C3-N:Localized Betchov Boundary Current 與 Strain Self-Amplification 局部平衡

C3-M 只知道局部 Betchov 盈餘必須在核心外被補償。本輪正式閉合這件事:先用純運動學恆等式 $\operatorname{tr}(A^3)=3\det S+\frac34\omega\cdot S\omega$ 定義 $b_B=\omega\cdot S\omega+4\det S=\frac43\operatorname{tr}(A^3)$,再引用 Carbone–Wilczek 的結果 $\operatorname{tr}(A^3)=\nabla\cdot F_B$(其中 $F_B=(A^2-\frac12\operatorname{tr}(A^2)I)u$)——這是一個不涉及時間演化的純運動學恆等式。Localized Betchov Boundary Theorem(定理 4.1):$\int\chi b_B=-\frac43\int\nabla\chi\cdot F_B$,對球域可寫成邊界面積分——局部 Betchov 不匹配恰好是一個精確的空間散度流,必須穿過局部化邊界,不是任意遠場記帳。文件同樣給出第二個伴隨恆等式(定理 10.1,對應 $|S|^2-\frac12|\omega|^2=\nabla\cdot(Au)$)。核心結果是 Exact Local Strain Self-Amplification Balance(定理 17.1):把應變方程與 $\chi S$ 做內積,精確推出 $\frac d{dt}E_S^\chi+\nu\int\chi|\nabla S|^2=-2\int\chi\det S+\mathcal C_\chi$——唯一保留在體積內的三次生成項是 $-2\int\chi\det S$(bulk self-amplification),渦度不匹配、平流、壓力 Hessian、黏性局部化修正、移動核心規範項全部進入邊界/規範修正包 $\mathcal C_\chi$。全文最重要的 NO-GO 出現在標度稽核(§25-28):證明 $\int\chi_{R_\lambda}b_{B,\lambda}\,dx=\lambda^3\int\chi_Rb_B\,dx$ 與 bulk self-amplification 項有完全相同的瞬時標度 $\lambda^3$——所以 $R\to0$ 本身並不會讓邊界貢獻變得可忽略。§28 更強:全域動能只控制 $\nu\int\|\nabla u\|_2^2dt$,沒有一致控制邊界項在收縮半徑上的積分,所以精確邊界表示不等於有限邊界預算——這是本輪最重要的 no-go 之一。文件也小心指出 $F_B$ 是使恆等式成立的運動學空間流,不是能量流、不是帶號守恆量、不是不可逆支出,不能直接當「每代付一次的有限成本」。研究前線轉向 C3-O:體積 vs 邊界的漸近比例,是否能被強制到某個不可能的狀態。