Local p-Isogeny Kernel Criterion

把 35 篇抽象的 Jordan–Hölder 判準,翻譯成一個具體、可直接計算的 isogeny kernel 條件。假設 $E[p]|_{G_{\mathbf Q_p}}$ reducible,選一條 stable cyclic subgroup $C\simeq\mathbf Z/p$,得到局部 isogeny $\phi:E\to E'$,令 $\sigma(P)=\lambda(\sigma)P$。文件證明一條精確等價鏈:因 $x(P)=x(-P)$ 且 $p$ 為奇數,$x(P)\in\mathbf Q_p$ 若且唯若 $\sigma(P)=\pm P$ 對所有 $\sigma$ 成立,若且唯若 $\lambda(G_{\mathbf Q_p})\subset\{\pm1\}$,若且唯若 $\lambda^2=1$——因此 $\lambda^2=1$ 若且唯若 $\ker\phi$ 的 kernel polynomial 在 $\mathbf Q_p$ 有 linear factor,這是一個可以直接用 Tate 演算法或局部體計算檢驗的具體條件。另一個 Jordan–Hölder character $\mu=\omega\lambda^{-1}$ 對應 dual isogeny $\widehat\phi:E'\to E$ 的 kernel character。因此 $\mathrm{FW17\text{-}H2\ FAIL}$ 若且唯若 $\phi$ 或其 dual 的 kernel polynomial 在 $\mathbf Q_p$ 有 linear factor。文件最後解釋為什麼只需檢查一條 isogeny 加其 dual 就足夠,不必列舉所有 local $p$-isogenies:nonsplit reducible extension 時,原本的 $E[p]$ 只有一條 stable line,quotient constituent 會出現在 dual kernel 裡;split representation 時,兩個 constituent 直接由 $\phi,\widehat\phi$ 各自捕捉。