# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 03
## Signed Placement Margin and Full Fixed-Cover Finite Certificate

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R03  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 03 / 正式攻堅 / Fixed-cover finite certificate  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01 v0.1；R02 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要判定

Round 02 已把所有直徑不超過一的 target shape 壓成有限合法字典：

$$
\mathscr D_{N,\delta,q},
$$

並給出顯式 Hausdorff 誤差：

$$
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
$$

Round 03 處理剩餘 placement continuum：

$$
Q\in O(2),
\qquad
t\in\mathbb R^2,
\qquad
u\in S^1.
$$

本輪得到以下主要結果。

1. **固定 orientation 的 translation 可完全對偶化。**  
   連續 translation minimax：

   $$
   \min_t
   \max_{u\in S^1}
   [
   a_Q(u)+t\cdot u
   ]
   $$

   等於一個零重心 probability-measure dual。

2. **固定 orientation 的 exact continuous witness 只需要二或三個方向。**  
   由 subgradient + Carathéodory：
   - 2-active：必為 antipodal pair；
   - 3-active：三方向 convex hull 包含原點。

3. **Round 01 的一個 branch 描述得到修正。**  
   Round 01 曾粗略提到 one/two/three active branch；one-active 實際不可能。  
   本輪正式記錄 correction，不回頭覆寫歷史。

4. **support-direction continuum 可由有限 LP 嚴格夾逼。**  
   對 $M$ 個均勻方向：

   $$
   m_M(Q)
   \le
   m(Q)
   \le
   m_M(Q)+\eta_M.
   $$

5. **orientation continuum 可由有限網格嚴格夾逼。**  
   對每個 reflection branch 使用 $P$ 個 orientation samples，得到：

   $$
   G-\rho_P
   \le
   M_U(K)
   \le
   G+\eta_M.
   $$

6. **reflection 不再是隱含條件。**  
   $O(2)$ 被明確拆成：

   $$
   \sigma\in\{+1,-1\}
   $$

   與：

   $$
   \phi\in S^1.
   $$

7. **Round 02 shape dictionary + Round 03 placement compiler 可合併成完整 fixed-cover certificate。**

因此本輪判定：

$$
\boxed{
\text{FIXED-COVER FINITE CERTIFICATE SCHEMA: CLOSED}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{GLOBAL LEBESGUE OPTIMIZATION: OPEN}
}
$$

因為 candidate cover $U$ 本身仍是無限維優化變數。

---

# 1. 固定 candidate cover 的正規化

令：

$$
U\subset\mathbb R^2
$$

為非空緊凸 candidate cover。

placement margin 對 $U$ 的平移不變。

若：

$$
U_c=U-c,
$$

則：

$$
M_{U_c}(K)=M_U(K).
$$

因此可任取：

$$
c\in U
$$

並假設：

$$
0\in U.
$$

定義已知 radius bound：

$$
R_U
\ge
\max_{x\in U}\|x\|.
$$

若只知道 diameter：

$$
D_U=\operatorname{diam}(U),
$$

任取 $c\in U$ 後可安全使用：

$$
R_U\le D_U.
$$

對 centered unit constant-width target：

$$
K,
$$

Steiner point 位於 $K$，故：

$$
0\in K.
$$

且：

$$
\operatorname{diam}(K)=1,
$$

所以可安全取：

$$
R_K\le1.
$$

後文可使用：

$$
L
=
R_K+R_U.
$$

---

# 2. Signed placement margin

對固定 target $K$ 與 candidate cover $U$，定義：

$$
\boxed{
M_U(K)
=
\min_{Q\in O(2)}
\min_{t\in\mathbb R^2}
\max_{\theta\in S^1}
\left[
h_K(Q^Tu_\theta)
+t\cdot u_\theta
-h_U(\theta)
\right].
}
$$

則：

$$
M_U(K)\le0
$$

若且唯若 $K$ 可經 isometry 放入 $U$。

若：

$$
M_U(K)<0,
$$

則存在 uniform support slack。

---

# 3. $O(2)$ 的兩個 branch

固定 reflection：

$$
S(x_1,x_2)=(x_1,-x_2).
$$

每個：

$$
Q\in O(2)
$$

可寫成：

$$
Q_{\sigma,\phi}
=
R_\phi S^{(1-\sigma)/2},
$$

其中：

$$
\sigma\in\{+1,-1\},
\qquad
\phi\in[0,2\pi).
$$

對 support angle $\theta$：

若：

$$
\sigma=+1,
$$

則：

$$
h_K(Q^Tu_\theta)
=
h_K(\theta-\phi).
$$

若：

$$
\sigma=-1,
$$

則：

$$
h_K(Q^Tu_\theta)
=
h_K(\phi-\theta).
$$

因此 reflection 只剩兩個 discrete branches。

---

# 4. 固定 orientation 的 continuous translation problem

固定：

$$
(\sigma,\phi).
$$

定義：

$$
a_{\sigma,\phi}(\theta)
=
h_K(Q_{\sigma,\phi}^Tu_\theta)
-h_U(\theta).
$$

再定義：

$$
F_{\sigma,\phi}(t)
=
\max_{\theta\in S^1}
[
a_{\sigma,\phi}(\theta)
+t\cdot u_\theta
].
$$

固定 orientation margin：

$$
\boxed{
m_{\sigma}(\phi)
=
\min_{t\in\mathbb R^2}
F_{\sigma,\phi}(t).
}
$$

所以：

$$
M_U(K)
=
\min_{\sigma\in\{\pm1\}}
\min_{\phi\in S^1}
m_\sigma(\phi).
$$

---

# 5. Translation minimizer 存在

因：

$$
|h_K|\le R_K,
$$

$$
|h_U|\le R_U,
$$

有：

$$
|a_{\sigma,\phi}(\theta)|
\le
L.
$$

對任意：

$$
t\neq0,
$$

取：

$$
u_\theta=\frac{t}{\|t\|}.
$$

則：

$$
F_{\sigma,\phi}(t)
\ge
\|t\|-L.
$$

而：

$$
F_{\sigma,\phi}(0)\le L.
$$

所以：

$$
F_{\sigma,\phi}(t)\to+\infty
$$

當：

$$
\|t\|\to\infty.
$$

因此 minimizer：

$$
t^\star_{\sigma,\phi}
$$

存在。

而任何 minimizer 可取：

$$
\boxed{
\|t^\star_{\sigma,\phi}\|
\le2L.
}
$$

---

# 6. Continuous translation dual theorem

令：

$$
\mathcal P_0(S^1)
=
\left\{
\mu:
\begin{array}{l}
\mu\text{ 是 }S^1\text{ 上 probability measure},\\
\int_{S^1}u\,d\mu(u)=0
\end{array}
\right\}.
$$

## 定理 6.1

$$
\boxed{
m_\sigma(\phi)
=
\max_{\mu\in\mathcal P_0(S^1)}
\int_{S^1}
a_{\sigma,\phi}(u)
\,d\mu(u).
}
$$

### 第一方向

任意：

$$
\mu\in\mathcal P_0(S^1)
$$

與任意 $t$：

$$
\begin{aligned}
\int a\,d\mu
&=
\int
(a+t\cdot u)
\,d\mu\\
&\le
\max_u
(a+t\cdot u).
\end{aligned}
$$

對 $t$ 取 minimum：

$$
\int a\,d\mu
\le
m_\sigma(\phi).
$$

因此 dual value 不超過 primal value。

---

### 第二方向

令：

$$
t^\star
$$

為 primal minimizer。

active direction set：

$$
\mathcal A
=
\left\{
u:
a(u)+t^\star\cdot u
=
m_\sigma(\phi)
\right\}.
$$

由 convex subgradient optimality：

$$
0
\in
\partial F(t^\star)
=
\operatorname{conv}(\mathcal A).
$$

所以存在 probability weights：

$$
\lambda_i
$$

與 active directions：

$$
u_i\in\mathcal A
$$

使：

$$
\sum_i\lambda_i u_i=0.
$$

定義：

$$
\mu^\star
=
\sum_i\lambda_i\delta_{u_i}.
$$

則：

$$
\begin{aligned}
\int a\,d\mu^\star
&=
\sum_i\lambda_i
[
m_\sigma(\phi)-t^\star\cdot u_i]\\
&=
m_\sigma(\phi).
\end{aligned}
$$

故 dual value 至少為 primal value。

Q.E.D.

---

# 7. Exact continuous witness 只需二或三方向

由：

$$
0
\in
\operatorname{conv}(\mathcal A)
\subset\mathbb R^2
$$

與 Carathéodory theorem，可選至多三個 active directions。

一個 active direction不可能，因為：

$$
u\neq0.
$$

因此只存在：

$$
\boxed{
2\text{-active}
}
$$

或：

$$
\boxed{
3\text{-active}.
}
$$

---

## 7.1 Two-active branch

若：

$$
0
=
\lambda u_1
+
(1-\lambda)u_2,
$$

兩個單位向量必須 antipodal：

$$
u_2=-u_1
$$

且：

$$
\lambda=\frac12.
$$

---

## 7.2 Three-active branch

三個方向：

$$
u_1,u_2,u_3
$$

必須滿足：

$$
0
\in
\operatorname{conv}\{u_1,u_2,u_3\}.
$$

等價於三方向不全部落在某個 open semicircle。

其 barycentric weights：

$$
\lambda_i
$$

給出 exact translation dual witness。

---

# 8. Round 01 correction ledger

Round 01 第 22 節曾把 translation active-set branch 粗略列成：

- one-active degeneracy；
- two-active balance；
- three-active balance。

本輪修正為：

$$
\boxed{
\text{one-active branch impossible}.
}
$$

正確分類：

$$
\boxed{
\text{2-active antipodal}
\quad\text{or}\quad
\text{3-active origin-enclosing}.
}
$$

狀態：

`R01-CORRECTION-001`

本修正不影響 Round 01 的「至多三 active directions」主定理，只修正 branch taxonomy。

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# 9. Finite support-direction grid

取偶數：

$$
M\ge4.
$$

定義：

$$
\theta_j
=
\frac{2\pi j}{M},
\qquad
j=0,\ldots,M-1.
$$

最大最近角距：

$$
\boxed{
\Delta_\theta
=
\frac{\pi}{M}.
}
$$

定義 finite-grid translation value：

$$
\boxed{
m_{\sigma,M}(\phi)
=
\min_{t\in\mathbb R^2}
\max_{0\le j<M}
[
a_{\sigma,\phi}(\theta_j)
+t\cdot u_{\theta_j}
].
}
$$

顯然：

$$
\boxed{
m_{\sigma,M}(\phi)
\le
m_\sigma(\phi).
}
$$

因為 finite grid 只取 continuous maximum 的子集。

---

# 10. Finite-grid primal LP

引入 scalar：

$$
z.
$$

則：

$$
m_{\sigma,M}(\phi)
$$

是以下有限 LP：

$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{minimize}
&
z
\\
\text{subject to}
&
a_{\sigma,\phi}(\theta_j)
+t\cdot u_{\theta_j}
\le
z,
\quad
j=0,\ldots,M-1.
\end{array}
}
$$

變數只有：

$$
(t_x,t_y,z)\in\mathbb R^3.
$$

---

# 11. Finite-grid dual LP

dual 為：

$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{maximize}
&
\displaystyle
\sum_{j=0}^{M-1}
\lambda_j
a_{\sigma,\phi}(\theta_j)
\\
\text{subject to}
&
\lambda_j\ge0,
\\
&
\displaystyle
\sum_j\lambda_j=1,
\\
&
\displaystyle
\sum_j\lambda_j u_{\theta_j}=0.
\end{array}
}
$$

因此：

$$
m_{\sigma,M}(\phi)
$$

本身已可由 finite primal-dual certificate 驗證。

極端 dual solution 仍只需至多三個非零：

$$
\lambda_j.
$$

所以每個 sampled orientation 的 translation certificate 可以壓成：

- 2-direction antipodal witness；或
- 3-direction barycentric witness。

---

# 12. Finite-grid translation bound

令：

$$
t_M^\star
$$

為 finite LP minimizer。

對任意 $t\neq0$，存在網格方向 $u_{\theta_j}$ 與 $t/\|t\|$ 的角距至多：

$$
\Delta_\theta.
$$

故：

$$
t\cdot u_{\theta_j}
\ge
\|t\|
\cos\Delta_\theta.
$$

又：

$$
a_{\sigma,\phi}(\theta_j)\ge-L.
$$

因此：

$$
F_M(t)
\ge
\|t\|
\cos\Delta_\theta
-L.
$$

而：

$$
F_M(0)\le L.
$$

所以：

$$
\boxed{
\|t_M^\star\|
\le
\frac{
2L
}{
\cos\Delta_\theta
}.
}
$$

---

# 13. Angular Lipschitz bound

support function of a body contained in radius $R$ satisfies：

$$
|h(\theta)-h(\psi)|
\le
R|\theta-\psi|.
$$

因此：

$$
a_{\sigma,\phi}
$$

是 $L$-Lipschitz：

$$
|a(\theta)-a(\psi)|
\le
L|\theta-\psi|.
$$

對 finite-grid minimizer：

$$
t_M^\star,
$$

函數：

$$
a(\theta)+t_M^\star\cdot u_\theta
$$

的 angular Lipschitz constant至多：

$$
L+\|t_M^\star\|.
$$

所以：

$$
m_\sigma(\phi)
\le
m_{\sigma,M}(\phi)
+
\eta_M,
$$

其中：

$$
\boxed{
\eta_M
=
L
\left(
1+
\frac{2}{\cos(\pi/M)}
\right)
\frac{\pi}{M}.
}
$$

合併下界：

$$
\boxed{
m_{\sigma,M}(\phi)
\le
m_\sigma(\phi)
\le
m_{\sigma,M}(\phi)+\eta_M.
}
$$

這是 Round 03 的 support-direction finite certificate。

---

# 14. 可使用實際 $t_M$ 改善 bound

若 certificate 本身已提供 verified：

$$
\|t_M^\star\|
\le
T_M,
$$

則可改用：

$$
\boxed{
\eta_M^{\mathrm{local}}
=
(L+T_M)\frac{\pi}{M}.
}
$$

因此 global：

$$
\eta_M
$$

只是一個不用解出 translation norm 的通用安全 bound。

---

# 15. Orientation Lipschitz theorem

固定 reflection branch $\sigma$。

對：

$$
\phi,\psi\in S^1,
$$

只有 target support term改變。

因：

$$
K\subseteq B(0,R_K),
$$

有：

$$
\left|
h_K(Q_{\sigma,\phi}^Tu)
-
h_K(Q_{\sigma,\psi}^Tu)
\right|
\le
R_K|\phi-\psi|.
$$

所以：

$$
\boxed{
|m_\sigma(\phi)-m_\sigma(\psi)|
\le
R_K|\phi-\psi|.
}
$$

對 unit centered target：

$$
R_K\le1.
$$

---

# 16. Finite orientation grid

取：

$$
P\ge2.
$$

定義：

$$
\phi_\ell
=
\frac{2\pi\ell}{P},
\qquad
\ell=0,\ldots,P-1.
$$

最近 orientation gap：

$$
\boxed{
\Delta_\phi
=
\frac{\pi}{P}.
}
$$

定義 exact finite-grid minimum：

$$
G_{M,P}(K,U)
=
\min_{\sigma\in\{\pm1\}}
\min_{0\le\ell<P}
m_{\sigma,M}(\phi_\ell).
$$

---

# 17. Full placement bracket

## 定理 17.1

$$
\boxed{
G_{M,P}
-
\rho_P
\le
M_U(K)
\le
G_{M,P}
+
\eta_M,
}
$$

其中：

$$
\boxed{
\rho_P
=
R_K\frac{\pi}{P}
\le
\frac{\pi}{P}.
}
$$

### 右側

取 achieving sampled orientation：

$$
(\widehat\sigma,\widehat\phi).
$$

則：

$$
M_U(K)
\le
m_{\widehat\sigma}(\widehat\phi)
\le
m_{\widehat\sigma,M}(\widehat\phi)
+\eta_M
=
G_{M,P}+\eta_M.
$$

---

### 左側

令：

$$
(\sigma^\star,\phi^\star)
$$

為 continuous orientation minimizer。

取最近 orientation sample：

$$
\phi_\ell
$$

使：

$$
|\phi_\ell-\phi^\star|
\le
\Delta_\phi.
$$

由 orientation Lipschitz：

$$
m_{\sigma^\star}(\phi_\ell)
\le
M_U(K)
+
\rho_P.
$$

又：

$$
m_{\sigma^\star,M}(\phi_\ell)
\le
m_{\sigma^\star}(\phi_\ell).
$$

因此：

$$
G_{M,P}
\le
M_U(K)+\rho_P.
$$

即：

$$
G_{M,P}-\rho_P
\le
M_U(K).
$$

Q.E.D.

---

# 18. Numerical / interval LP enclosure version

實際 certificate 不要求 LP value 被浮點數精確求出。

對每個：

$$
(\sigma,\ell)
$$

只需提供 verified interval：

$$
m^-_{\sigma,\ell}
\le
m_{\sigma,M}(\phi_\ell)
\le
m^+_{\sigma,\ell}.
$$

可由：

- outward-rounded interval arithmetic；
- exact rationalized trigonometric enclosure；
- verified primal feasible point；
- verified dual feasible weights；
- independent LP checker；

產生。

定義：

$$
G^-
=
\min_{\sigma,\ell}
m^-_{\sigma,\ell},
$$

$$
G^+
=
\min_{\sigma,\ell}
m^+_{\sigma,\ell}.
$$

則：

$$
\boxed{
G^- -\rho_P
\le
M_U(K)
\le
G^+ +\eta_M.
}
$$

這是 practical certificate form。

---

# 19. Primal-dual finite witness schema

對每個 sampled orientation，可保存：

## Primal witness

$$
(t_x,t_y,z)
$$

滿足全部：

$$
a_j+t\cdot u_j\le z.
$$

這提供：

$$
m_{\sigma,M}(\phi_\ell)\le z.
$$

## Dual witness

至多三個：

$$
(j_1,j_2,j_3)
$$

與：

$$
\lambda_i\ge0,
$$

使：

$$
\sum_i\lambda_i=1,
$$

$$
\sum_i\lambda_i u_{j_i}=0.
$$

則：

$$
\sum_i\lambda_i a_{j_i}
\le
m_{\sigma,M}(\phi_\ell).
$$

若 primal / dual objective 間 gap 小於：

$$
\gamma,
$$

即得到 certified LP interval width：

$$
\le\gamma.
$$

---

# 20. Round 02 finite shape dictionary 合併

Round 02 提供 finite legal dictionary：

$$
\mathscr D
$$

及 shape error：

$$
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
$$

即每個真正 centered unit constant-width body $K$ 存在：

$$
\widehat K\in\mathscr D
$$

使：

$$
d_H(K,\widehat K)
\le
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
$$

又：

$$
|M_U(K)-M_U(\widehat K)|
\le
d_H(K,\widehat K).
$$

所以：

$$
\boxed{
|M_U(K)-M_U(\widehat K)|
\le
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
}
$$

---

# 21. Full fixed-cover worst-case margin

定義：

$$
\boxed{
W(U)
=
\max_{K\in\mathcal W_1^0}
M_U(K).
}
$$

由 Round 01：

$$
U\text{ universal}
\iff
W(U)\le0.
$$

對每個：

$$
\widehat K\in\mathscr D
$$

令：

$$
L_{\widehat K}
=
G^-_{\widehat K}
-
\rho_P,
$$

$$
U_{\widehat K}
=
G^+_{\widehat K}
+
\eta_M.
$$

則：

$$
L_{\widehat K}
\le
M_U(\widehat K)
\le
U_{\widehat K}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
L_{\widehat K}
\le
W(U)
\le
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
U_{\widehat K}
+
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
}
$$

這是 Round 03 的 full fixed-cover certificate theorem。

---

# 22. Universal certificate rule

若：

$$
\boxed{
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
U_{\widehat K}
+
\varepsilon_{\mathrm{shape}}
\le0,
}
$$

則：

$$
W(U)\le0.
$$

因此：

$$
\boxed{
U\text{ is rigorously universal}.
}
$$

這個 conclusion 同時覆蓋：

- 所有 planar targets with diameter $\le1$；
- 所有 constant-width targets；
- 所有 reflections；
- 所有 rotations；
- 所有 translations；
- 所有 support directions；

誤差來源全部明列。

---

# 23. Non-universal certificate rule

若存在合法 dictionary shape：

$$
\widehat K\in\mathscr D
$$

使：

$$
\boxed{
L_{\widehat K}>0,
}
$$

則：

$$
M_U(\widehat K)>0.
$$

所以這個 target 無法被放入 $U$。

因此：

$$
\boxed{
U\text{ is rigorously non-universal}.
}
$$

不需要 shape-net error，因為 $\widehat K$ 本身就是合法 target。

---

# 24. Ambiguous zone

若：

$$
\max L_{\widehat K}\le0
$$

但：

$$
\max U_{\widehat K}
+
\varepsilon_{\mathrm{shape}}
>0,
$$

則 finite certificate 尚不能決定。

此時可 refinement：

1. 增大 shape compiler $N$；
2. 減小 $\delta$；
3. 減小 coefficient grid $q$；
4. 增大 support grid $M$；
5. 增大 orientation grid $P$；
6. 降低 LP primal-dual gap；
7. 只對 near-active dictionary cells 局部 refinement。

因此系統天然支援 adaptive branch-and-bound。

---

# 25. 誤差總帳

Fixed-cover universality upper certificate 的主要誤差來源：

## Shape approximation

$$
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
$$

## Support-direction discretization

$$
\eta_M
=
L
\left(
1+\frac{2}{\cos(\pi/M)}
\right)
\frac{\pi}{M}.
$$

## Finite LP certification

已包含在：

$$
G^+.
$$

注意：

orientation discretization：

$$
\rho_P
$$

只出現在 non-universality lower certificate。

原因是 universality 只需要找到一個合法 sampled orientation；orientation sample 本身就是真實 orientation。

這個不對稱是本輪一個重要結構。

---

# 26. 為何 upper / lower 誤差不對稱

## 要證 universal

對每個 target 只需展示：

$$
\exists g
$$

使 containment 成立。

因此 sampled orientation 足以作合法 witness。

問題只在：

> sampled support directions 是否漏掉了未取樣方向的 protrusion？

所以 upper certificate 主要付：

$$
\eta_M.
$$

---

## 要證 non-universal

必須證明：

$$
\forall g
$$

都失敗。

因此 orientation continuum 必須全部排除。

有限 orientation grid 需要付：

$$
\rho_P.
$$

這正好對應原問題量詞：

$$
\forall K\exists g.
$$

Round 03 將這個 quantifier asymmetry 直接反映到 certificate error budget。

---

# 27. 支撐方向 LP 本身的 branch 壓縮

每個 sampled orientation 的 dual LP 極值可由至多三個方向見證。

因此即使 support grid 有：

$$
M
$$

個方向，真正 certificate 可壓成：

$$
\boxed{
\le3\text{ active support indices}.
}
$$

這使未來 certificate archive 不必保存全部 dual vector。

只需保存：

- active indices；
- weights；
- primal translation；
- objective interval；
- support-value hashes。

---

# 28. Certificate record schema

對固定 $U$，完整 certificate package 應至少含：

## Global metadata

- candidate cover definition；
- cover normalization / anchor；
- certified $R_U$；
- shape dictionary parameters：

$$
(N,\delta,q);
$$

- shape error：

$$
\varepsilon_{\mathrm{shape}};
$$

- support-grid size：

$$
M;
$$

- orientation-grid size：

$$
P.
$$

## Per dictionary shape

- coefficient vector；
- legality certificate；
- dictionary shape hash。

## Per reflection/orientation sample

- $\sigma$；
- $\phi_\ell$；
- support sample intervals；
- primal LP witness；
- dual 2/3-active witness；
- primal-dual verified interval。

## Final aggregation

- each target lower/upper margin；
- global worst-case lower/upper；
- verdict：
  - UNIVERSAL；
  - NON-UNIVERSAL；
  - UNRESOLVED / REFINE。

---

# 29. Fixed-cover compiler pseudo-algorithm

```text
INPUT:
    convex candidate cover U
    certified support oracle for U
    shape compiler parameters N, delta, q
    support grid M
    orientation grid P

PREPROCESS:
    translate U so 0 in U
    certify R_U
    build finite legal target dictionary D
    compute epsilon_shape

FOR each K_hat in D:
    FOR sigma in {+1, -1}:
        FOR l = 0,...,P-1:
            phi_l = 2*pi*l/P
            evaluate/enclose support samples a_j
            solve finite primal LP
            solve finite dual LP
            verify 2/3-active dual witness
            store interval [m_lower, m_upper]

    G_minus = min all m_lower
    G_plus  = min all m_upper

    target_lower = G_minus - rho_P
    target_upper = G_plus + eta_M

GLOBAL:
    W_lower = max target_lower
    W_upper = max target_upper + epsilon_shape

IF W_upper <= 0:
    verdict = UNIVERSAL

ELSE IF W_lower > 0:
    verdict = NON-UNIVERSAL

ELSE:
    verdict = REFINE
```

這是一個完全有限的 fixed-cover certificate workflow。

---

# 30. Sanity validation problem

本輪使用一個 anisotropic ellipse 作 candidate cover：

$$
U
=
\left\{
(x,y):
\frac{x^2}{0.72^2}
+
\frac{y^2}{0.52^2}
\le1
\right\}.
$$

其 support function：

$$
h_U(\theta)
=
\sqrt{
0.72^2\cos^2\theta
+
0.52^2\sin^2\theta
}.
$$

target 使用合法 centered unit constant-width trigonometric body：

$$
h_K(\theta)
=
\frac12
-
\frac{0.22}{8}\cos3\theta
-
\frac{0.10}{24}\sin5\theta.
$$

即 curvature density：

$$
r_K(\theta)
=
\frac12
+
0.22\cos3\theta
+
0.10\sin5\theta.
$$

取：

$$
M=64,
\qquad
P=48.
$$

coarse finite certificate 產生：

$$
G_{M,P}.
$$

另用更密：

$$
M_{\mathrm{ref}}=512,
\qquad
P_{\mathrm{ref}}=192
$$

作非證明用 numerical reference。

實驗確認 dense reference 落在 Round 03 analytic bracket 內。

因此：

`SANITY: PASS`

---

# 31. COMPUTE-DEFERRED

Round 03 的核心 theorem 不依賴大型 exhaustive computation。

但以下已可以交給本地端。

## C03-1：Pal/Gibbs candidate cover certificate dry run

對公開已知 candidate cover $U$：

- 建 support oracle；
- 跑小型 dictionary；
- 驗證 certificate pipeline；
- 不先追求最終極 resolution。

## C03-2：Active pair/triple census

統計：

- 2-active antipodal；
- 3-active；

在 hard target / orientation 上的比例與 bifurcation。

## C03-3：Adaptive orientation refinement

只在：

$$
m_\sigma(\phi)
$$

接近目前最小值的區段細分。

## C03-4：Independent verifier

建立不共享 search code 的 certificate checker：

- support interval；
- primal feasibility；
- dual feasibility；
- aggregation inequality。

全部標記：

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 32. RCHM freedom ledger

Round 02 結束時：

$$
\mathcal F_2
=
\{
\text{rotation},
\text{translation},
\text{support direction},
\text{active switching},
\text{container boundary},
\text{resolution limit}
\}.
$$

Round 03 對固定 $U$：

## Translation

從 continuous $\mathbb R^2$：

$$
\longrightarrow
$$

finite LP / 2-or-3 active dual witness。

## Support direction

從 continuous $S^1$：

$$
\longrightarrow
$$

finite $M$ grid + explicit $\eta_M$。

## Rotation

從 continuous $S^1$：

$$
\longrightarrow
$$

finite $P$ grid + explicit lower-side $\rho_P$。

## Reflection

從 hidden branch：

$$
\longrightarrow
$$

two explicit discrete branches。

所以對固定 $U$：

$$
\boxed{
\mathcal F_{\mathrm{fixed}\ U}
}
$$

已成為：

$$
\boxed{
\text{finite certificate data}
+
\text{explicit vanishing resolution errors}.
}
$$

---

# 33. 剩餘最大的自由度

Round 03 結束後，主要 obstruction 不再是 target 或 placement。

真正剩下：

$$
\boxed{
\text{candidate cover }U\text{ 本身的無限維優化。}
}
$$

亦即：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
=
\inf_U
\operatorname{Area}(U)
\quad
\text{s.t.}
\quad
W(U)\le0.
$$

現在我們已經有 finite-resolution oracle：

$$
U
\mapsto
[W^-(U),W^+(U)].
$$

下一步自然轉成：

> 如何把 candidate-cover boundary 本身也壓成 legality-preserving finite branch family？

---

# 34. Round 04 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R04
### Candidate-Cover Boundary Compiler and Area-Coverage Dual Tension

主要目標：

1. 對 $U$ 建立支撐函數 finite compiler；
2. 保持：
   - convexity；
   - area computability；
   - support-oracle certification；
3. 建立 candidate-cover shape error 對：

$$
W(U)
$$

與：

$$
\operatorname{Area}(U)
$$

的誤差傳遞；

4. 將：

$$
\inf_U
$$

壓成 finite branch / adaptive certificate structure；

5. 重新接回舊研究的 removable-region / active-tension idea。

如果 Round 04 成功，則：

$$
\boxed{
\text{target infinity}
+
\text{placement infinity}
+
\text{container infinity}
}
$$

三層都將第一次進入同一個 finite-resolution proof graph。

---

# 35. 本輪 reproducibility checklist

## Continuous translation dual

`PROVED`

## Active support size

`2 OR 3 ONLY`

## Round 01 active-branch correction

`RECORDED`

## Finite support LP

`PROVED`

## Support-grid error

`PROVED`

## Orientation Lipschitz

`PROVED`

## Reflection branch

`EXPLICIT`

## Full placement bracket

`PROVED`

## Shape + placement fixed-cover certificate

`PROVED`

## Numerical sanity

`PASS`

## New Lebesgue bound

`NONE`

## Global problem

`OPEN`

---

# 36. 最短交接結論

Round 03 完成以下壓縮：

$$
\boxed{
\min_{Q\in O(2)}
\min_{t\in\mathbb R^2}
\max_{\theta\in S^1}
}
$$

被轉成：

$$
\boxed{
\text{2 reflection branches}
\times
P\text{ orientations}
\times
M\text{-direction LPs}
}
$$

並附帶顯式 error：

$$
\boxed{
G^- -\rho_P
\le
M_U(K)
\le
G^+ +\eta_M.
}
$$

再與 Round 02 shape error 合併：

$$
\boxed{
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
L_{\widehat K}
\le
W(U)
\le
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
U_{\widehat K}
+
\varepsilon_{\mathrm{shape}}.
}
$$

因此，對任何**固定且具有 certified support oracle 的 convex candidate cover $U$**，Lebesgue universality 已經可以被轉成完全有限、可重播、可獨立驗證的 certificate workflow。

下一個真正 obstruction：

$$
\boxed{
\text{candidate-cover infinity}.
}
$$

---

# 參考文獻

1. J. C. Baez, K. Bagdasaryan, P. Gibbs, *The Lebesgue Universal Covering Problem*, arXiv:1502.01251.
2. U. Mishra, *Curves of constant width and Lebesgue's covering problem*, arXiv:2608.30538, 2026.
3. S. Zeng, *An exact hierarchy for Lebesgue's universal covering constant and a certified 0.834 lower bound*, arXiv:2609.01284, 2026.
4. R. T. Rockafellar, *Convex Analysis*.
5. R. Schneider, *Convex Bodies: The Brunn–Minkowski Theory*.
6. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 01*, 2026-09-18.
7. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 02*, 2026-09-18.

---

# 37. 宣告

本輪沒有宣稱解決 Lebesgue universal covering problem。

本輪沒有改進：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
$$

的嚴格上下界。

本輪完成的是：

$$
\boxed{
\text{對固定 candidate cover 的全 target + 全 placement finite certificate compiler。}
}
$$

其用途是讓後續 candidate-cover optimization 不再需要重新處理 target 與 $E(2)$ 的全部無限量詞。