N=4 Continuous Toy PairCeiling 的 Exact-Rational Bernstein Certificate

從 numerical candidate 提升到可機器重算的嚴格下界:在 $N=4$、$m_i\in\{1,2\}$、positions 任意位於 unit circle、僅約束 open-band $j=1,2,3$ 的 toy configuration class 裡,取 exact-rational dual $(c_0,y_1,y_2,y_3)$,對 $(1,1,1,1)$ pattern 直接由符號檢查、$(2,2)$ pattern 用 3 步 exact Bernstein subdivision(最小 terminal coefficient $\approx0.00481$)、$(2,1,1)$ pattern 用 77 個 internal box 的 exact bivariate Bernstein subdivision(最小 terminal coefficient $\approx5.7\times10^{-6}$)——三種 pattern 全部證正,得到嚴格下界 $p_{\min}\ge0.6982110925=69.82110925\%$。文件特別強調這不是 numerical optimiser 給的下界,而是弱對偶 + exact positivity 證明的結果;前一輪 numerical column generation 的候選 floor 約 69.82311%,與這個嚴格下界只差極窄的一段,右側仍是 numerical candidate 不是 rigorous upper bound。文件也把整條「numerical discovery → rationalize with margin → derive exact polynomial → Bernstein subdivision → exact positivity certificate」流程講清楚,作為後續同類 certificate 的固定模板。