有限秩低頻投影不變性與多項式秩固定冪臨界值

Campaign 34 把 Paper 33-34 的秩一想法推廣成有限秩的尺度局部多項式投影,追問移除多個低頻矩是否能讓剩下的帶號共變異數在固定指數上真正變得容易。本文先在離散加權 Hilbert 空間中證明精確正交分解(定理 3.1,B-RH-011):投影到 r+1 維多項式子空間的殘差交叉項恆為零,移除的低頻分量並未消失,而是精確地搬進一個顯式的有限修正矩陣(定理 4.1)。對光滑漂移 x^beta 逐一驗證後,證明固定秩投影只改變係數,指數恆為 N^{2beta+1}(定理 7.1,O-RH-078)。更根本的是,利用 Bernstein 逼近理論,u^beta 的最佳多項式逼近誤差只能以代數速率 r^{-2beta} 衰減,若要把係數壓到 N^{-delta} 就需要多項式階數 r>=N^{delta/(2beta)+o(1)} 的秩(定理 11.1,O-RH-079)——這比 Paper 30 高階 Selberg 放大器在 log N/log log N 處達到臨界複雜度的代價還要昂貴得多;多矩再置中同樣把難度原封不動搬進一個有限秩修正矩陣而非真正消去(O-RH-080)。結論是整個有限秩多項式低頻投影家族只是座標重排,並未改變 PESC 的指數等級,因而被關閉為較弱路徑,由於有理/Müntz 逼近的複雜度性質截然不同,Campaign 35 準備單獨審核這一族濾波器。