696.e1 Base Certificate

把 696.e1 的完整 base 資料寫成正式證書:$E:y^2=x^3+x^2+8x-16$,$N=696=2^3\cdot3\cdot29$,$\Delta_{\min}=-2^{11}\cdot3\cdot29<0$,$E(\mathbb Q)_{\rm tors}=0$,analytic/algebraic rank 都是 $0$,optimal,Manin 常數 $1$。文件接著做一件很重要的事:因為 Banwait–Huang 的 introduction 回顧指出 full BSD 已對 conductor $\le5000$ 的 analytic-rank-0/1 橢圓曲線嚴格驗證過,而 $696<5000$、$r_{\rm an}=0$,所以 $\operatorname{BSD}(E)$——特別是 $\operatorname{BSD}(E,2)$——是直接繼承自既有文獻的嚴格結果,不是本系列新證出來的;文件明確標註這裡刻意不使用「analytic Sha=1 蘊含 actual Sha=1」這種循環推論。$L^{alg}$ gate 部分,LMFDB 記錄 $\Sha_{\rm an}=1$、$\prod c_p=1$、$|E(\mathbb Q)_{\rm tors}|=1$、$Reg=1$,由 analytic Sha 定義直接得到 $v_2(L^{alg}(E,1))=0$。最後計算 2-division cubic:因 $a_1=a_3=0$ 故 $f_2(x)=x^3+x^2+8x-16$,無有理根故 irreducible,判別式 $\operatorname{disc}(f_2)=-11136=-2^7\cdot3\cdot29$ 不是平方,因此 Galois closure 是 $S_3$,quadratic resolvent 是 $\mathbb Q(\sqrt{-174})$——這組計算直接為 16 篇的 Chebotarev 論證鋪路。