
h_U(\theta)
\ge
\ell_{\mathbf b}(\theta),
$$

其中：

$$
\boxed{
\ell_{\mathbf b}(\theta)
=
\max
\left\{
r,
\max_j
[
\underline b_j
-
R\|u_\theta-u_j\|
]
\right\}.
}
$$

平面 Cauchy perimeter formula：

$$
\operatorname{Per}(U)
=
\int_0^{2\pi}
h_U(\theta)\,d\theta.
$$

因此：

$$
\operatorname{Per}(U)
\ge
\int_0^{2\pi}
\ell_{\mathbf b}(\theta)\,d\theta.
$$

另一方面 Minkowski area formula：

$$
\operatorname{Area}(U)
=
\frac12
\int h_U\,dS_U.
$$

因：

$$
h_U\ge r
$$

且：

$$
S_U(S^1)
=
\operatorname{Per}(U),
$$

有：

$$
\operatorname{Area}(U)
\ge
\frac r2
\operatorname{Per}(U).
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(U)
\ge
\frac r2
\int_0^{2\pi}
\ell_{\mathbf b}(\theta)\,d\theta.
}
$$

對：

$$
r=\frac12,
$$

為：

$$
\boxed{
\operatorname{LB}_{\mathrm{env}}(\mathbf b)
=
\frac14
\int_0^{2\pi}
\ell_{\mathbf b}(\theta)\,d\theta.
}
$$

---

# 22. Single-protrusion area lower bound

若：

$$
B_r(0)\subseteq U
$$

且：

$$
h_U(u)\ge s\ge r,
$$

則 $U$ 至少包含：

$$
\operatorname{conv}(B_r,x)
$$

其中某個：

$$
x
$$

滿足：

$$
\|x\|\ge s.
$$

定義：

$$
\boxed{
\Phi_r(s)
=
\pi r^2
+
r\sqrt{s^2-r^2}
-
r^2
\arccos\frac rs.
}
$$

則：

$$
\operatorname{Area}(U)
\ge
\Phi_r(s).
$$

且：

$$
\Phi_r
$$

對：

$$
s\ge r
$$

單調遞增。

所以 cell 可再取：

$$
\boxed{
\operatorname{LB}_{\mathrm{tip}}(\mathbf b)
=
\max_j
\Phi_r(\underline b_j).
}
$$

---

# 23. Combined cell area lower bound

本輪建議：

$$
\boxed{
\operatorname{LB}_{\mathrm{cell}}(\mathbf b)
=
\max
\left\{
\pi r^2,
\operatorname{LB}_{\mathrm{outer}},
\operatorname{LB}_{\mathrm{env}},
\operatorname{LB}_{\mathrm{tip}}
\right\}.
}
$$

它全部是 safe lower bounds。

實務中可只啟用計算成本較低的 subset。

---

# 24. Candidate-cell prune rules

設目前已有 certified universal incumbent：

$$
U^+
$$

面積：

$$
A^+
=
\operatorname{Area}(U^+).
$$

對 candidate cell：

$$
\mathfrak C(\mathbf b)
$$

有兩個主要安全 prune。

---

## Rule P1：Outer non-universality prune

若 outer polygon：

$$
P_{\mathbf b}
$$

被 Round 02–03 證明：

$$
W(P_{\mathbf b})>0,
$$

則因：

$$
U\subseteq P_{\mathbf b}
$$

對 cell 中所有：

$$
U,
$$

必有：

$$
U
$$

也 non-universal。

所以整 cell prune。

---

## Rule P2：Area prune

若：

$$
\boxed{
\operatorname{LB}_{\mathrm{cell}}(\mathbf b)
\ge
A^+,
}
$$

則此 cell 不可能改善 incumbent。

整 cell prune。

---

# 25. Active cell

若：

- outer polygon 尚未證 non-universal；
- area lower bound 又小於：

$$
A^+;
$$

則標記：

$$
\boxed{
\text{ACTIVE CELL}.
}
$$

對 active cell：

- 增加 normal resolution；
- 縮小 support interval；
- 或直接進行 local inward surgery / witness search。

---

# 26. Strict non-universal cells 最終一定會被 prune

考慮 nested cells：

$$
\mathfrak C_n
$$

其 resolution：

$$
\varepsilon_n\to0
$$

並收斂到 candidate：

$$
U.
$$

假設：

$$
W(U)
=
\delta
>
0.
$$

outer polygons：

$$
P_n
$$

滿足：

$$
d_H(P_n,U)
\le
\varepsilon_n.
$$

Round 04：

$$
|W(P_n)-W(U)|
\le
\varepsilon_n.
$$

所以當：

$$
\varepsilon_n<\frac\delta2,
$$

有：

$$
W(P_n)
>
\frac\delta2
>
0.
$$

因此：

$$
P_n
$$

被證 non-universal，cell 由 P1 prune。

所以：

$$
\boxed{
\text{strictly non-universal limit candidates cannot survive infinite refinement}.
}
$$

---

# 27. Strictly suboptimal cells 最終也會被 area prune

假設 nested cells 收斂到：

$$
U
$$

且：

$$
\operatorname{Area}(U)
>
A^+
+
\delta.
$$

因：

$$
d_H(P_n,U)\to0
$$

以及 area 對 convex-body Hausdorff convergence 連續：

$$
\operatorname{LB}_{\mathrm{outer}}(\mathfrak C_n)
\to
\operatorname{Area}(U).
$$

因此對足夠大：

$$
n,
$$

有：

$$
\operatorname{LB}_{\mathrm{cell}}(\mathfrak C_n)
>
A^+.
$$

所以 P2 prune。

故：

$$
\boxed{
\text{strictly area-suboptimal limit candidates cannot survive infinite refinement}.
}
$$

---

# 28. Active-cell localization theorem

若：

$$
A_n^+
\downarrow
a_{\mathrm{Leb}}
$$

且 candidate cell resolution：

$$
\to0,
$$

則任何永遠存活的 nested active-cell sequence 的 limit：

$$
U_\infty
$$

必須滿足：

$$
W(U_\infty)\le0
$$

以及：

$$
\operatorname{Area}(U_\infty)
=
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

換句話說：

$$
\boxed{
\text{branch-and-bound active cells asymptotically localize to optimal universal covers}.
}
$$

這仍然不是 finite termination theorem。

它是 asymptotic localization theorem。

---

# 29. Exact stopping criterion

Round 05 現在可以非常清楚地說：

candidate-cell branch-and-bound 可以無限逼近 optimum。

finite exact stop 則需要額外鎖定事件：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F_\star)
=
\operatorname{Area}(U_\star).
}
$$

因此主流程不是：

> 等 cell 自己縮到一個點。

而是：

1. branch-and-bound 找 candidate upper；
2. active targets 形成 finite witness lower family；
3. witness lower optimizer 反過來產生新 hard targets；
4. upper surgery 與 lower witness exchange 同時推進；
5. 一旦 lower = upper，立即 exact closure。

---

# 30. Saturation architecture

整個 AMRAL-LUC-FC 現在可寫成：

$$
\boxed{
\begin{array}{c}
\text{Candidate Cover Search}\\
\downarrow\\
U_n,\ A_n
\end{array}
}
\qquad
\boxed{
\begin{array}{c}
\text{Hard Witness Search}\\
\downarrow\\
\mathcal F_n,\ L_n
\end{array}
}
$$

中間由：

$$
\boxed{
L_n
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A_n
}
$$

耦合。

若：

$$
A_n-L_n>0,
$$

則：

- upper side 找 removable boundary；
- lower side 找 minimizer-set separating witnesses。

若：

$$
A_n-L_n=0,
$$

則：

$$
\boxed{
\text{CLOSE}.
}
$$

---

# 31. 與現有 2026 研究的接口

## Mishra route

Mishra 的：

- disk；
- Reuleaux triangle；
- Reuleaux pentagon；

正是一個 finite witness family。

其 2026 certificate 證得：

$$
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8344.
$$

Round 05 將它視為：

$$
\boxed{
\text{finite-witness ladder 的已知節點}.
}
$$

---

## Zeng route

Zeng 建立：

$$
\Lambda_M
$$

finite-dimensional Reuleaux-type hierarchy，並證：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
=
\lim_M\Lambda_M.
$$

Round 05 的：

$$
\lambda_m
$$

不是同一 hierarchy。

差異：

- $\Lambda_M$：限制有限弧表示複雜度；
- $\lambda_m$：限制 finite hard-witness family 的 cardinality。

兩者可以形成 two-axis program：

$$
\boxed{
\text{representation complexity}
\times
\text{witness cardinality}.
}
$$

未來應研究：

$$
\Lambda_M
\leftrightarrow
\lambda_m
$$

是否存在 branch correspondence。

目前：

`CROSS-MAP: OPEN`

---

# 32. 新的 finite-attainment conjecture

本輪不預設 exact finite saturation 一定存在。

提出：

## Finite Witness Attainment Conjecture

存在：

$$
m_\star<\infty
$$

使：

$$
\boxed{
\lambda_{m_\star}
=
a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

等價地，存在 finite：

$$
\mathcal F_\star
$$

使：

$$
\Lambda(\mathcal F_\star)
=
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

這個 conjecture：

- 可能為真；
- 也可能為假；
- 可以被 AMRAL hierarchy 持續測試；
- 不應因 numerical stabilization 而提前宣稱。

---

# 33. Stronger branch-type version

即使 Finite Witness Attainment Conjecture 為假，仍可能存在：

$$
\boxed{
\text{finite branch types}
}
$$

而不是 finite witness points。

即：

$$
\mathcal F_\star
=
\bigcup_{\alpha=1}^{N}
\mathcal B_\alpha
$$

其中每個：

$$
\mathcal B_\alpha
$$

是 compact low-dimensional family，且整體 saturated。

因此 Round 00 的 finite-closure definition 保持：

> finite number of saturated branch types，不要求 finite number of isolated objects。

這是 Finite Witness Attainment 的後備 generalization。

---

# 34. COMPUTE-DEFERRED

Round 05 的主定理不需大型算力。

以下任務現在具有清楚輸入／輸出。

## C05-1：Mishra three-witness reconstruction

重建：

$$
\mathcal F_3
=
\{
D,
R_3,
R_5
\}.
$$

目標：

- independently reproduce lower certificate；
- 找其 minimizer set；
- 分析還漏哪些 hard targets。

---

## C05-2：Minimizer-set witness batch search

輸入：

$$
\mathcal F_n.
$$

求：

$$
\operatorname{Argmin}
\Lambda(\mathcal F_n).
$$

對 minimizer samples 搜尋 violated constant-width targets。

目的不是一個 target，而是 finite batch：

$$
\{K_1,\ldots,K_r\}
$$

覆蓋整個 minimizer set 的 non-fit neighborhoods。

---

## C05-3：Candidate-cell branch-and-bound prototype

每 cell 計算：

- outer polygon；
- $R_{\mathbf b}$；
- $\varepsilon_{\mathbf b}$；
- area；
- perimeter；
- $\operatorname{LB}_{\mathrm{outer}}$；
- optional $\operatorname{LB}_{\mathrm{env}}$；
- outer universality status。

---

## C05-4：Upper/lower squeeze dashboard

每 round 保存：

$$
L_n,
\qquad
A_n,
\qquad
G_n=A_n-L_n.
$$

並保存：

- witness count；
- active candidate cells；
- pruned cells；
- exact / deferred gates。

---

# 35. Round 06 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R06
### Finite Witness Exchange Compiler and Minimizer-Set Separation

下一輪主攻 lower side。

主要目標：

1. 將：

$$
\operatorname{Argmin}\Lambda(\mathcal F)
$$

表示成可搜尋的 compact configuration domain；

2. 建立 violated-target oracle：

$$
U
\mapsto
K_U;
$$

3. 建立 minimizer-set separating finite batch compiler；

4. 以 Mishra three-witness family 為第一個外部基準節點；

5. 研究加入第 $4,5,\ldots$ 個 hard witness 後 lower bound 是否嚴格上升；

6. 記錄 witness ancestry：
   - REUSED；
   - REDUCED；
   - EXTENSION；
   - NOVEL；
   - FALSE-POSITIVE。

Round 06 的目標不要求一次算完巨大 certificate。

若 computation heavy：

`COMPUTE-DEFERRED`

但 proof graph 必須持續縮小。

---

# 36. Reproducibility checklist

## Convergence vs attainment separation

`CLOSED`

## Finite witness lower theorem

`PROVED`

## Finite witness lower value attainment

`PROVED`

## Finite-witness completeness

`PROVED`

## Cardinality hierarchy convergence

`PROVED`

## Level attainment

`PROVED`

## No false permanent plateau

`PROVED`

## Exact finite saturation criterion

`PROVED`

## Candidate-cell area lower bound

`PROVED`

## Outer non-universal prune

`PROVED`

## Strict non-universal eventual prune

`PROVED`

## Strict area-suboptimal eventual prune

`PROVED`

## Exact finite witness attainment

`OPEN`

## New numerical bound

`NONE`

---

# 37. 最短交接結論

Round 05 將「saturation」從模糊概念改寫成兩個明確層級。

第一層：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
=
\sup_{\mathcal F\ finite}
\Lambda(\mathcal F)
=
\lim_{m\to\infty}\lambda_m.
}
$$

這表示 finite hard-witness families 在極限上完整。

第二層：

$$
\boxed{
\exists m_\star:
\lambda_{m_\star}=a_{\mathrm{Leb}}
\ ? 
}
$$

這才是 exact finite saturation 的真正問題。

如果存在：

$$
\mathcal F_\star,
\qquad
U_\star
$$

使：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F_\star)
=
\operatorname{Area}(U_\star),
}
$$

則 Lebesgue universal covering problem 立即 exact closure。

同時 candidate-cell branch-and-bound 已有：

- nonuniversality prune；
- area prune；
- asymptotic optimal-frontier localization。

因此 Round 06 開始，研究核心正式從：

$$
\text{finite approximation}
$$

轉向：

$$
\boxed{
\text{finite witness discovery and saturation}.
}
$$

---

# 參考文獻

1. J. C. Baez, K. Bagdasaryan, P. Gibbs, *The Lebesgue Universal Covering Problem*, arXiv:1502.01251.
2. P. Gibbs, *An Upper Bound for Lebesgue's Covering Problem*, arXiv:1810.10089, 2018.
3. U. Mishra, *Curves of constant width and Lebesgue's covering problem*, arXiv:2608.30538, 2026.
4. S. Zeng, *An exact hierarchy for Lebesgue's universal covering constant and a certified 0.834 lower bound*, arXiv:2609.01284, 2026.
5. R. Schneider, *Convex Bodies: The Brunn–Minkowski Theory*.
6. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 00–04*, 2026-09-18.

---

# 38. 宣告

本輪沒有宣稱：

- Finite Witness Attainment Conjecture 已證；
- 某個 finite witness family 已達真值；
- 改進目前公開 lower / upper bound；
- Lebesgue universal covering problem 已解決。

本輪完成的是：

$$
\boxed{
\text{finite-resolution hierarchy}
\to
\text{formal saturation theory}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{exact closure}
\iff
\text{finite lower witness matches certified universal upper candidate}
}
$$

在 AMRAL proof graph 中，這是從 approximation phase 進入 witness-saturation phase 的交界。