Quadratic-Twist Invariance Bridge

Fouquet–Wan 定理是對單一 $(E_d,p)$ 說的,但 Banwait–Huang 需要的是「一個 base $E$ ⟹ 無限多 $d$」,所以必須把 FW hypotheses 從 twist 層降回 base 層——這正是 02 篇 Level 2「量詞壓縮」目標的其中一半。文件從 $\bar\rho_{E_d,p}\cong\bar\rho_{E,p}\otimes\chi_d$ 出發,提出三個候選引理:Lemma A 證明絕對不可約性在 twist 下完全不變(tensor by 1-dimensional character 是 category auto-equivalence,這一項可完全 base-curve 化);Lemma B 處理 local semisimplification degeneracy 型態在 twist 下如何保持,文件誠實標注狀態是「標準表示論推導候選,正式文件需逐 theorem version 核對」;Lemma C 證明若 conductor prime $\ell\mid N$ 在 $K_d=\mathbb Q(\sqrt d)$ 中 split,twist 後 local representation 在 $G_{\mathbb Q_\ell}$ 上完全不變,因此任何以該 $\ell$ 作 witness 的 FW-H3 local certificate 可以沿整個 admissible twist family 保留。若 A/B/C 全部形式化,則對固定 $p$ 有 $\mathrm{FW}(E,p)\Rightarrow\mathrm{FW}(E_d,p)$ 對所有滿足 splitting conditions 的 admissible twists 成立——意義重大:不必對無限多 $d$ 重跑 residual representation theorem,只需對 base curve 建立一次 FW certificate。但文件在結尾明確劃出邊界:這個 bridge 只解決了 $\forall d$ 這一半,$\forall p>2$ 完全沒有觸碰。