696.e1 All-Prime Router

把 12 篇的抽象路由表,具體套用到 $E_q$($q\in\mathcal P$,696.e1 的 twist family)上逐類驗證。取 $d=q$,由 Theorem 2.14 已有 $L(E_q,1)\ne0$ 與 $\operatorname{BSD}(E_q,2)$,現在只需處理奇質數。Case A($p=q$,additive):witness $\ell=29$ 有效,因 $v_{29}(\Delta_E)=1$ 故 $q\nmid v_{29}(\Delta_E)$,residual ramified,且 $29$ 在 $\mathbb Q(\sqrt q)$ split 使 local twist 在 $29$ trivial。Case B(good ordinary,$p\nmid q$):quadratic twist 保留 residual irreducibility,除 $p=3,29$(本來就是壞質數,不會發生)外,其餘 $p$ 一律可用 $29$ 當 witness,因 $p\nmid1=v_{29}(\Delta_E)$。Case C(fixed multiplicative,只有 $p=3,29$):$p=3$ 時取 $q_0=29$,$p=29$ 時取 $q_0=3$,兩個 valuations 都是 $1$,residual ramification 成立。Case D(good supersingular)是文件特別點名的分支——「這是 semistability 原本真正卡住的 branch」:FW-H1(good supersingular local representation irreducible,故 global residual absolutely irreducible)、FW-H2(local residual irreducible,不可能半單化成禁型)、FW-H3(取 $\ell=29$,nonsplit multiplicative 且 $v_{29}(\Delta)=1$,任意 good supersingular 奇質數 $p\ne29$ 都有 $p\nmid1$,residual Steinberg extension ramified)全部驗證通過。文件也誠實處理 period/Manin issue:good supersingular $p$ 是 good-reduction prime($p\nmid N_{E_q}$),故沒有 $p$-adic Manin contribution(引用既有 Manin-constant support 結果);base curve 所有 mod-$\ell$ images maximal,twist 保持 odd-$\ell$ irreducibility 與 2-torsion field 不變,因此 $E_q$ 沒有 rational prime-degree isogeny。最後的 Exhaustion 段落收尾:奇質數對 $E_q$ 只能落入這四類之一——additive、good ordinary、multiplicative $3/29$、good supersingular——四類已覆蓋,prime router 沒有遺漏 branch。