Manin / Period Audit

Referee D 的實際稽核結果,正面解決 23 篇結尾留下的 period issue。FW Corollary 1.10 的公式使用 modular-form period,而橢圓曲線的 Néron period 與其相差一個 Manin constant——文件引用現代結果:optimal parametrization 的 Manin constant 只可能由 additive reduction primes 支撐。對 $E_q$ 而言,additive primes 恰好只有兩個:base curve 本身的 $2$,以及 twist prime $q$。而 FW 只被用在 **good supersingular $p$** 這個分支,所以這類 $p$ 自動滿足 $p\notin\{2,q\}$,因此 $p\nmid c_{E_q}$——modular period 與 Néron period 在 $p$-adic valuation 上完全相同,period issue 就此閉合。文件接著處理一個附帶的 optimality 問題:因為 base curve 696.e1 對所有 $\ell$ 的 mod-$\ell$ image 都是 maximal,quadratic twisting 保持 residual irreducibility,所以 $E_q$ 沒有 rational prime-degree isogeny——它的 $\mathbb Q$-isogeny class 裡沒有另一條非同構的曲線,$E_q$ 本身就自動是 optimal representative,不需要在多個 isogenous model 之間任意挑選,這個 period argument 因此站得住腳。