一個主要依賴定性、拓樸、幾何、代數或組合結構的證明策略,在提升為全域解析／算術命題之前,必須經過的合法性、可容許性、估計精度、誤差控制與一致量化層。定性論證常常在直覺上「感覺對」,但沒有交代常數是否一致、誤差是否可控、尾端是否被處理、局部結果能不能真的黏合成全域結果——QCI 就是把這些追問固定成一份必須逐項回答的清單,而不是留給讀者自行腦補。
\[ \mathcal T \xrightarrow{\Phi} \mathcal A_{\mathrm{admissible}} \xrightarrow{Q} \mathcal R \]
其中 \(\mathcal T\) 是原始的定性/結構性論證,\(\Phi\) 是把它篩選、改寫成可容許形式的映射,\(\mathcal A_{\mathrm{admissible}}\) 是通過合法性檢查的中間形式,\(Q\) 是定量化算子,\(\mathcal R\) 是最終可被檢驗的定量結果。
任何聲稱已完成 QCI 閉合的論證,都必須能交代以下九個分量各自的狀態:
\[ D^{\mathrm{QCI}} = ( D_{\mathrm{def}}, D_{\mathrm{adm}}, D_{\mathrm{quant}}, D_{\mathrm{uniform}}, D_{\mathrm{error}}, D_{\mathrm{tail}}, D_{\mathrm{global}}, D_{\mathrm{consistency}}, D_{\mathrm{formal}} ) \]
D_def — 對象是否有明確定義(well-definedness);D_adm — 是否通過可容許性檢查(admissibility);D_quant — 是否有明確的定量界(quantitative bound);D_uniform — 界是否在相關參數範圍內一致(uniformity);D_error — 誤差項是否被估計、控制(error budget);D_tail — 尾端行為是否處理(tail);D_global — 局部結果是否真的能黏合成全域結論(local-to-global);D_consistency — 跟已知結果、特例是否一致(consistency);D_formal — 是否有(或需要)形式化驗證(formalization)。若某 Case 套用 QCI,建議的逐項狀態呈現(尚未套用在任何現有 Case 上):
QCI
✓ Well-definedness
✓ Admissibility
△ Quantitative bound
✗ Uniformity
△ Error budget
N/A Tail
✗ Local-to-global
✓ Consistency
○ Formalization整體狀態固定為以下五種之一:CLOSED / PARTIAL / OPEN / FAILED / N/A。