合法性閉包不等於霍奇猜想：Pointwise Witness 到 Relative Cycle 的一次斷裂，與四型命題下的 LegalityClosure(S_L)=1

Phase II（Legitimacy）由 R010 開局：在 R009 已 close 的 scope 內，定義 direct legal witness 關係 Z⊩_X^p α（讀作 Z 是 α 的直接合法 algebraic witness），若且唯若 cl_X^p(Z)=α，其中 Z∈CH^p(X)_Q 為 rational Chow class、α∈V_X^p 為 Hodge candidate；Hodge conjecture 因此被改寫成 cl_X^p 的 surjectivity 命題，而非新的猜想。R010 同時建立一套 legality-preserving calculus——rational linearity、intersection product、external product、proper pushforward、smooth scope 下的 Gysin pullback、algebraic Chern class——並訂下本階段最關鍵的禁制規則：Algebraic-Realizability Gate（ARG）。一個 cohomological operator T 只有在存在 algebraic correspondence Γ 使 T=Γ_*^H 時才算 legality-preserving；因此 Hodge projector、primitive projector、Künneth projector、monodromy transport、Mumford–Tate invariance、period constancy，全部被明文禁止自動升級為 legal，狀態必須標為 BLOCKED_BY_ARG。R011 進一步用明確宣告的 seed library 與 correspondence library 建立 constructive closure，避免「任意 correspondence library 下單一 point seed 即可語義生成全部 Chow classes」的平凡化。R012 是本階段第一個重要的負向結果：先證明不受限的 Finite Seed Hypothesis（UFSH(X,p)：存在有限 algebraic cycles 張滿 V_X^p）在邏輯上與 Hodge conjecture 本身完全等價，不是新命題，且 seed 數量完全取決於所選 correspondence library（library 越寬，seed 數量可以從 r_{X,p} 一路壓到 1）；再測試一個自然但受限的 grammar——由 divisor classes 生成的子代數 D^p(X)——結果它在 P^n 與 elliptic curve 的冪 E^m 上成功，卻在 special cubic fourfold 上明確失敗：Pic(X)=Zh 使 D²(X)=Qh² 只有 rank 1，但 special cubic fourfold 的 integral (2,2) lattice rank 至少為 2，而 cubic fourfold 的 Hodge conjecture——甚至 integral Hodge conjecture——早已被古典結果證明成立。也就是說，即使在一個 Hodge conjecture 已知為真的簡單例子中，divisor-generation 這個看似最自然的 grammar 仍然構造不出所需的 witness。R012 因此嚴格證明「divisor-generation hypothesis 嚴格強於 Hodge conjecture」，確立 algebraicity ≠ low-complexity constructibility，並正式退役裸的 Finite Seed Hypothesis，改用 library-relative 的 generator hierarchy 𝔊_0⊆𝔊_1⊆⋯ 與 Legality Generator Depth κ_𝔊(X,p)。R013 是第一次 LegalityClosure Audit，結果 FAIL：R010–R012 的 witness／correspondence／generator-complexity calculus 全部以單一 fiber 為合法性單位，但對 smooth projective family π:X→S，pointwise legal witness、Hodge persistence locus B_α={t:α_t∈H^{p,p}(X_t)}，與 algebraic-cycle realization locus A_α={t:∃Z_t∈CH^p(X_t)_Q, cl(Z_t)=α_t} 是三個不同命題，只有 A_α⊆B_α 恆成立。R013 證明 Strong Relative Witness⟹Fiberwise Legality⟹Hodge Persistence，但反方向——一個 flat class 在某 fiber 已合法、且沿整個 base 保持 Hodge type，是否處處都有 algebraic witness——正落入 variational Hodge conjecture 本身，不能被偷偷寫成 legality rule；specialization CH^p(X_η)→CH^p(X_0) 提供一條合法卻單向的 transport（只能 generic 到 special），反方向需要 relative Hilbert-scheme deformation 與 obstruction 理論。R013 因此設定 LegalityClosure=0，缺失軸命名為 RelativeCycleLegality。R014 補上 relative cycle／relative Hilbert–Chow carrier，在 rational、smooth-projective、finite-type base 的條件下證明 FiberwiseLegal⟺FiniteStratifiedRelativeLegal，把原本看似無限的「witness 如何跨 family 連貫」問題，壓縮成有限 stratification 上的 relative witness 存在性問題，使真正剩下的缺口精確收斂到 A_α=B_α 這一個等式本身。R015 是第二次 Audit，正式通過：本輪把 scope S_L（限定 rational Hodge-algebraicity 的 legality 問題，coefficients 取 Q）內所有 legality 問題化約成四種 typed proposition——Type I Image（α∈Im cl?）、Type II Operator Realization（某 cohomological operator 是否有 algebraic correspondence realization?）、Type III Constructive Reachability（α∈L_{𝔊,𝒮}?）、Type IV Relative Reachability（是否 b∈A_α 且 A_α=B_α 且 W(Z_s)∋b?）——並把 R010–R014 壓成三層 Master Legality Carrier 𝔠_L：Pointwise 層（CH*(X)_Q、cl、Corr_Q、ARG）、Constructive 層（seed library、correspondence library、monoidal closure、legal span、residual、derivation certificate）、Relative 層（relative cycle、Hilbert/Chow parameter space、A_α、B_α、W(Z_s)、specialization、base change、descent、obstruction tags）。R015 也專門檢查 normal function、Abel–Jacobi invariant、Deligne–Beilinson cohomology 等更細緻的不變量，判定它們在目前只問「α 是否存在某個 algebraic preimage」的 Image Problem 範圍內，只是 obstruction diagnostics 或 kernel-side refinement，不構成新的必要 carrier；把它們正式納入 carrier 屬於 Kernel Refinement Problem 的範圍，不在 S_L 之內。因此本輪正式設定 LegalityClosure(S_L)=1。 R015 §38 逐字寫下本頁最重要的一句話——「LegalityClosure(S_L)=1」不是「HodgeConjecture=1」，也不是「VariationalHodge=1」；它只表示『合法 witness 問題的資料型別與操作型別已閉包』。閉包之後仍明確保留一份「carrier 內未證命題」清單（R015 §39）：pointwise Hodge conjecture 本身（Alg^p(X)=?V_X^p，未知）；variational Hodge conjecture（A_α=?B_α，即 Hodge persistence 是否等於 algebraic realization，未知）；standard-conjecture 等級的 ARG 命題（例如某個 Λ 是否確實為 algebraic correspondence）；生成複雜度問題（κ_𝔊(X,p) 是否有限或一致有界）；以及 specific witness lifting（一個已知 witness 能否延伸到指定的 deformation 方向）。R012 的 divisor-generation 反例是這個邊界最具體的示範：即使在 cubic fourfold 這個 Hodge conjecture（乃至 integral Hodge conjecture）早已 classically 證明成立的例子上，一個自然、乾淨、完全合法的 grammar 依然構造不出所需 witness——「型別已閉包」從未保證「任何具體命題都容易證」。這與測度閉包頁的警語「資訊類型已足夠不等於演算法成本已低」是同一件事的 Legitimacy 版本，兩頁合起來要說的是：MLRSC 框架讓我們知道該往哪裡問、該問什麼形狀的問題，但沒有讓霍奇猜想本身變得比較容易證。