696.e1 Chebotarev Support Family

定義質數族 $\mathcal P=\{q\text{ prime}: q\equiv1\pmod{24},\ (\frac q{29})=1,\ f_2\bmod q\text{ irreducible}\}$。文件先證明這組同餘條件為什麼有效:$q\equiv1\pmod{24}$ 給出 $q\equiv1\pmod8$ 與 $q\equiv1\pmod3$,使 $2,3$ 在 $\mathbb Q(\sqrt q)$ 中 split;再加 $(\frac q{29})=1$ 使 $29$ 也 split——conductor 的三個質數 $2,3,29$ 全部 split。接著做真正的 Chebotarev 計算:令 $L$ 為 $f_2$ 的 Galois closure($\mathrm{Gal}(L/\mathbb Q)=S_3$,resolvent $F_0=\mathbb Q(\sqrt{-174})$),$K=\mathbb Q(\zeta_{24},\sqrt{29})$。因為 $\sqrt{-174}=\sqrt{-6}\sqrt{29}$ 且 $\mathbb Q(\sqrt{-6})\subset\mathbb Q(\zeta_{24})$,可證 $L\cap K=F_0$,故 $[LK:\mathbb Q]=48$;取 $S_3$ 的 3-cycle 元素(在 $F_0$ 上 trivial,是 fiber-product Galois group 的合法元素),其 conjugacy class 大小為 $2$,得到精確密度 $\frac2{48}=\frac1{24}$。文件再證明一個很俐落的推論——「Automatic ordinary」:$q$ 在 cubic field 中 inert 等價於 $\mathrm{Frob}_q$ 是 $S_3\simeq GL_2(\mathbb F_2)$ 的 order-3 元素,其特徵多項式 $X^2+X+1$ 給出 trace $\equiv1\pmod2$,即 $a_q$ 為奇數;若 $q\ge5$ 且 supersingular,則 $q\mid a_q$ 加 Hasse bound 會迫使 $a_q=0$,矛盾——所以 $q\in\mathcal P\Rightarrow q$ 對 $E$ 是 good ordinary。文件最後給出第一個具體驗證的例子:$q=241$($241\equiv1\pmod{24}$,$241\bmod29=9$ 為 quadratic residue,$f_2\bmod241$ 無根故 irreducible),直接 point count 得 $a_{241}(E)=-7$,因此第一個 explicit twist parameter 是 $d=241$。