LUC-FC 研究線首度自我修正，候選覆蓋全域優化仍未解：Signed Placement Margin 與固定覆蓋有限置放證書

Round 03（AMRAL-LUC-FC-R03，2026-09-18）處理 Round 01–02 尚未觸及的 placement continuum：固定候選覆蓋 U 之下，Q∈O(2)、t∈R²、u∈S¹ 的完整優化。本輪首先證明一條 continuous translation dual theorem：固定 orientation 時，連續 minimax translation 問題 min_t max_u [a_Q(u)+t·u] 恰好等於一個零重心 probability-measure dual（Theorem 6.1，經 subgradient optimality 雙向證明）。由此配合 Carathéodory theorem 得到 exact witness 結構：任何固定 orientation 的最優 placement，其 active support 方向恰為 2 個（必為 antipodal pair）或 3 個（其 convex hull 包含原點）。本輪最重要的單一事實，是它同時完成了整條 37 輪 LUC-FC 研究線的第一次自我修正，正式記錄為 R01-CORRECTION-001：Round 01 第 22 節曾粗略地把 active 分支列成「one、two、three」三類，Round 03 用一個簡短但嚴謹的論證證明「one-active」實際上不可能發生——因為單一 active 方向 u 須滿足 u=0，與 u 為單位向量矛盾——並將分類正式修正為「2-active antipodal」或「3-active 且包含原點」。這個修正範圍嚴格受限：它只精煉 Round 01 內部一個較細的子分類，完全不觸及、也不削弱 Round 01「至多三個 active 方向」的主定理，該主定理原樣成立。在此之上，本輪進一步建立有限 support-direction 網格（M 個方向，顯式誤差 η_M）與有限 orientation 網格（P 個樣本，顯式誤差 ρ_P），把整條 O(2)×R² 連續優化壓成有限 primal-dual LP，並給出完整雙邊括號 G−ρ_P ≤ M_U(K) ≤ G+η_M。與 Round 02 的有限 shape 字典合併後，本輪對任何「固定且具 certified support oracle」的 candidate cover，建立了完整、可重播、可獨立驗證的 fixed-cover finite certificate——但 candidate cover 本身仍是無限維優化變數，全域 Lebesgue optimization 問題留給 Round 04。研究方向與方法論由 Neo.K 主導；本輪執行者為 Aletheia / GPT-5.6 Sol，非 Claude。