Candidate Sieve:為什麼 696.e1 冒出來?

v0.3 開篇,也是整條 Phase 2 標題曲線 696.e1 第一次真正出現的地方。文件先改變篩選順序:改用「rank/optimal/Manin → 2-part $L^{alg}$ valuation → base $\operatorname{BSD}(E,2)$ → odd multiplicative reservoirs → fixed additive primes → residual images → 最後才做 local Iwasawa/FW」的便宜到昂貴順序,而不是先對每條曲線做昂貴的 local Galois analysis。$E=696.\mathrm{e}1=[0,1,0,8,-16]$ 的 base 資料極度乾淨:rank $0$、torsion trivial、optimal、Manin 常數 $1$、conductor $696<5000$、$\Sha_{\rm an}=1$、Tamagawa product $1$,精確給出 $L^{alg}(E,1)=1,\ v_2(L^{alg})=0$,正好落入 Theorem 2.14 的「無理性 2-撓點、負判別式」分支。奇質數的局部結構:$2$ 是 additive $\mathrm{II}^*$($v_\Delta=11$)、$3$ 是 split multiplicative $\mathrm I_1$、$29$ 是 nonsplit multiplicative $\mathrm I_1$,因此 $W_{\rm mult}^{\rm odd}=\{3,29\}$、$W_-=\{29\}$,所有相關 gcd 都恰好是 $1$。LMFDB 記錄全部質數都是 maximal residual image,support prime irreducibility、fixed multiplicative irreducibility、no rational isogeny、twist irreducibility preservation 全部極度乾淨。文件接著給出一個真正有價值的控制組:$116.\mathrm b1$ 同樣 rank $0$、2-part anchor 漂亮、也有 nonsplit multiplicative $29$,但它的 odd bad structure 只有 $29$ 這一個 multiplicative reservoir,fixed multiplicative 檢查在 $p=29$ 處找不到另一個 $q\ne29,\ q\parallel N$ 作 residual-ramification witness,因此被 FAIL_FIXED_MULTIPLICATIVE_WITNESS 淘汰。這個對照精確點出 696.e1 真正的關鍵不是單純「有一個 nonsplit prime」,而是「至少兩個 odd multiplicative reservoirs,其中至少一個 nonsplit」。