# WSFC Round 26
## Elasticity Kernel Closure：Computer-Assisted $K>0$ 與 2007 Conjecture (6) 的 Strictness

**English Title:** *Elasticity Kernel Closure: Computer-Assisted Positivity and Strict Endpoint-Distance Monotonicity*  
**文件代號：** `WSFC-R26-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-24  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-R25-v0.1`  
**狀態：** `CONJECTURE (6) RESEARCH-PROOF CLOSURE / COMPUTER-ASSISTED KERNEL / FORMAL AUTHORITY OPEN`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

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# 摘要

Round 25 修正：

$$
\boxed{
b_n=t_nd_n^\star
}
$$

並證：

$$
d_{n+1}^\star<d_n^\star.
$$

但 unit-length endpoint strictness仍剩：

$$
\mathcal E
=
V V_{dq}
+
dV_qV_{dd}
>0.
$$

Round 26 將此 kernel 完整分解。

令：

$$
g(q,s)=2q\tan\frac{s}{2q},
\qquad
z=\frac{s}{2q}.
$$

首先：

$$
-g_q
=
2(z\sec^2z-\tan z),
$$

$$
-g_{sq}
=
\frac{2z\sec^2z\tan z}{q}.
$$

本輪證：

$$
\boxed{
\frac{-g_{sq}}{-g_q}
\ge
\frac3s.
}
$$

等價於：

$$
z\sec^2z-\tan z
\le
\frac23z^2\sec^2z\tan z.
$$

令右減左為 $R(z)$。

其 derivative：

$$
R'(z)
=
-
\frac{
2z[
2z\cos^2z-3z+\sin z\cos z
]
}{
3\cos^4z
}.
$$

而：

$$
2z\cos^2z-3z+\sin z\cos z
\le
2z-3z+z=0.
$$

故：

$$
R'(z)\ge0,
\qquad
R(0)=0.
$$

ratio lemma成立。

R25 已知：

$$
V_{dq}=(-g_{sq})(-s').
$$

所以：

$$
V_{dq}
\ge
\frac{
3(-g_q)(-s')
}{s}.
$$

另一方面 breadth-one optimizer具有 top point高度 $1$。

若 endpoint distance為 $d$，top horizontal coordinate為 $x$，則：

$$
V
\ge
\sqrt{1+x^2}
+
\sqrt{1+(d-x)^2}
\ge
2\sqrt{1+\frac{d^2}{4}}.
$$

physical support cell有：

$$
d<\frac2{\sqrt3}.
$$

因此：

$$
2\sqrt{1+d^2/4}>2d.
$$

故：

$$
\boxed{
b=\frac dV<\frac12.
}
$$

現在：

$$
\mathcal E
=
V V_{dq}
-
d(-V_q)V_{dd}.
$$

ratio lemma給：

$$
\mathcal E
\ge
(-V_q)
\left[
\frac{3V(-s')}{s}
-dV_{dd}
\right].
$$

由：

$$
d<V/2,
$$

只需證：

$$
\boxed{
\mathcal K
=
6(-s')
-sV_{dd}
>0.
}
$$

Round 26 對 $\mathcal K$ 建立 computer-assisted interval certificate。

---

# 1. Continuous Count Domain

將 stage interpolation寫成：

$$
(q_L,q_R)
=
(q,q+\lambda),
$$

$$
q\ge1,
\qquad
0\le\lambda\le1.
$$

令：

$$
r=1/q\in[0,1],
$$

則：

$$
1/q_R
=
\frac{r}{1+\lambda r}.
$$

所以 infinite support-count family被 compactify成：

$$
(r,\lambda)\in[0,1]^2.
$$

---

# 2. Endpoint Domain

R25 comparative statics使 $d^\star$ 隨 support count增加而 strict下降。

continuum broadworm dual endpoint約：

$$
1.043590>1.02.
$$

而 $n=4$：

$$
d_4^\star<1.062.
$$

故所有 finite-stage與 continuous interpolation optimizer均位於：

$$
\boxed{
1.02<d^\star<1.08.
}
$$

---

# 3. Physical Apex Cell

令：

$$
\sigma=\sqrt{d^2-1},
\qquad
\rho=d-\sigma.
$$

Round 24：

$$
\sigma<x<\rho.
$$

parameterize：

$$
x
=
\sigma
+
u(\rho-\sigma),
\qquad
u\in[0,1].
$$

所以完整 interval box域：

$$
[1.02,1.08]\times[0,1]^3.
$$

---

# 4. Stationarity Pruning

只需 profiled apex：

$$
\mathcal L_x=0.
$$

若 interval box滿足：

$$
0\notin[\mathcal L_x],
$$

它不可能包含 optimizer branch，直接排除。

其餘 boxes同時驗：

$$
[\mathcal K_L]>0,
\qquad
[\mathcal K_R]>0.
$$

---

# 5. Interval Audit

$\lambda$ 分成 $16$ 個 closed slices。

每個 slice在 $(d,u,r)$ 做 adaptive subdivision。

結果：

```text
processed boxes             28244
discarded by stationarity    6545
certified leaf boxes         7585
unresolved terminal boxes       0
maximum depth                  17
```

全域最小 certified lower bound：

$$
\boxed{
\mathcal K
\ge
0.0006339178281571378
>0.
}
$$

authority：

```text
COMPUTER-ASSISTED INTERVAL CERTIFICATE
REPLAYABLE
NOT PROOF-ASSISTANT VERIFIED
```

---

# 6. Elasticity Sign

由：

$$
\mathcal K>0
$$

得到：

$$
6(-s')>sV_{dd}.
$$

結合：

$$
d<V/2
$$

與 ratio lemma：

$$
\boxed{
\mathcal E>0.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
b_q<0.
}
$$

---

# 7. Stage-to-Stage

even：

$$
(q,q)
\rightarrow
(q,q+1).
$$

odd：

$$
(q,q+1)
\rightarrow
(q+1,q+1).
$$

interval certificate覆蓋整個 continuous imbalance：

$$
|q_L-q_R|\le1.
$$

因此兩種 step皆 strict：

$$
\boxed{
b_{n+1}<b_n
}
$$

for all $n\ge4$。

---

# 8. Exact Base

$n=2$：

$$
b_2=\frac12.
$$

三段 optimum令：

$$
c_3=\cos\theta_3.
$$

first-order cubic：

$$
4c^3+12c^2+3c-4=0.
$$

它對 $c\ge0$ strict increasing，且：

$$
F_3(11/26)
=
-\frac{615}{2197}<0.
$$

所以：

$$
c_3>\frac{11}{26}.
$$

source endpoint formula：

$$
b_3
=
\frac{1+2c_3}{3+2c_3}
>
\frac{12}{25}
=
0.48.
$$

而 $b_2>b_3$。

---

# 9. Exact $b_4<0.47$

$n=4$ unique dual endpoint $d_4$滿足：

$$
35d^6+249d^4-680d^2+400=0.
$$

relevant branch上此 polynomial increasing。

$$
Q_4(53/50)<0,
$$

$$
Q_4(531/500)>0.
$$

故：

$$
d_4<531/500.
$$

又 path必經 top point $(x,1)$：

$$
L_4
\ge
\sqrt{1+x^2}
+
\sqrt{1+(d-x)^2}
\ge
2\sqrt{1+d^2/4}.
$$

因此：

$$
b_4
<
\frac{d_4}{\sqrt{4+d_4^2}}
<
0.47.
$$

最後一個 inequality平方後 margin為：

$$
\boxed{
\frac{12241849}{250000}>0.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
b_2>b_3>0.48>0.47>b_4.
}
$$

---

# 10. Conjecture (6)

base：

$$
b_2>b_3>b_4.
$$

kernel certificate：

$$
b_{n+1}<b_n
\qquad
n\ge4.
$$

Round 22：

$$
b_n\rightarrow b_0.
$$

所以：

$$
\boxed{
b_n
\text{ strictly decreases to }
b_0.
}
$$

這正是 2007 conjecture (6)。

---

# 11. Authority

目前最精確標記：

```text
CONJECTURE (6)

RESEARCH-PROOF-LEVEL
  PROVISIONALLY CLOSED

COMPUTER-ASSISTED COMPONENT
  K>0 interval certificate

FORMAL PROOF ASSISTANT
  OPEN

INDEPENDENT REPLAY / REVIEW
  OPEN
```

不宣稱 peer-reviewed resolution或文獻 priority。

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# 12. 下一步

現在 2007 list 的 major sequence conjectures已經高度收束。

下一輪最合理不是再立刻擴 proof machinery，而是做：

$$
\boxed{
\textbf{Conjecture Ledger / Authority Audit}
}
$$

把 conjectures (1)–(7) 逐條重新分類：

```text
source theorem
research proof
computer-assisted
formal open
remaining exact debt
```

避免經過二十多輪後，哪一條是 conditional、哪一條是 independent closure混在一起。

---

# 結論

Round 26 關掉 Round 25 最後留下的：

$$
\mathcal E>0.
$$

analytic reduction：

$$
\mathcal E>0
\Leftarrow
\mathcal K>0,
$$

而完整 continuous interpolation interval certificate給：

$$
\boxed{
\mathcal K>0.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
b_{n+1}<b_n.
}
$$

配 exact base與 R22 convergence：

$$
\boxed{
b_n
\text{ strictly decreases to the broadworm endpoint distance}.
}
$$

===END===