Column Generation、Continuous Pricing 與 PairCeiling 的 Primal/Dual 對偶

前一輪只知道 small-$N$ toy LP「看起來很像」Anthropic 的 bandwidth-one adversarial law;這一輪把兩者精確接起來——toy primal 的 LP dual 重新定義離散 certificate samples $r_N(j/N):=Ny_j$ 後,dual constraint 恰好變成 `PairCeiling` 使用的 configuration-wise certificate inequality 的離散形式,dual objective 在 $N\to\infty$ 的 Riemann sum 極限正是 Anthropic 的 continuum certificate value——文件明確強調「不是比喻,而是同一 convex-duality structure 的離散化」。這讓 column generation 有了精確意義:master LP 的 reduced cost $RC(\mathcal C)<0$ 就是找到一個讓目前 dual certificate 失效的反例 configuration,pricing problem 本身即是自動搜尋 certificate 反例。放開 continuous positions 並用數值 column generation 後,$N=4,\ldots,7$ 的候選 floor(69.82%→68.71%)確實快速向官方 68.18% 靠近,但文件同時列出四個限制其宣稱強度的理由:只算到 $N=7$、pricing 用數值全域最佳化、沒有 interval/exact-rational 全域最優性證書、configuration class 與官方生成器是否完全相同尚未證明。另一個結構性發現是 $(2,1,1,\ldots,1)$ one-double-defect pattern 在後期 pricing 中持續主導,暫時理解為「以稀疏 multiplicity defects 換取大幅 pair-spectrum 可調性」。