Theorem 2.18 條件圖

把 Banwait–Huang Theorem 2.18 的資格條件完整攤開成可逐項稽核的清單。Base curve $E$ 需要同時滿足七個條件(E1 半穩定、E2 小質數 trace $a_3(E)\in\{-2,\ldots,2\}$、E3 排除 $p\in\{3,5,7\}$ 有理 isogeny、E4 乘法質數處的分歧條件、E5 $\Gamma_0(N)$-optimal representative、E6 解析秩為零、E7 $\operatorname{BSD}(E,2)$ 已無條件驗證)。曲線接著按 2-撓點結構分兩支:分支 8a(無有理 2-撓點,由 Zhai 類結果處理)與分支 8b(恰有一個有理 2-撓點,需要 $E'=E/E(\mathbb Q)[2]$ 滿足 $\Sha(E')[2]=0$ 且 $E'(\mathbb Q)[2]\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$)。Twist $d$ 除了平方無因子、與 $3N$ 互質、$d\equiv1\pmod4$ 等共同條件外,Zha16 分支與 CLZ20 分支各自還有質數在特定體中 inert/split 的條件。文件最後明確定住輸出語義的方向性:Algorithm 2 回傳的不是「所有滿足 BSD 的 twists」,而是一個 theorem-guaranteed subfamily——admissible 蘊含 BSD 由已引用定理推出,但 not admissible 不蘊含 BSD 為假,這個單向性是整條 Phase 1 管線的核心紀律。