G2 纖維的算術幾何與雙有理分析，及雙橢圓完美閘：每條座標纖維是虧格 1 曲線，加上完美閘則是虧格 5 曲線

P8：每條 G2 座標纖維是平滑的虧格 1 四次曲線，雙有理於 E_r: Y² = (X + 706)(X² − 202500) 與 E_s: Y² = (X + 2657)(X² − 2458624)；G2 映到非撓點（撓群 Z/2 × Z/4），所以秩 ≥ 1，每條纖維有無限多個結構點。P9：把開著的那個面也加進去，對每個有理 ρ ≠ 1 得到虧格 5 曲線（雅可比 ~ 五個橢圓因子），因此由 Faltings（無效）每條纖維只有有限多個完美點；每條纖維 30,397,485 個既約有理數（分母 ≤ 10000）只給出 2 個已知的結構點與 0 個完美點。