# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 01
## Canonical Support-Function + Constant-Width Handoff Compiler

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R01  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 01 / 正式攻堅 / 結構性閉包推進  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**母協定：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2  

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# 0. 本輪摘要判定

Round 01 的任務不是尋找新數值上下界，而是回答 Round 00 指定的第一個 exact gate：

$$
\boxed{
\text{原始 Lebesgue 目標域}
\longrightarrow
\text{常寬體}
\longrightarrow
\text{支撐函數}
}
$$

這條 handoff 是否可以在不偷換量詞、不遺失退化情形、不依賴數值近似的前提下完全固定。

本輪得到六個主要結果。

1. **原始測試域的精確約化完成。**  
   對凸 universal cover $U$，覆蓋所有直徑不超過一的平面集合，等價於覆蓋所有常寬一的平面凸體。

2. **舊研究中的 $d<1$ 缺口補齊。**  
   舊六路 Q3 主要敘述直徑一集合。本輪補上 $0<d<1$ 的 completion + dilation，以及 $d=0$ 的退化情形。

3. **支撐函數成為 exact containment handoff。**  
   對緊凸集，包含、定向 Hausdorff 距離、剛體配置全部可以精確寫成支撐函數不等式。

4. **常寬體得到新的 canonical shape variable。**  
   除了支撐函數 $h$ 外，本輪引入平移不變的曲率半徑密度：

   $$
   r(\theta)
   =
   h(\theta)+h''(\theta).
   $$

   單位常寬體的平移等價類與一個明確的 bounded function domain 對應。

5. **外層最壞目標由 $\sup$ 升級為 $\max$。**  
   固定 Steiner point 後的單位常寬體族在 Hausdorff 拓撲下緊，而包含歪度對目標形狀為 $1$-Lipschitz，因此 worst-case target 確實存在。

6. **固定朝向下的平移最佳化存在至多三方向 active certificate。**  
   對固定旋轉／反射 $Q$，最佳平移是二維凸 minimax；由 subgradient + Carathéodory，可由至多三個 active directions 見證。

因此 Round 01 的總判定為：

$$
\boxed{
\text{SUPPORT-HANDOFF: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{CONSTANT-WIDTH REDUCTION: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{SHAPE-FINITE-COMPILER: OPEN}
}
$$

本輪沒有宣稱解決 Lebesgue universal covering problem，也沒有產生新的嚴格數值上下界。

---

# 1. 研究輸入與舊研究繼承

本輪主要繼承四條既有研究線。

## 1.1 Round 00

Round 00 已指定：

$$
\text{support function}
$$

為 primary handoff interface，並要求 Round 01 重建 constant-width reduction 的精確定理、前提與作用域。

## 1.2 2026-07 六路並行驗證

舊六路得到：

- Q1：包含歪度對候選體的 $1$-Lipschitz 性；
- Q2：支撐函數形式；
- Q3：completion 導向 constant-width reduction；
- Q4：角度／旋轉有限取樣的 Lipschitz 夾逼；
- Q5：預測式 $SE(2)$ 搜尋；
- Q6：有限族 removable-region criterion。

本輪不直接把它們當成全部已證，而是逐項重建與重新定位。

## 1.3 一維度量核研究

一維索引與距離核：

$$
D_K(s,t)
=
\|q_K(s)-q_K(t)\|
$$

仍保留為 representation-fidelity auditor。

本輪證明層則優先使用支撐函數，原因是 Lebesgue 原問題本身要求凸 universal cover，而支撐函數對凸包含是 exact。

## 1.4 外部數學接口

本輪使用下列已知外部結構作為基礎：

- Lebesgue universal cover 的標準定義採凸平面集合；
- 任意有界 Euclidean 集合存在同直徑 completion；
- Euclidean plane 中 diametrically complete body 等價於 constant-width body；
- 常寬一凸體的支撐函數滿足：

$$
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1;
$$

- 對平面常寬一體：

$$
0
\le
h''(\theta)+h(\theta)
\le
1
$$

幾乎處處成立。

這些均是既有凸幾何結果，不是本輪聲稱的新定理。

---

# 2. 原始問題的精確作用域

令：

$$
\mathcal A_{\le1}
=
\left\{
A\subset\mathbb R^2:
A\neq\varnothing,\ 
\operatorname{diam}(A)\le1
\right\}.
$$

令 $\mathcal U$ 為平面非空緊凸集。

稱 $U\in\mathcal U$ 為 Lebesgue universal cover，若：

$$
\forall A\in\mathcal A_{\le1},
\quad
\exists g\in E(2),
\quad
gA\subseteq U.
$$

Lebesgue 常數為：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
=
\inf
\left\{
\operatorname{Area}(U):
U\in\mathcal U,\ 
U\text{ universal}
\right\}.
$$

本輪所有 reduction 都保持：

$$
\boxed{
\forall A\ \exists g
}
$$

的量詞順序。

這一點不可改寫成：

$$
\exists g\ \forall A.
$$

---

# 3. Gate 1：任意集合到緊凸集合

## 定理 3.1：閉凸化保持直徑

對任意非空有界 $A\subset\mathbb R^2$：

$$
\operatorname{diam}
\left(
\overline{\operatorname{conv}}A
\right)
=
\operatorname{diam}(A).
$$

### 證明

首先：

$$
A
\subseteq
\overline{\operatorname{conv}}A,
$$

所以：

$$
\operatorname{diam}(A)
\le
\operatorname{diam}
\left(
\overline{\operatorname{conv}}A
\right).
$$

另一方面，對任意：

$$
x
=
\sum_i\alpha_i a_i,
\qquad
y
=
\sum_j\beta_j b_j
$$

屬於 $\operatorname{conv}A$，其中：

$$
\alpha_i,\beta_j\ge0,
\qquad
\sum_i\alpha_i
=
\sum_j\beta_j
=
1,
$$

有：

$$
x-y
=
\sum_{i,j}
\alpha_i\beta_j(a_i-b_j).
$$

故：

$$
\|x-y\|
\le
\sum_{i,j}
\alpha_i\beta_j
\|a_i-b_j\|
\le
\operatorname{diam}(A).
$$

因此：

$$
\operatorname{diam}(\operatorname{conv}A)
\le
\operatorname{diam}(A).
$$

取閉包不改變直徑上確界，故結論成立。

Q.E.D.

---

## 推論 3.2：原問題可限制到緊凸目標

若 $U$ 為凸集，且：

$$
g\overline{\operatorname{conv}}A
\subseteq U,
$$

則自然有：

$$
gA
\subseteq U.
$$

反之，緊凸直徑不超過一集合本來就是 $\mathcal A_{\le1}$ 的子族。

因此：

$$
\boxed{
U\text{ universal for }\mathcal A_{\le1}
}
$$

若且唯若：

$$
\boxed{
U\text{ covers every nonempty compact convex }K
\text{ with }\operatorname{diam}(K)\le1.
}
$$

### RCHM 判定

這一步消除：

- 非閉集合；
- 非凸拓撲細節；
- 任意孔洞；
- 任意內部碎裂。

但沒有消除：

- shape complexity；
- rotation；
- translation；
- direction continuum。

記：

`HANDOFF-A: PASS`

---

# 4. Gate 2：緊凸目標到常寬一目標

令：

$$
\mathcal W_1
=
\left\{
W\subset\mathbb R^2:
W\text{ compact convex body of constant width }1
\right\}.
$$

本節證明：

$$
\boxed{
\text{測試全部 }\operatorname{diam}\le1
\iff
\text{只測 }\mathcal W_1.
}
$$

---

## 定理 4.1：單位常寬 completion reduction

對任意非空緊凸 $K\subset\mathbb R^2$，若：

$$
\operatorname{diam}(K)\le1,
$$

則存在 $W\in\mathcal W_1$ 使：

$$
K\subseteq W.
$$

### 證明

令：

$$
d
=
\operatorname{diam}(K).
$$

分三種情況。

### Case 1：$d=1$

由 Euclidean completion theorem，存在 diametrically complete $C$ 使：

$$
K\subseteq C,
\qquad
\operatorname{diam}(C)=1.
$$

在 Euclidean plane 中，complete body 等價於 constant-width body，因此：

$$
C\in\mathcal W_1.
$$

取：

$$
W=C.
$$

### Case 2：$0<d<1$

同樣由 completion theorem，存在 constant-width $d$ 的凸體 $C_d$ 使：

$$
K\subseteq C_d.
$$

任取：

$$
c\in C_d.
$$

定義：

$$
W
=
c+\frac{1}{d}(C_d-c).
$$

因：

$$
\frac1d>1
$$

且 $C_d$ 凸、$c\in C_d$，有：

$$
C_d
\subseteq
W.
$$

因此：

$$
K
\subseteq
W.
$$

所有長度在 dilation 下乘以 $1/d$，故 $W$ 的常寬為：

$$
\frac1d\cdot d
=
1.
$$

所以：

$$
W\in\mathcal W_1.
$$

### Case 3：$d=0$

此時 $K$ 為單點。

任何包含該點的半徑 $1/2$ 圓盤都是常寬一體。

故結論成立。

Q.E.D.

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## 定理 4.2：Lebesgue 測試域的精確常寬約化

對任意緊凸 $U$，下列二者等價：

1.

$$
\forall K
\text{ compact convex},
\quad
\operatorname{diam}(K)\le1
\Rightarrow
\exists g\in E(2):
gK\subseteq U;
$$

2.

$$
\forall W\in\mathcal W_1,
\quad
\exists g\in E(2):
gW\subseteq U.
$$

### 證明

$1\Rightarrow2$：

每個 $W\in\mathcal W_1$ 都有：

$$
\operatorname{diam}(W)=1,
$$

所以是第一族的成員。

$2\Rightarrow1$：

任取直徑不超過一的 $K$。

由定理 4.1，存在：

$$
W\in\mathcal W_1
$$

使：

$$
K\subseteq W.
$$

由假設，存在 $g$ 使：

$$
gW\subseteq U.
$$

故：

$$
gK
\subseteq
gW
\subseteq
U.
$$

Q.E.D.

---

## Round 01 對舊 Q3 的判定

舊六路 Q3 的核心方向正確。

但原表述主要聚焦「直徑一」。

本輪補上：

- $0<d<1$；
- $d=0$；
- exact quantifier equivalence。

因此狀態更新為：

`Q3: REBUILD-PASS`

這一 reduction 現在可以進入主 proof graph。

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# 5. Gate 3：支撐函數 containment compiler

對緊凸集 $K$，定義支撐函數：

$$
h_K(u)
=
\max_{x\in K}
x\cdot u,
\qquad
u\in S^1.
$$

寫：

$$
u_\theta
=
(\cos\theta,\sin\theta),
$$

並簡記：

$$
h_K(\theta)
=
h_K(u_\theta).
$$

---

## 定理 5.1：凸包含與支撐函數完全等價

對緊凸 $A,U$：

$$
A\subseteq U
$$

若且唯若：

$$
h_A(u)
\le
h_U(u)
\qquad
\forall u\in S^1.
$$

### 證明

若：

$$
A\subseteq U,
$$

則對每個 $u$：

$$
\max_{x\in A}x\cdot u
\le
\max_{y\in U}y\cdot u.
$$

反向使用凸體的半空間重建：

$$
U
=
\bigcap_{u\in S^1}
\left\{
x:
x\cdot u
\le
h_U(u)
\right\}.
$$

若 $h_A\le h_U$，則每個 $x\in A$ 同時滿足全部支撐半空間不等式，所以：

$$
x\in U.
$$

Q.E.D.

---

## 定理 5.2：剛體運動的支撐函數

令：

$$
g(x)
=
Qx+t,
\qquad
Q\in O(2),
\quad
t\in\mathbb R^2.
$$

則：

$$
h_{gK}(u)
=
h_K(Q^Tu)+t\cdot u.
$$

因此：

$$
gK\subseteq U
$$

若且唯若：

$$
h_K(Q^Tu)
+t\cdot u
\le
h_U(u)
\qquad
\forall u\in S^1.
$$

這是後續所有 exact containment certificate 的 canonical handoff。

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# 6. Directed Hausdorff 與 exact slack

定義定向包含距離：

$$
d_+(A,U)
=
\sup_{x\in A}
\operatorname{dist}(x,U).
$$

對凸緊 $A,U$：

$$
A
\subseteq
U+\varepsilon B
$$

若且唯若：

$$
h_A(u)
\le
h_U(u)+\varepsilon
\qquad
\forall u\in S^1.
$$

因此：

$$
\boxed{
d_+(A,U)
=
\max
\left\{
0,
\max_{u\in S^1}
\left(
h_A(u)-h_U(u)
\right)
\right\}.
}
$$

對配置 $g=(Q,t)$：

$$
d_+(gK,U)
=
\max
\left\{
0,
\max_{u\in S^1}
\left[
h_K(Q^Tu)
+t\cdot u
-h_U(u)
\right]
\right\}.
$$

因此舊六路 Q2 可升級為：

`Q2: PASS / PRIMARY HANDOFF`

---

# 7. Exact placement functional

對固定 $K,U$ 定義：

$$
\Psi_U(K)
=
\inf_{Q\in O(2),\ t\in\mathbb R^2}
d_+(QK+t,U).
$$

則：

$$
\Psi_U(K)=0
$$

若且唯若存在剛體運動使：

$$
gK\subseteq U.
$$

因此 Lebesgue universal condition 可寫成：

$$
\forall K\in\mathcal W_1,
\quad
\Psi_U(K)=0.
$$

後續我們將證明外層最壞值其實可以取到。

---

# 8. Constant-width support compiler

對 $W\in\mathcal W_1$，其支撐函數滿足：

$$
\boxed{
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1.
}
$$

這個條件與平移無關，因平移項：

$$
t\cdot u_\theta
$$

與：

$$
t\cdot u_{\theta+\pi}
=
-t\cdot u_\theta
$$

相消。

---

# 9. Steiner gauge 與 Fourier 結構

支撐函數的 Fourier 展開寫成：

$$
h(\theta)
=
a_0
+
\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n\cos n\theta
+
b_n\sin n\theta
\right).
$$

單位常寬條件：

$$
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1
$$

給出：

$$
a_0
=
\frac12,
$$

且所有偶數模態：

$$
a_{2m}
=
b_{2m}
=
0
\qquad
m\ge1.
$$

$n=1$ 模態正是平移自由度。

Steiner point 為：

$$
s(W)
=
(a_1,b_1).
$$

因此選擇：

$$
s(W)=0
$$

作 canonical translation gauge 後：

$$
a_1=b_1=0.
$$

所以 centered constant-width body 的支撐函數只剩：

$$
\boxed{
h(\theta)
=
\frac12
+
\sum_{\substack{n\ge3\\n\ \mathrm{odd}}}
\left(
a_n\cos n\theta
+
b_n\sin n\theta
\right).
}
$$

這一步真正消除了：

$$
\boxed{
\text{target-shape translation gauge}.
}
$$

注意這不是 placement translation。

placement 中的 $t$ 仍然存在，因為目標體必須被移入候選 cover。

---

# 10. 新 canonical variable：曲率半徑密度

對單位常寬體的支撐函數，定義：

$$
\boxed{
r(\theta)
=
h''(\theta)+h(\theta).
}
$$

對一般非光滑常寬體，$h$ 仍足以使上式幾乎處處有意義；更一般可先在分布／surface-area measure 意義下理解。

既有 constant-width convex geometry 給出：

$$
0
\le
r(\theta)
\le
1
$$

幾乎處處。

由：

$$
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1
$$

二次微分得到：

$$
h''(\theta)+h''(\theta+\pi)=0.
$$

因此：

$$
\boxed{
r(\theta)+r(\theta+\pi)=1
}
$$

幾乎處處。

---

# 11. 一階矩條件

因：

$$
r=h+h'',
$$

對 $2\pi$ 週期函數分部積分：

$$
\int_0^{2\pi}
r(\theta)\cos\theta\,d\theta
=
0,
$$

以及：

$$
\int_0^{2\pi}
r(\theta)\sin\theta\,d\theta
=
0.
$$

這兩個條件也可理解為 closed convex curve 的 surface-area balance condition。

因此定義 admissible curvature-density domain：

$$
\boxed{
\mathcal R
=
\left\{
r\in L^\infty(S^1):
\begin{array}{l}
0\le r\le1\ \text{a.e.},\\
r(\theta+\pi)=1-r(\theta)\ \text{a.e.},\\
\int_0^{2\pi}r(\theta)\cos\theta\,d\theta=0,\\
\int_0^{2\pi}r(\theta)\sin\theta\,d\theta=0
\end{array}
\right\}.
}
$$

這是本輪最重要的新共同域。

---

# 12. 定理：常寬體平移類與 $\mathcal R$ 的精確對應

## 定理 12.1

單位常寬平面凸體的平移等價類與 $\mathcal R$ 一一對應。

更精確地，映射：

$$
[W]_{\mathrm{trans}}
\longmapsto
r_W
=
h_W+h_W''
$$

是 bijection：

$$
\boxed{
\mathcal W_1/\operatorname{Trans}(\mathbb R^2)
\cong
\mathcal R.
}
$$

### 證明：well-defined

平移 $W\mapsto W+t$ 使：

$$
h(\theta)
\mapsto
h(\theta)
+t_x\cos\theta
+t_y\sin\theta.
$$

而：

$$
(D^2+1)\cos\theta
=
0,
$$

$$
(D^2+1)\sin\theta
=
0.
$$

所以：

$$
h+h''
$$

在平移下不變。

故 $r$ 定義於 translation class。

---

### 證明：injective modulo translation

若兩個支撐函數 $h_1,h_2$ 有相同 $r$：

$$
h_1+h_1''
=
h_2+h_2'',
$$

則：

$$
f
=
h_1-h_2
$$

滿足：

$$
f''+f=0.
$$

故：

$$
f(\theta)
=
a\cos\theta+b\sin\theta.
$$

這恰好是平移 $t=(a,b)$ 的支撐函數差。

因此兩個凸體只差平移。

---

### 證明：surjective

任取：

$$
r\in\mathcal R.
$$

考慮週期方程：

$$
h''+h=r.
$$

算子：

$$
D^2+1
$$

的週期核為：

$$
\operatorname{span}
\{
\cos\theta,\sin\theta
\}.
$$

$\mathcal R$ 的兩個一階矩條件正好保證 $r$ 與此 kernel 正交，因此存在週期解。

固定 gauge：

$$
a_1=b_1=0
$$

後，解唯一。

因：

$$
r\in L^\infty,
$$

可取：

$$
h\in W^{2,\infty}(S^1)
\subset
C^{1,1}(S^1).
$$

又因：

$$
h''+h=r\ge0
$$

幾乎處處，標準支撐函數判準給出某個凸體 $W$。

接著令：

$$
w(\theta)
=
h(\theta)+h(\theta+\pi).
$$

有：

$$
w''+w
=
r(\theta)+r(\theta+\pi)
=
1.
$$

另一方面 $w$ 天然為 $\pi$ 週期。

方程：

$$
w''+w=1
$$

的一般 $2\pi$ 週期解為：

$$
w(\theta)
=
1+A\cos\theta+B\sin\theta.
$$

但 $\pi$ 週期要求：

$$
A=B=0.
$$

因此：

$$
w(\theta)=1.
$$

即：

$$
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1.
$$

所以 $W$ 為單位常寬凸體。

Q.E.D.

---

# 13. Fourier 反演形式

令：

$$
r(\theta)
=
\frac12
+
\sum_{\substack{n\ge3\\n\ \mathrm{odd}}}
\left(
\alpha_n\cos n\theta
+
\beta_n\sin n\theta
\right).
$$

$n=1$ 模態由矩條件消失。

則 canonical centered support function 為：

$$
\boxed{
h(\theta)
=
\frac12
+
\sum_{\substack{n\ge3\\n\ \mathrm{odd}}}
\left(
\frac{\alpha_n}{1-n^2}\cos n\theta
+
\frac{\beta_n}{1-n^2}\sin n\theta
\right).
}
$$

所以 shape complexity 被重寫成：

$$
\boxed{
r\in\mathcal R
}
$$

而不是任意平面形狀。

這仍然是無限維域，但其自由度受到非常強的 pointwise box constraint：

$$
0\le r\le1,
$$

以及 antipodal coupling：

$$
r(\theta+\pi)=1-r(\theta).
$$

---

# 14. 具體 sanity family

考慮：

$$
h_a(\theta)
=
\frac12
+
a\cos3\theta.
$$

則：

$$
r_a(\theta)
=
h_a+h_a''
=
\frac12
-8a\cos3\theta.
$$

要求：

$$
0\le r_a\le1
$$

等價於：

$$
|a|
\le
\frac1{16}.
$$

當：

$$
a=\frac1{16},
$$

有：

$$
r_a(\theta)
=
\frac12
-
\frac12\cos3\theta
\in[0,1].
$$

此例驗證：

- 常寬條件只留下 odd mode；
- $n=3$ 支撐模態在曲率域被乘上：

$$
1-3^2=-8;
$$

- convexity 不是對 Fourier coefficient 任意選值，而是由：

$$
0\le r\le1
$$

控制。

---

# 15. Gate 4：worst-case target 是否真的存在

定義 centered 常寬族：

$$
\mathcal W_1^0
=
\left\{
W\in\mathcal W_1:
s(W)=0
\right\}.
$$

因 Steiner point 位於 $W$ 內部或至少位於 $W$ 中，且：

$$
\operatorname{diam}(W)=1,
$$

所以：

$$
W
\subseteq
\overline B(0,1).
$$

因此對所有 $W\in\mathcal W_1^0$：

$$
0
\le
h_W(\theta)
\le
1.
$$

而：

$$
|h_W(\theta)-h_W(\phi)|
\le
\sup_{x\in W}\|x\|
\,
\|u_\theta-u_\phi\|
\le
\|u_\theta-u_\phi\|.
$$

所以這一支撐函數族：

- uniformly bounded；
- equicontinuous；
- closed under uniform limit。

由 Arzelà–Ascoli：

$$
\boxed{
\mathcal W_1^0
\text{ 在 Hausdorff metric 下為 compact}.
}
$$

這也可由 Blaschke selection theorem 得到。

---

# 16. 目標形狀方向的 $1$-Lipschitz 性

## 定理 16.1

對固定緊凸 $U$：

$$
\left|
\Psi_U(K)
-
\Psi_U(L)
\right|
\le
d_H(K,L).
$$

### 證明

對任意同一配置 $(Q,t)$：

$$
d_H(QK+t,QL+t)
=
d_H(K,L).
$$

距離到固定 $U$ 的 directed Hausdorff functional 對第一個變數為 $1$-Lipschitz，因此：

$$
\left|
d_+(QK+t,U)
-
d_+(QL+t,U)
\right|
\le
d_H(K,L).
$$

對 $(Q,t)$ 取 infimum，得到一方向：

$$
\Psi_U(K)
\le
\Psi_U(L)+d_H(K,L).
$$

交換 $K,L$ 得反向不等式。

Q.E.D.

---

# 17. 外層 $\sup$ 升級為 $\max$

由：

- $\mathcal W_1^0$ compact；
- $\Psi_U$ continuous；

可得：

$$
\boxed{
\max_{W\in\mathcal W_1^0}
\Psi_U(W)
}
$$

存在。

因此定義：

$$
\mathfrak K(U)
=
\max_{W\in\mathcal W_1^0}
\Psi_U(W).
$$

則：

$$
\boxed{
U\text{ universal}
\iff
\mathfrak K(U)=0.
}
$$

這把過去研究裡常寫的：

$$
\sup_W
$$

在本作用域下正式提升成：

$$
\max_W.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{對每個固定 }U,
\text{至少存在一個真正的 worst-case constant-width target}.
}
$$

注意：

這不代表 worst-case target 唯一。

---

# 18. 抽象 finite $\varepsilon$-net 定理

因：

$$
\mathcal W_1^0
$$

compact，所以對每個：

$$
\varepsilon>0
$$

存在有限：

$$
\varepsilon\text{-net }
\mathcal N_\varepsilon
\subset
\mathcal W_1^0.
$$

對任意 $W$，存在：

$$
W_i\in\mathcal N_\varepsilon
$$

使：

$$
d_H(W,W_i)
\le
\varepsilon.
$$

由定理 16.1：

$$
\Psi_U(W)
\le
\Psi_U(W_i)+\varepsilon.
$$

所以：

$$
\boxed{
\max_{W_i\in\mathcal N_\varepsilon}
\Psi_U(W_i)
\le
\mathfrak K(U)
\le
\max_{W_i\in\mathcal N_\varepsilon}
\Psi_U(W_i)
+
\varepsilon.
}
$$

這正式補上舊六路 Q4 中尚未完成的：

$$
\text{shape-space finite sampling}
$$

在**存在性層**的缺口。

狀態：

`SHAPE-EPSILON-NET: ABSTRACT-PASS`

但它仍不是可執行 certificate，因為目前沒有給出：

- canonical finite net；
- covering number；
- net construction algorithm；
- exact validation of every net cell。

因此：

`CONSTRUCTIVE SHAPE CERTIFICATE: OPEN`

---

# 19. Gate 5：固定朝向下的 translation compiler

固定：

$$
Q\in O(2).
$$

定義：

$$
a_Q(u)
=
h_K(Q^Tu)-h_U(u).
$$

再定義：

$$
F_Q(t)
=
\max_{u\in S^1}
\left[
a_Q(u)+t\cdot u
\right].
$$

則：

$$
\inf_t
d_+(QK+t,U)
=
\max
\left\{
0,
\min_t F_Q(t)
\right\}.
$$

---

# 20. Translation minimizer 存在

因 $a_Q$ 在 compact $S^1$ 上連續，所以 bounded。

令：

$$
A
=
\|a_Q\|_\infty.
$$

對任意 $t\neq0$，取：

$$
u
=
\frac{t}{\|t\|}.
$$

則：

$$
F_Q(t)
\ge
t\cdot u-A
=
\|t\|-A.
$$

因此：

$$
F_Q(t)
\to\infty
\qquad
\text{當 }\|t\|\to\infty.
$$

$F_Q$ 連續且 coercive，所以存在：

$$
t_Q^\star
\in
\operatorname{argmin}
F_Q.
$$

因此固定朝向的 translation infimum 其實是 minimum。

---

# 21. 至多三方向 active certificate

令：

$$
M_Q
=
F_Q(t_Q^\star).
$$

active direction set 為：

$$
\mathcal A_Q
=
\left\{
u\in S^1:
a_Q(u)
+t_Q^\star\cdot u
=
M_Q
\right\}.
$$

$F_Q$ 是 affine functions 的 pointwise maximum，所以：

$$
\partial F_Q(t_Q^\star)
=
\operatorname{conv}
\mathcal A_Q.
$$

最小化一階條件為：

$$
0
\in
\partial F_Q(t_Q^\star).
$$

因此：

$$
0
\in
\operatorname{conv}
\mathcal A_Q.
$$

由 $\mathbb R^2$ 中的 Carathéodory theorem，存在至多三個 active directions：

$$
u_1,u_2,u_3
\in
\mathcal A_Q
$$

以及：

$$
\lambda_i\ge0,
\qquad
\sum_i\lambda_i=1,
$$

使：

$$
\boxed{
\sum_i\lambda_i u_i=0.
}
$$

同時：

$$
a_Q(u_i)
+t_Q^\star\cdot u_i
=
M_Q.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{固定朝向的最佳平移可由至多三個 active support directions 見證。}
}
$$

這是本輪對 placement freedom 的第一個有限 active-set 壓縮。

---

# 22. 這個三方向結論能做什麼、不能做什麼

它能做：

1. 固定 $Q$ 時，把最佳平移的必要最優條件壓到至多三個方向；
2. 提供 translation certificate 的有限 active witness；
3. 把未來 branch type 的一部分組合結構限制成：
   - one-active degeneracy；
   - two-active balance；
   - three-active balance。

但它不能做：

1. 消除：

$$
Q\in O(2)
$$

的連續旋轉；

2. 證明全域 shape domain 只有有限個 active triple；
3. 證明不同 $Q$ 間 active set 不會發生無限次分支切換；
4. 自動推出 finite global closure。

所以其 RCHM 狀態是：

`TRANSLATION LOCAL FINITE-ACTIVE: PASS`

`GLOBAL PLACEMENT FINITE-BRANCH: OPEN`

---

# 23. Reflection branch 的正確處理

原問題採 congruent / isometric copy。

因此：

$$
Q\in O(2)
$$

而不是只允許：

$$
Q\in SO(2).
$$

可將 $O(2)$ 分成兩個 connected components：

$$
O(2)
=
SO(2)
\cup
R_\mathrm{ref}SO(2).
$$

因此 placement orientation 的剩餘自由度可寫成：

$$
\boxed{
\sigma\in\{+1,-1\}
\quad+\quad
\phi\in S^1.
}
$$

其中：

- $\sigma=+1$：orientation-preserving；
- $\sigma=-1$：含 reflection。

這把 reflection 從容易被忽略的隱含條件升成一個 explicit discrete branch。

---

# 24. Exact canonical minimax normal form

令：

$$
r\in\mathcal R.
$$

由定理 12.1 取 canonical centered support function：

$$
h_r.
$$

對 candidate universal cover $U$，有：

$$
\boxed{
\mathfrak K(U)
=
\max_{r\in\mathcal R}
\min_{Q\in O(2)}
\min_{t\in\mathbb R^2}
\max
\left\{
0,
\max_{\theta\in S^1}
\left[
h_r(Q^Tu_\theta)
+t\cdot u_\theta
-h_U(\theta)
\right]
\right\}.
}
$$

而：

$$
\boxed{
U\text{ universal}
\iff
\mathfrak K(U)=0.
}
$$

所以 Lebesgue 常數可寫成：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
=
\inf_{U\in\mathcal U}
\left\{
\operatorname{Area}(U):
\mathfrak K(U)=0
\right\}.
}
$$

這是 Round 01 後的 canonical problem statement。

---

# 25. RCHM：原始自由度帳本

Round 01 開始前，主要自由度至少包括：

$$
\mathcal F_0
=
\left\{
\begin{array}{l}
\text{arbitrary target topology},\\
\text{nonconvexity},\\
\text{target scale }d\le1,\\
\text{target translation gauge},\\
\text{infinite shape complexity},\\
\text{reflection branch},\\
\text{rotation continuum},\\
\text{placement translation},\\
\text{support-direction continuum},\\
\text{candidate-cover shape freedom}
\end{array}
\right\}.
$$

---

# 26. Round 01 後的自由度帳本

本輪真正消除或重寫的項目：

## 26.1 完全消除

$$
\text{arbitrary target topology}
$$

由 closed convex hull reduction 消除。

$$
\text{nonconvexity}
$$

由 convex universal cover + convexification 消除。

$$
\text{target scale }d\le1
$$

由 unit constant-width completion reduction 正規化。

$$
\text{target translation gauge}
$$

由 curvature density $r$ 或 Steiner gauge 消除。

---

## 26.2 強烈壓縮但未消除

$$
\text{infinite shape complexity}
$$

被重寫為：

$$
r\in\mathcal R
\subset
L^\infty(S^1),
$$

其中：

$$
0\le r\le1,
$$

$$
r(\theta+\pi)=1-r(\theta),
$$

以及兩個 moment constraints。

---

## 26.3 局部有限化

placement translation 在固定 $Q$ 下由至多三個 active directions 見證。

---

## 26.4 仍完全 OPEN

1.

$$
r\in\mathcal R
$$

的 constructive finite compiler；

2.

$$
\phi\in S^1
$$

的全域 branch changes；

3. support-direction continuum 的 certified global handling；

4. candidate cover $U$ 的 boundary freedom；

5. finite branch saturation；

6. global closure。

---

# 27. Escape ledger

Round 01 結束後，合法逃逸不再是「任意平面集合」。

主要剩餘 escape 為：

## E1：Curvature-density microstructure escape

存在序列：

$$
r_n\in\mathcal R
$$

在越來越細的角尺度上振盪。

即使：

$$
0\le r_n\le1,
$$

仍可能形成新的 shape microstructure。

---

## E2：High odd-mode escape

Fourier 模態：

$$
n=3,5,7,\ldots
$$

沒有自然有限截止。

---

## E3：Rotation branch escape

最佳：

$$
\phi
$$

可能隨 $r$ 與 $U$ 非平滑切換。

---

## E4：Active-set switching escape

固定朝向只需至多三個 active directions，但 active triple 本身可隨參數連續或離散切換。

---

## E5：Container-boundary escape

本輪只壓縮 target family。

candidate cover $U$ 仍屬無限維凸體域。

---

# 28. 舊六路研究的重新判定

| 舊項目 | Round 01 判定 | 新角色 |
|---|---|---|
| Q1 continuity | `PASS` | stability / error propagation |
| Q2 support function | `PASS` | primary exact handoff |
| Q3 constant-width reduction | `REBUILD-PASS` | exact target-domain reduction |
| Q4 angular/rotation sampling | `PASS-WITH-SCOPE` | certified sampling for fixed shape/configuration variables |
| Q4 missing shape net | `ABSTRACT-PASS` | compactness gives finite $\varepsilon$-nets |
| Q5 predictive $SE(2)$ | `SEARCH-ONLY` | accelerator, never completeness proof |
| Q6 removable region | `FINITE-FAMILY-PASS` | candidate-cover surgery heuristic + finite certificate |
| 一維距離核 | `REUSE` | representation fidelity auditor |
| $H_2/C_{10}$ | `TEST` | symmetry hypothesis only |

---

# 29. 一個重要的禁止捷徑：不能直接只測 extreme constant-width bodies

單位常寬體族在 Minkowski addition 下形成凸集。

平面極端 constant-width curves 有 Kallay 型特徵：

$$
r(\theta)\in\{0,1\}
$$

幾乎處處。

因此很容易產生一個誘惑：

> 既然任何常寬體可由 extreme bodies 的凸結構逼近，是否只要測 extreme bodies？

本輪明確判定：

$$
\boxed{
\text{目前不能做這個 reduction。}
}
$$

原因是 universal-cover quantifier 為：

$$
\forall K
\quad
\exists g_K.
$$

即使：

$$
K
=
(1-\lambda)K_0+\lambda K_1,
$$

且存在：

$$
g_0K_0\subseteq U,
$$

$$
g_1K_1\subseteq U,
$$

一般也沒有理由推出存在單一剛體運動 $g$ 使：

$$
gK\subseteq U.
$$

因為：

$$
g_0
\neq
g_1
$$

通常是允許的。

所以：

$$
\boxed{
\text{Minkowski convex decomposition}
\not\Rightarrow
\text{placement-compatible decomposition}.
}
$$

若未來要只測 extreme bodies，必須另證：

`COMMON-PLACEMENT / EXTREME-SATURATION LEMMA`

目前狀態：

`EXTREME-ONLY REDUCTION: NOT ESTABLISHED`

---

# 30. 第二個禁止捷徑：naive Fourier truncation 不自動合法

常寬條件確實只留下 odd Fourier modes。

但是直接取 partial sum：

$$
h_M
=
\frac12
+
\sum_{\substack{3\le n\le M\\n\ \mathrm{odd}}}
\left(
a_n\cos n\theta
+
b_n\sin n\theta
\right)
$$

雖然保留：

$$
h_M(\theta)+h_M(\theta+\pi)=1,
$$

卻不自動保留：

$$
h_M+h_M''
\ge0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{odd Fourier truncation preserves width but may violate convexity}.
}
$$

未來 finite compiler 必須在：

$$
r
=
h+h''
$$

層處理 positivity，或使用 positive-kernel / interval-safe construction。

---

# 31. 本輪的新方法論結論

Round 00 的主鏈為：

$$
\text{Existence}
\to
\text{Descent}
\to
\text{Saturation}
\to
\text{Global Closure}.
$$

Round 01 現在把 target-domain descent 明確化為：

$$
\boxed{
A
\to
\overline{\operatorname{conv}}A
\to
W\in\mathcal W_1
\to
h_W
\to
r_W\in\mathcal R.
}
$$

而每個箭頭目前都有：

- 定義；
- 前提；
- exact proof；
- 遺失自由度說明；
- 剩餘 escape 記錄。

因此這條可以作為後續研究的 canonical descent chain。

---

# 32. Round 01 目前最重要的新 gate

本輪完成後，真正的下一個障礙已經從：

> 所有平面形狀怎麼有限化？

壓成：

> 如何對 $\mathcal R$ 建立 constructive、legality-preserving、error-certified finite compiler？

亦即尋找有限維：

$$
\mathcal R_M
$$

以及 reconstruction / approximation operator：

$$
P_M:
\mathcal R
\to
\mathcal R_M
$$

使至少滿足：

1.

$$
P_Mr
\in
\mathcal R
$$

而不是跑出非法 shape；

2. 保留：

$$
0\le P_Mr\le1;
$$

3. 保留：

$$
P_Mr(\theta+\pi)
=
1-P_Mr(\theta);
$$

4. 保留一階矩：

$$
\int P_Mr\cos=0,
\qquad
\int P_Mr\sin=0;
$$

5. 重建支撐函數後有 certified error：

$$
\|h_r-h_{P_Mr}\|_\infty
\le
\varepsilon_M;
$$

6.

$$
\varepsilon_M
\to0.
$$

若能做到，則由：

$$
d_H
=
\|h_1-h_2\|_\infty
$$

與定理 16.1，可直接把 finite shape approximation error 傳遞到：

$$
\Psi_U.
$$

---

# 33. Round 02 指定題目

下一輪正式題目：

## AMRAL-LUC-FC-R02
### Curvature-Density Finite Compiler and Certified Shape Approximation

主要目標：

$$
\boxed{
\mathcal R
\longrightarrow
\mathcal R_M
}
$$

且 handoff 必須 legal。

優先研究三條構造：

1. positive convolution / Fejér-type compiler；
2. Jackson-type positive approximation；
3. antipodal paired piecewise-constant curvature density。

其中任何一條若能同時保持：

- box positivity；
- antipodal complement；
- moment balance；
- support reconstruction；
- explicit Hausdorff error；

就可以成為真正的 constructive finite-shape certificate layer。

---

# 34. COMPUTE-DEFERRED

本輪沒有需要大型算力才能成立的核心定理。

以下只列為後續計算任務，不影響 Round 01 的結構性結論。

## C01：Curvature-density random generator

生成：

$$
r\in\mathcal R
$$

並檢查 support reconstruction。

## C02：Active-direction branch census

對多組：

$$
(K,U,Q)
$$

數值統計 translation minimizer 的 active set：

$$
1/2/3
$$

方向分支比例與退化事件。

## C03：High-mode adversarial shapes

搜尋高 odd Fourier mode 是否能對現有候選 universal cover 產生比 Reuleaux polygon 更高的 placement pressure。

這三項均標記：

`COMPUTE-DEFERRED`

若本地端之後執行，輸出必須回流 canonical audit，而不能逆向改寫本輪已證結構。

---

# 35. 本輪 reproducibility checklist

## Definition audit

`PASS`

## Quantifier audit

保留：

$$
\forall K\exists g.
$$

`PASS`

## Degenerate diameter audit

$d=0$ 已處理。

`PASS`

## Diameter $<1$ audit

completion + dilation 已處理。

`PASS`

## Reflection audit

$O(2)$ 兩 component 已明記。

`PASS`

## Translation gauge audit

shape translation 與 placement translation 已分離。

`PASS`

## Support containment audit

exact。

`PASS`

## Shape compactness audit

centered constant-width family compact。

`PASS`

## Shape finite-net status

存在性：

`PASS`

構造性：

`OPEN`

## Numerical-bound claim

本輪無新 bound。

`NONE`

---

# 36. 本輪進度標記

$$
\boxed{
\text{Round 01 status: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Lebesgue global problem: OPEN}
}
$$

$$
\boxed{
\text{New numerical lower bound: NO}
}
$$

$$
\boxed{
\text{New numerical upper bound: NO}
}
$$

$$
\boxed{
\text{New exact reduction: YES}
}
$$

$$
\boxed{
\text{New canonical shape domain: YES}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Constructive finite shape certificate: NEXT GATE}
}
$$

---

# 37. 最短交接結論

Round 01 把問題從：

$$
\text{arbitrary planar diameter-}\le1\text{ sets}
$$

嚴格壓成：

$$
\boxed{
r\in\mathcal R
}
$$

其中：

$$
0\le r\le1,
$$

$$
r(\theta+\pi)=1-r(\theta),
$$

$$
\int r\cos=0,
$$

$$
\int r\sin=0.
$$

所有 target shape 的平移自由度已被消去。

包含關係則精確寫成：

$$
h_r(Q^Tu)
+t\cdot u
\le
h_U(u).
$$

固定 $Q$ 時，最佳 $t$ 由至多三個 active directions 見證。

整個 target family 是 compact，worst-case target 必然存在，而且任意精度都有 finite $\varepsilon$-net。

因此下一輪不再問「能不能有限逼近」，而問：

$$
\boxed{
\text{如何構造一個保持合法性的可驗證 finite compiler？}
}
$$

---

# 參考文獻

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2. P. Gibbs, *An Upper Bound for Lebesgue's Covering Problem*, arXiv:1810.10089, 2018.
3. U. Mishra, *Curves of constant width and Lebesgue's covering problem*, arXiv:2608.30538, 2026.
4. S. Zeng, *An exact hierarchy for Lebesgue's universal covering constant and a certified 0.834 lower bound*, arXiv:2609.01284, 2026.
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10. Neo.K, *From One-Dimensional Metric Lines to Universal Covering Tension*, internal research draft, 2026-07.
11. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 00: Finite Closure Methodology*, AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2, 2026-09-18.