Finite Exceptional Prime Problem

正面拆解 00 篇留下的 mother problem:$\forall p>2,\ \mathrm{FW}(E,p)$ 如何變成 finite certificate?文件逐條檢視三個假設各自的「有限性」。H1 是好消息:absolute reducibility(即 $\bar\rho_{E,p}$ 可約)等價於存在 rational $p$-isogeny 類型的 residual stable line,這在給定 $E/\mathbb Q$ 上只會發生在有限質數,可直接由 LMFDB isogeny/Galois-image metadata、Sage isogeny class、已知 rational isogeny theorem 產生 finite set $P_{\rm red}(E)$。H3 有一個 finite-exception heuristic:若固定 multiplicative $\ell\parallel N$ 可作 witness,則 residual ramification 常與 $p\nmid v_\ell(\Delta_E)$ 相關,多個 witness candidates 可交集出 $P_{\rm ram}(E)$——但文件明確警告 Fouquet–Wan 的精確 H3 條件比純 ramification 更細,此式只能作 compiler heuristic,不能直接當 theorem。H2 被文件直接點名是目前最不清楚的部分,能否化成 $a_p$ 同餘式、local reduction type 或 finite exceptional set 需要正式推導——這正是 Phase 2 第一個真正的 algebraic task。文件給出精確的成功標準:找到一個定理使 $p\notin P_{\rm red}(E)\cup P_{\rm loc}(E)\cup P_{\rm ram}(E)\Rightarrow\mathrm{FW}(E,p)$,且右側三集合都 finite、effectively computable、certificate-producing。同樣精確的是失敗標準:若 H2/H3 的精確條件需要對無限多 $p$ 做不可壓縮的 local Galois computation,且無 generic-large-$p$ theorem,route 就只能降級成「per-prime theorem,不是 full-BSD family closure」——文件明確禁止用「tested up to $B$」替代全稱量詞。