GCD Witness Lemmas

31 篇 Section 2 完整證明的精簡工作稿版本,把 gcd witness 的代數核心壓縮成三條速查引理。Generic witness:對一個不在 multiplicative witness 集合裡的奇質數 $p$,存在有效 witness $\ell$ 使 $p\nmid n_\ell$,若且唯若 $p$ 不整除整個集合的 $\gcd_\ell n_\ell$——因此唯一可能失敗的,只有這個 gcd 的有限奇質因子。Fixed multiplicative prime:若 $p$ 本身就是 multiplicative 質數,witness 必須取一個相異的 $\ell\ne p$,這是一個有限的 leave-one-out 檢查。Nonsplit FW witness:同一條 gcd 引理,限制在 nonsplit multiplicative primes 這個子集合上同樣成立,其奇 gcd 因子正是唯一可能讓標準 FW-H3 witness 失敗的質數。文件用一句話收尾整個機制的代數本質:這正是全質數 witness 問題能夠有限化的確切代數原因。