Fouquet–Wan Supersingular Source Audit

Referee C 的實際稽核結果,對 $E_q$ 任意 odd good supersingular 質數 $p$ 重驗 FW-H1、FW-H2、FW-H3,這次的做法是直接對照 Fouquet–Wan 論文原文的 normalization,而不是信任先前自行推導的版本。H1:FW 要求 global residual representation absolutely irreducible,base 696.e1 的 mod-$p$ image maximal,quadratic twist 保持 absolute irreducibility,PASS。H2:FW Theorem 1.7 排除 $\bar\rho|_{G_{\mathbf Q_p}}^{ss}=\chi\oplus\chi_{\rm cyc}\chi$ 這個型態,good supersingular local residual representation 是不可約的 niveau-2 type,不可能是 character direct sum,PASS。H3 的稽核最細緻,也是全篇的重點:不自行猜 representation normalization,而是直接找到 FW Theorem 1.1 附近原文對 Assumption 3 的明確定義——local automorphic representation 為 special Steinberg,twist by unramified character 把 $\ell$ 送到 $(-1)\ell^{k/2-1}$,residual representation ramified。代入 weight $k=2$:$(-1)\ell^0=-1$,對橢圓曲線 newform 而言就是 $a_\ell=-1$,也就是 nonsplit multiplicative——取 $\ell=29$,696.e1 在 $29$ 恰好是 nonsplit multiplicative,且 admissible $q$ 使 $29$ 在 $\mathbf Q(\sqrt q)$ split,local quadratic twist trivial;又 $v_{29}(\Delta)=1$,任意奇質數 $p\ne29$ residual 仍 ramified,PASS。文件最後把 BSD conclusion 串起來:Theorem 2.14 先給 $L(E_q,1)\ne0$,Fouquet–Wan Corollary 1.10 因此給出對應的 $p$-part BSD,period issue 明確留給下一份稽核處理。