# WSFC Round 25
## Endpoint-Distance Strictness Reframed：Dual Comparative Statics 與 Unit-Length Elasticity Gap

**English Title:** *Endpoint-Distance Strictness Reframed: Dual Comparative Statics and the Unit-Length Elasticity Gap*  
**文件代號：** `WSFC-R25-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-24  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-R24-v0.1`  
**狀態：** `DUAL ENDPOINT STRICTNESS CLOSED / UNIT-ENDPOINT STRICTNESS SHARPLY REDUCED`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

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# 摘要

2007 conjecture (6) 是：

$$
\boxed{
b_n
\text{ strictly decreases to the broadworm endpoint distance}.
}
$$

Round 22 已處理：

$$
b_n\rightarrow b_0.
$$

Round 25 首先修正一個 normalization semantic bug。

我們 reduced functional 使用 breadth-one normalization：

$$
L_n^\star
=
\text{minimum breadth-one length},
$$

$$
d_n^\star
=
\text{breadth-one endpoint distance},
$$

$$
t_n
=
1/L_n^\star.
$$

2007 的 $b_n$ 則是 unit-length arc 的 endpoint distance。

因此：

$$
\boxed{
b_n
=
\frac{d_n^\star}{L_n^\star}
=
t_nd_n^\star.
}
$$

例如：

$$
d_4^\star\approx1.061526,
$$

$$
t_4\approx0.438208,
$$

所以：

$$
b_4\approx0.465169,
$$

與 source table 的 $0.4652$ 對應。

所以 Round 24 最後把 $b_n$ 直接稱為 $d_n^\star$ 是 shorthand error；其 uniqueness theorem本身不受影響。

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# 1. Reduced Profile

固定 support counts：

$$
q_L,q_R.
$$

定義：

$$
\mathcal L(d,x)
=
2\sqrt{d^2-1}
+d
+
g(q_L,s_L)
+
g(q_R,s_R),
$$

$$
g(q,s)=2q\tan\frac{s}{2q},
$$

$$
s_L
=
C(d)-2\arctan(d-x),
$$

$$
s_R
=
C(d)-2\arctan x,
$$

$$
C(d)=\arcsin\frac1d.
$$

Round 24 已給 fixed-$d$ unique $x^\star(d)$，以及 profiled objective：

$$
V(d;q_L,q_R)
=
\mathcal L(d,x^\star(d))
$$

對 $d$ strict convex。

---

# 2. Support Spans 隨 $d$ Strict Decrease

令：

$$
c=C'(d)<0.
$$

left responsibility：

$$
a_L=d-x,
$$

$$
p=A'(a_L)<0,
\qquad
p_2=A''(a_L)>0.
$$

right：

$$
a_R=x,
$$

$$
r=A'(a_R)<0,
\qquad
r_2=A''(a_R)>0,
$$

其中：

$$
A(a)=-2\arctan a.
$$

再令：

$$
\phi_i=g_s>0,
\qquad
\psi_i=g_{ss}>0.
$$

有：

$$
\mathcal L_{xx}
=
\phi_Lp_2+\psi_Lp^2+\phi_Rr_2+\psi_Rr^2>0.
$$

以及：

$$
\mathcal L_{dx}
=
-\phi_Lp_2
-\psi_Lp(c+p)
+
\psi_Rcr.
$$

對 right span：

$$
s_R'(d)
=
\frac{
c\mathcal L_{xx}
-r\mathcal L_{dx}
}{
\mathcal L_{xx}
}.
$$

numerator exact 分解：

$$
\boxed{
\psi_Lp[c(p+r)+rp]
+
\phi_Lp_2(c+r)
+
c\phi_Rr_2.
}
$$

因：

$$
c,p,r<0
$$

而：

$$
c(p+r)+rp>0,
$$

每一項皆 strict negative。

因此：

$$
\boxed{
s_R'(d)<0.
}
$$

left side同理：

$$
\boxed{
s_L'(d)<0.
}
$$

---

# 3. Support-Count Cross Partial

$$
g_s
=
\sec^2\frac{s}{2q}.
$$

所以：

$$
\boxed{
g_{sq}
=
-
\frac{s}{q^2}
\sec^2\frac{s}{2q}
\tan\frac{s}{2q}
<0.
}
$$

profile envelope：

$$
V_d=\mathcal L_d.
$$

因此：

$$
\boxed{
V_{dq_R}
=
g_{sq,R}s_R'(d)
>0.
}
$$

left同理：

$$
\boxed{
V_{dq_L}>0.
}
$$

---

# 4. Breadth-One Endpoint Strictness

unique endpoint minimizer：

$$
V_d(d^\star,q)=0.
$$

implicit differentiation：

$$
\boxed{
\frac{\partial d^\star}{\partial q}
=
-
\frac{
V_{dq}
}{
V_{dd}
}
<0.
}
$$

所以增加任一側 support count，都會 strict降低 breadth-one endpoint distance。

Round 24 allocation：

even：

$$
(q,q),
$$

odd：

$$
(q,q+1)
$$

up to mirror。

所以：

$$
\boxed{
d_{n+1}^\star<d_n^\star.
}
$$

---

# 5. 為何還不能直接宣布 Conjecture (6)

source endpoint：

$$
b_n
=
t_nd_n^\star.
$$

但：

$$
t_{n+1}>t_n,
$$

同時：

$$
d_{n+1}^\star<d_n^\star.
$$

兩 factors方向相反。

因此 dual strictness本身不夠。

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# 6. Exact Unit-Endpoint Elasticity Kernel

將一側 support count連續化為 $q$。

$$
b(q)
=
\frac{
d^\star(q)
}{
V(d^\star(q),q)
}.
$$

由：

$$
V_d=0,
$$

$$
d_q^\star
=
-
\frac{V_{dq}}{V_{dd}},
$$

與 envelope：

$$
V_q=g_q,
$$

得到：

$$
\boxed{
b_q
=
-
\frac{
V V_{dq}
+
dV_qV_{dd}
}{
V^2V_{dd}
}.
}
$$

所以定義：

$$
\boxed{
\mathcal E
=
V V_{dq}
+
dV_qV_{dd}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
b_q<0
\iff
\mathcal E>0.
}
$$

這就是 conjecture (6) strictness真正剩下的 scalar gate。

---

# 7. Ratio Lemma

令：

$$
z=\frac{s}{2q}.
$$

有：

$$
-g_q
=
2(z\sec^2z-\tan z),
$$

$$
-g_{sq}
=
\frac{2z\sec^2z\tan z}{q}.
$$

本輪得到：

$$
\boxed{
\frac{-g_{sq}}{-g_q}
\ge
\frac3s.
}
$$

等價於：

$$
z\sec^2z-\tan z
\le
\frac23z^2\sec^2z\tan z.
$$

令右減左為 $R(z)$。

其 derivative：

$$
R'(z)
=
-
\frac{
2z[
2z\cos^2z
-3z
+\sin z\cos z]
}{
3\cos^4z
}.
$$

而：

$$
2z\cos^2z-3z+\sin z\cos z
\le
2z-3z+z
=
0.
$$

因此：

$$
R'(z)\ge0,
$$

且：

$$
R(0)=0.
$$

ratio lemma成立。

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# 8. Sufficient Kernel

因：

$$
V_{dq}
=
(-g_{sq})(-s'),
$$

ratio lemma給：

$$
\frac{V_{dq}}{-g_q}
\ge
\frac{3(-s')}{s}.
$$

對 genuine $n>2$ unit arcs：

$$
b_n<1/2.
$$

所以一個足夠條件是：

$$
\boxed{
6(-s')
>
sV_{dd}.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal K
=
6(-s')
-sV_{dd}.
}
$$

若能證：

$$
\mathcal K>0,
$$

則 Conjecture (6) strictness閉合。

---

# 9. Numerical Red-Team

本輪重算：

$$
n=2,\ldots,60.
$$

每一階：

$$
d_{n+1}^\star<d_n^\star
$$

以及：

$$
b_{n+1}<b_n
$$

全部成立。

其中：

$$
b_4\approx0.465169,
$$

$$
b_5\approx0.463026,
$$

$$
b_6\approx0.460562,
$$

重現 2007 table。

此 audit不是 general proof。

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# 10. Current Status

```text
Conjecture (6)

convergence:
  CLOSED in R22

dual endpoint d_n* strictness:
  CLOSED at research-proof level
  conditional on G0/R24

unit endpoint b_n strictness:
  OPEN
  reduced to elasticity kernel E>0

numerical audit:
  strict for n=2..60
```

所以本輪不把 Conjecture (6) 升格成 solved。

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# 11. Round 24 修正

Round 24 的 uniqueness theorem仍有效。

修正的只有一句 shorthand：

```text
OLD:
  b_n = d_n*

CORRECT:
  b_n = t_n d_n*
```

所以 uniqueness已使 $b_n$ well-defined；只是 strictness需要額外 normalization analysis。

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# 12. 下一步

Round 26 直接攻：

$$
\boxed{
\mathcal E>0
}
$$

或 sufficient kernel：

$$
\boxed{
\mathcal K>0.
}
$$

現在已不需要重新處理：

- optimizer uniqueness；
- allocation；
- support saturation；
- span monotonicity；
- dual endpoint comparative statics。

剩下真正只是一個 scalar curvature-vs-contraction inequality。

---

# 結論

Round 25 的真正成果有兩個。

第一，抓到 semantic correction：

$$
\boxed{
b_n=t_nd_n^\star.
}
$$

第二，真正證掉：

$$
\boxed{
d_{n+1}^\star<d_n^\star.
}
$$

而 source conjecture (6) strictness被壓縮為：

$$
\boxed{
\mathcal E
=
V V_{dq}
+
dV_qV_{dd}
>0.
}
$$

所以現在 endpoint-distance strictness不再是一個模糊幾何問題，而只剩最後一個 normalization elasticity gate。

===END===