分散式證明狀態升級為可持久化檢查點結晶：過期安全與充分性兩定理證明成立，V1–V5 參考交接實測全數通過

Round 12（AMRAL-LUC-FC-R12，2026-09-19）把「用摘要記住研究進度」升級為「用機器可讀 proof state 讓任何 worker／AI／verifier 恢復 global computation」：定義 checkpoint 為七元組 $\mathsf{CP}=(R,T,D,\mathcal P,\mathcal C,\mathcal A,G)$（root identity、target、dependency bundle、current frontier、claim ledger、audit ledger、aggregate state），並把依賴拆成兩類——proof-critical dependencies $D_{\rm proof}$（root-domain hash、target、split-semantics hash、geometry hash、arithmetic-policy hash、witness-catalog hash、verifier-semantics hash、certificate-format hash，合併為指紋 $H_{\rm dep}=H(D_{\rm proof})$）與 performance-only dependencies $D_{\rm perf}$（scheduler、worker 數、佇列順序、機器身分、wall-time 上限、node cap、cache、priority score，明定不進 $H_{\rm dep}$，因此換機器／換 scheduler 不會讓有效 shard 無謂 stale）。Dependency Eligibility Rule 規定 claim 只有 $H_{\rm dep}^{c}=H_{\rm dep}^{\rm current}$ 才有資格進最終聚合，並證明 Stale-Safety Theorem（定理 5.1）——proof-critical 依賴一旦更新，任何依賴舊語義的 claim 的雜湊必然改變（除雜湊碰撞），validator 會將其分類為 STALE 並排除，不可能靜默混入新的 final proof。claim ledger 正式化為 append-only 狀態機（EMITTED、VERIFIED-INDEPENDENT-REPLAY、REJECTED、STALE、SUPERSEDED、CORRECTED），並列五點理由說明為何不覆寫錯誤 shard（可追 correction ancestry、可重現當時錯誤、lagged verifier 可引用原 claim、便於未來稽核比較、防止竄改歷史）。稽核層級正式分四級：A0 Emitter Self-Check（不可單獨進最終定理）、A1 Canonical Independent Replay（每個 terminal shard 至少一個 A1 PASS 是 theorem_ready 的必要條件）、A2 Independent Implementation／Lagged AI（不取代 A1）、A3 Adversarial Mathematical Audit（主動找 branch omission、false core、stale dependency、sign error、arithmetic mismatch、hidden symmetry assumption）；並明定多 AI 稽核不是多數決——即使 100 個 PASS，只要有一個帶有效反例的 FAIL，結果就是 FAIL；lagged verifier 沿用 Round 00 設計，預設落後 canonical 2–4 輪，只讀指定 checkpoint、不讀未來修正，藉此降低 information contamination。Theorem-Ready State 要求 frontier 中每個 seed 恰有一條依賴 current、狀態為 VERIFIED-INDEPENDENT-REPLAY、至少一個 A1 PASS、且無更新 rejection／supersession 的 active claim；scope 與 global_lebesgue_claim 規定必須永遠與 checkpoint 一起保存，本輪參考 checkpoint 明訂 scope=ROUND10-LOCAL-REFERENCE-SHARDS、global_lebesgue_claim=false，避免 theorem_ready=true 被誤讀為 $a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835$ 已證。同輪證明 Checkpoint Sufficiency Theorem（定理 17.1）：只要 checkpoint 保存 root identity、目前完整 frontier、目前 proof dependencies、完整 shard claims 與 certificate hashes、pending frontier、deterministic split semantics 六項，續證或驗證 proof computation 就不需要任何 scheduler 歷史。本輪並以 Round 11 既有 reference sharded proof（frontier $\{00,01,10,11\}$，shard A=$\{00,11\}$、B=$\{01\}$、C=$\{10\}$，三者皆已有 Round 11 independent replay PASS）為 source，實際機器測試五個狀態轉換：V1 baseline（theorem_ready=true）；V2 只換 scheduler hash（fingerprint 不變，theorem_ready=true）；V3 把 $e_{\rm fp}=10^{-8}$ 改成 $2\times10^{-8}$ 但不重發 shards（三個舊 claim 全數 STALE，四個 seed 全變 pending，theorem_ready=false）；V4 把 shard-B claim 標 REJECTED（A/C 保留，僅 seed 01 變 pending，theorem_ready=false）；V5 append 一條 supersedes 舊 claim、通過 A1 PASS 的新 corrected claim（theorem_ready 恢復 true）——五個結果 true/true/false/false/true 與理論預期完全一致。文件同時制定 checkpoint 命名（`AMRAL_LUC_FC_CP___.json`，append-only、不覆寫唯一 latest.json）與 checkpoint_id/parent_checkpoint_id 的 append-only lineage DAG，並為未來真正的全局 $a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350$ 宣告列出十項 publication gate（complete global frontier、每個 terminal seed 恰一條 active claim、全部依賴 current、全部 A1 PASS、無 active reject/stale、global merge PASS、forest identities、publication-grade arithmetic theorem、source／certificate hashes、correction ancestry 完整）。本輪列出四項 COMPUTE-DEFERRED 工作（C12-1 將全局 $T=0.835$ heavy run 的 frontier 真正寫成 checkpoint crystal、C12-2 讓 lagged verifier 開始接 shard audit jobs、C12-3 建立針對 geometry/arithmetic/witness/verifier hash 的自動 stale detection、C12-4 把本地 worker 輸出直接 ingest 成 claim ledger），並為 Round 13 指定題目「Proof-State Scheduler and Autonomous Work Allocation」。全局界 $a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835$ 本輪仍為 COMPUTE-DEFERRED，未獲得任何新數值進展；本輪成果屬協議與基礎設施層級——定義 checkpoint schema、證明其正確性質、並在小規模參考資料上完成實測驗證，而非擴大或逼近全局覆蓋常數本身。研究方向與方法論來源為 Neo.K；本輪 AI 協力研究者與主要執行者為 Aletheia / ChatGPT、GPT-5.6 Sol。