Support-Handoff 與 Constant-Width Reduction 雙雙判定 CLOSED：曲率密度域 𝓡 的建立與三方向 Active Certificate

Round 01（AMRAL-LUC-FC-R01，2026-09-18/19）開啟 AMRAL LUC-FC 研究線攻擊真實、歷史性 Lebesgue 萬有覆蓋問題的「Descent」階段。本輪建立基礎約化鏈的第一段：任意直徑不超過一的平面集合先經閉凸化精確約化至緊凸目標（定理3.1：閉凸化保持直徑；推論3.2），再經常寬完成化（completion）精確約化至單位常寬體——分別處理 d=1、0<d<1、d=0 三種邊界情形，各自給出獨立證明（定理4.1、4.2）。本輪證明支撐函數包含是這條鏈上的 exact handoff：凸包含、定向 Hausdorff 距離、剛體配置皆可精確改寫為支撐函數不等式，沒有近似損失（定理5.1、5.2）。本輪並引入一個新的 canonical 曲率半徑密度 r=h+h''，建立平移不變的曲率密度域 𝓡，證明它與單位常寬體的平移等價類一一對應（定理12.1）——這成為後續整條研究線的工作參數空間。本輪還證明 centered target family 在 Hausdorff 拓撲下 compact，把外層最壞情形由 sup 升級為真正取得的 max，並得到一個抽象、非構造性的有限 ε-net 存在性結果。對固定朝向，本輪證明最佳平移配置至多由三個「active」支撐方向見證——這是後續 Round 03、17 直接沿用並精煉的結構性事實。本輪明確且刻意拒絕兩個誘人的捷徑，判定為不夠嚴謹：只測試「極端」形體（例如僅測正多邊形）彷彿其具代表性；以及未帶誤差界的截斷 Fourier 級數近似。本輪未給出可構造、可計算的有限形狀字典（留待 Round 02）——本輪只確立存在性與結構，尚非演算法，也未宣稱任何新的數值上下界。研究方向由 Neo.K 選題與主導方法論；本輪執行者為 Aletheia / GPT-5.6 Sol。