Test-Specific Weighted Pair-Correlation Hypothesis:$P_{70}$ 不需要完整 Hardy–Littlewood

Goldston 記錄的 Montgomery 強 prime-pair 假設要求每一個 shift 都有平方根級 error,文件指出這對只準備使用一個指定 extremal test $R_\sigma^\star$ 的證明來說明顯太強——真正需要的只是 $\int_{1<|\alpha|\le\sigma}\widehat R_\sigma^\star(\alpha)F(\alpha,T)\,d\alpha$ 這一個線性泛函的正確 asymptotic。文件定義 WSPC(Weighted Strong Pair Correlation,只限制一個線性泛函,資訊維度遠低於完整 SPC)與對接 Claude 實際 $O_1$ 公式的 WPPH(Weighted Prime-Pair Hypothesis,只要求 Claude 實際使用的那一個 weighted double sum 正確,允許不同 $h$、不同 $m$ 區段的誤差互相抵消)。數值上最驚人的發現:$P_{70}$($\sigma_{70}\approx1.042628$)的 optimal test 在未知 strip $|\alpha|>1$ 使用的 Fourier mass 只有整個 normalize mass 的約 0.114%——困難來自「跨界」本身,不是來自「需要大量新 band」。但這個依賴隨比例提高快速上升:$P_{80}\approx2.89\%$、$P_{90}\approx12.36\%$、$P_{95}\approx24.32\%$、$P_{99}\approx51.07\%$,說明 $P_{70}$ 與 $P_{99}$ 不是「同一件事多做幾次」。文件也給出實用版本:取 $\sigma=1.05$(而非剛好卡在 $\sigma_{70}$)可以換得 $|\mathcal J_{1.05}(T)|\le0.0044$ 的誤差容忍空間,形成第一條 support–accuracy frontier。