# WSFC Round 22 ## G1 Full-Domain Coverage：Exact-Length Tent Approximation、Uniform Cover Modulus 與 Broadworm Value Closure **English Title:** *G1 Full-Domain Coverage: Exact-Length Tent Approximation, a Uniform Cover Modulus, and Broadworm Value Closure* **文件代號：** `WSFC-R22-v0.1` **版本：** v0.1 **日期：** 2026-09-23 **作者：** Neo.K **AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol **系列：** Worm Sequence Freedom Closure **前置：** `WSFC-R20-v0.1`；`WSFC-R21-v0.1` **狀態：** `G1/G2 QUANTITATIVE CLOSURE / VALUE CONVERGENCE / STRUCTURAL STRICTNESS OPEN` **Canonical Source：** UTF-8 Markdown --- # 摘要 Round 21 將： $$ \boxed{ \text{G0 Finite-Stage Exactness} } $$ 提升為 research-proof-level provisionally closed。 Round 22 攻： $$ \boxed{ \textbf{G1 — Full-Domain Coverage}. } $$ 外部文獻先給出兩個重要錨點。 Adhikari–Pitman 在 1989 年已直接使用： > 任意 arc 可由有限直線段 arcs 近似 作為從 finite-segment estimates 回到 arbitrary arcs 的步驟。 更明確地，Wetzel–Wichiramala 2010 建立 **Simple Approximation Theorem**：他們把 curve、path、arc視為同義，使用 Hausdorff metric，並證 simple polygonal unit arcs 對所有 unit arcs具有 qualitative near-density。 Round 22 在此基礎上加入一個 elementary but quantitative exact-length construction。 令： $$ \gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb R^2 $$ 為 unit-length rectifiable path的 arclength parametrization。 取： $$ N\ge1, $$ 等分： $$ t_i=\frac{i}{N}, $$ 每一 block弧長： $$ \Delta=\frac1N. $$ 令： $$ A_i=\gamma(t_i), \qquad B_i=\gamma(t_{i+1}). $$ 因 chord不長於 arc： $$ d_i=|A_i-B_i|\le\Delta. $$ 因此存在點： $$ M_i $$ 使： $$ \boxed{ |A_iM_i| = |M_iB_i| = \frac{\Delta}{2}. } $$ 具體地，如果： $$ A_i\neq B_i, $$ 取 chord midpoint $C_i$ 及 unit normal $\nu_i$： $$ M_i = C_i + \frac12 \sqrt{ \Delta^2-d_i^2 } \,\nu_i. $$ 若： $$ A_i=B_i, $$ 任取 unit vector $\nu_i$ 並設： $$ M_i=A_i+\frac{\Delta}{2}\nu_i. $$ 用： $$ A_i\rightarrow M_i\rightarrow B_i $$ 取代每個原 block。 拼接後得到 polygonal path： $$ P_{2N}. $$ 每 block長： $$ \frac{\Delta}{2} + \frac{\Delta}{2} = \Delta. $$ 因此： $$ \boxed{ \ell(P_{2N})=1 } $$ **exactly**。 而每 block同時有： $$ \boxed{ d_H( \gamma_i, P_i ) \le \frac{\Delta}{2}. } $$ 原因非常簡單。 原 subarc任一點，沿弧長到較近 endpoint最多： $$ \frac{\Delta}{2}. $$ replacement tent任一點，沿其中一條 half-edge到相應 endpoint也最多： $$ \frac{\Delta}{2}. $$ endpoints又同時屬於兩 traces。 因此全域： $$ \boxed{ d_H( \operatorname{tr}\gamma, \operatorname{tr}P_{2N} ) \le \frac{1}{2N}. } $$ 若按同一 arclength block同步 parameterize tent，亦有： $$ \boxed{ \|\gamma-P_{2N}\|_\infty \le \frac1N. } $$ 這是一個對**所有 unit rectifiable paths uniform** 的 fixed-segment quantitative modulus。 --- # 1. Literature Anchor：Simple Approximation Wetzel–Wichiramala 2010 的 Simple Approximation Theorem證： 對任意 rectifiable arc： $$ \gamma $$ 與： $$ \varepsilon>0, $$ 存在 simple polygonal path： $$ \pi $$ 使： $$ L-\varepsilon < \ell(\pi) \le L $$ 並在 Hausdorff / neighborhood sense接近 $\gamma$。 其主 consequence是 simple polygonal unit arcs在 covering問題中足以逼近所有 unit arcs。 因此： $$ \boxed{ \text{qualitative polygonal density} } $$ 本身已有 classical/source support。 Round 22 的新工作是 fixed-$n$ uniform quantitative bound。 --- # 2. 為何不用 Inscribed Chord Length Deficit 傳統 inscribed polygon： $$ A_0A_1\cdots A_N $$ 只有： $$ \ell(P_N)\le1. $$ 對任意 rectifiable curve，固定 equal mesh下： $$ 1-\ell(P_N) $$ 沒有一個顯然的 uniform smoothness-free small bound。 所以直接 rescale inscribed polygon不是最乾淨路線。 Tent construction完全繞開這個問題： 每一個 block在 construction時就強制： $$ \boxed{ \ell(P_i)=\ell(\gamma_i)=\Delta. } $$ 所以 global exact unit length是 local invariant。 --- # 3. Local Tent Lemma 若： $$ |A-B|\le\Delta, $$ 則存在 two-edge path： $$ A\rightarrow M\rightarrow B $$ 使： $$ |AM|=|MB|=\Delta/2. $$ 因 midpoint到 apex的高度： $$ h = \frac12 \sqrt{ \Delta^2-|A-B|^2 }. $$ 所以： $$ |AM|^2 = \frac{|A-B|^2}{4} + h^2 = \frac{\Delta^2}{4}. $$ --- # 4. Exact Segment Count $N$ blocks產生： $$ \boxed{ 2N } $$ 個 nonzero segments，每段長： $$ \Delta/2. $$ 因此沒有 zero segment問題。 對 arbitrary： $$ n\ge2, $$ 取： $$ m= \left\lfloor \frac n2 \right\rfloor. $$ 先構造 $2m$ segments。 如果： $$ n=2m+1, $$ 再把任一 segment做一次 collinear split。 trace、length、Hausdorff error全部不變。 因此存在**exactly $n$ segments**的 unit polygonal path： $$ P_n. $$ --- # 5. Full-Domain Hausdorff Cover Radius 所以： $$ \boxed{ r_n^H := \sup_{\gamma\in\Gamma} \inf_{P\in\mathcal F_n} d_H(\gamma,P) \le \frac{ 1 }{ 2\lfloor n/2\rfloor }. } $$ 對 even： $$ n=2m, $$ $$ \boxed{ r_n^H\le\frac1n. } $$ 對 odd： $$ n=2m+1, $$ $$ \boxed{ r_n^H\le\frac1{n-1}. } $$ 因此： $$ \boxed{ r_n^H\rightarrow0. } $$ 所以 G1 不只 qualitative closure，而是 quantitative exhaustion。 --- # 6. Parameterized Uniform Cover 同步用 unit speed走每一條 half-edge。 對 block前半： $$ t\in[t_i,t_i+\Delta/2], $$ 有： $$ |\gamma(t)-A_i| \le t-t_i, $$ 且： $$ |P(t)-A_i| = t-t_i. $$ 所以： $$ |\gamma(t)-P(t)| \le 2(t-t_i) \le \Delta. $$ 後半對 $B_i$ 對稱。 故： $$ \boxed{ \|\gamma-P_{2N}\|_\infty \le \frac1N. } $$ general $n$： $$ \boxed{ d_\infty \le \frac1{\lfloor n/2\rfloor}. } $$ --- # 7. Simple vs. General Polygonal Semantics 這裡必須保留 semantic discipline。 Round 22 tent construction： ```text DOES NOT guarantee global simplicity. ``` 但 2007 broadest $n$-segment paper 的分析本身允許 crossing polygonal-chain candidates；其三段 proof甚至專門處理 nonadjacent segments相交的 case。 而 Wetzel–Wichiramala 2010更明確說： ```text curve / path / arc are regarded as synonymous ``` 並另外把 `simple polygonal` 作更強限制。 因此對 2007 的 polygonal-chain $F_n$ optimization semantics，本輪 quantitative construction是合適的。 如果 future theorem要求： ```text simple polygonal exact-n uniform modulus ``` 則本輪不宣稱已證；2010 source給的是 qualitative near-density。 --- # 8. G2 Effective Approximation Round 20定義： $$ r_n = \sup_{\gamma\in\Gamma} \inf_{\eta\in\Gamma_n} d(\gamma,\eta). $$ 現在在 Hausdorff metric： $$ \boxed{ r_n \le \frac{ 1 }{ 2\lfloor n/2\rfloor }. } $$ 所以： $$ \boxed{ \text{G2 = CLOSED}. } $$ 這不是 chosen history tail。 而是 full-domain uniform cover。 --- # 9. Breadth Error Round 20已證： $$ |b(K)-b(L)| \le 2d_H(K,L). $$ 代入： $$ r_n^H \le \frac1{ 2\lfloor n/2\rfloor }, $$ 得到： $$ \boxed{ |b(\gamma)-b(P_n)| \le \frac1{ \lfloor n/2\rfloor }. } $$ 所以 global task residual： $$ \boxed{ r_n^Q \le \frac1{ \lfloor n/2\rfloor }. } $$ --- # 10. True Broadest Values 的 Squeeze 令： $$ t_0 = \max_{\gamma\in\Gamma} b(\gamma) $$ 為 unit broadworm breadth。 令： $$ t_n = \max_{P\in\mathcal F_n} b(P). $$ 取 broadworm： $$ \Gamma_0. $$ 由 coverage theorem，存在： $$ P_n\in\mathcal F_n $$ 使： $$ b(P_n) \ge t_0 - \frac1{\lfloor n/2\rfloor}. $$ 而： $$ t_n\ge b(P_n). $$ 又因： $$ \mathcal F_n\subset\Gamma, $$ $$ t_n\le t_0. $$ 所以： $$ \boxed{ 0 \le t_0-t_n \le \frac1{ \lfloor n/2\rfloor }. } $$ 因此： $$ \boxed{ t_n\rightarrow t_0. } $$ 這個 value convergence不需要 G0 reduced-form exactness。 --- # 11. 2007 Conjecture (5) 2007 conjecture (5)： > breadths $t_n$ strictly increase to $t_0$。 Round 22得到： $$ \boxed{ t_n\rightarrow t_0 } $$ 且原文已知： $$ t_n\le t_{n+1}. $$ 所以 conjecture (5)目前拆成： ```text CONVERGES TO t0 CLOSED NONDECREASING SOURCE-KNOWN STRICTLY INCREASING OPEN ``` 本輪不宣稱 strictness。 --- # 12. Optimizer Compactness 令： $$ \Gamma_n $$ 為任意 broadest $n$-segment unit arc： $$ b(\Gamma_n)=t_n. $$ 以 arclength parameterize： $$ \Gamma_n:[0,1]\rightarrow\mathbb R^2. $$ 施加 suitable Euclidean isometries使起點固定。 因 unit length： $$ |\Gamma_n(t)-\Gamma_n(s)| \le |t-s|. $$ 所以 family： - uniformly bounded； - equi-Lipschitz。 由 Arzelà–Ascoli，每個 subsequence都有 uniformly convergent subsubsequence： $$ \Gamma_{n_k} \rightarrow \Gamma_\infty. $$ --- # 13. Limit Breadth uniform convergence推出 traces Hausdorff convergence。 breadth連續，因此： $$ b(\Gamma_\infty) = \lim_k t_{n_k} = t_0. $$ arc length lower semicontinuity給： $$ \ell(\Gamma_\infty) \le1. $$ 若： $$ \ell(\Gamma_\infty)=L<1, $$ 則將其放大： $$ 1/L $$ 倍得到 unit-length path breadth： $$ t_0/L > t_0, $$ 矛盾。 所以： $$ \boxed{ \ell(\Gamma_\infty)=1. } $$ 因此 limit本身是 unit broadworm。 --- # 14. Broadworm Uniqueness 文獻已知 unit broadworm是最大 breadth unit arc的 unique solution up to Euclidean isometry。 所以任何 optimizer subsequential limit都落在 broadworm orbit。 因此： $$ \boxed{ \operatorname{dist}_{\rm quotient} ( \Gamma_n, [\Gamma_{\rm BW}] ) \rightarrow0. } $$ 換言之： > 經 suitable isometries / canonical normalization後，broadest polygonal arcs converge uniformly to the broadworm。 這給 2007 conjecture (7) 的 convergence statement，至少在「modulo Euclidean isometry」的精確表述下。 --- # 15. Endpoint Distances 令： $$ b_n = | \Gamma_n(1)-\Gamma_n(0) |. $$ uniform convergence after isometry normalization直接給 endpoints convergence。 因此： $$ \boxed{ b_n\rightarrow b_0. } $$ 所以 2007 conjecture (6)： ```text CONVERGES TO broadworm endpoint distance CLOSED STRICTLY DECREASES OPEN ``` --- # 16. G1 / G2 / G4 Status Update Round 20： ```text G1 OPEN G2 OPEN G3 CLOSED G4 CONDITIONAL ``` Round 22： ```text G1 FULL-DOMAIN COVERAGE QUANTITATIVELY CLOSED in polygonal-chain semantics G2 EFFECTIVE APPROXIMATION CLOSED G3 BREADTH STABILITY CLOSED G4 TRUE VALUE SQUEEZE CLOSED ``` with： $$ \boxed{ 0 \le t_0-t_n \le \frac1{\lfloor n/2\rfloor}. } $$ --- # 17. G0 的角色重新定位 G0仍非常重要。 但它不再是： > 能不能證 $t_n\to t_0$ 的 blocker。 它現在是： > 能不能把 true finite-stage optimum $t_n$ 精確表示成 Round 03 reduced formulas？ 所以： ```text VALUE LIMIT: no longer depends on G0 FINITE-STAGE STRUCTURE: still depends on G0 STRICT MONOTONICITY: still tied to G0/reduced proof PARITY / SYMMETRY: tied to G0 UNIQUENESS: still open ``` 這是一個重要的 dependency correction。 --- # 18. Source Cross-Check Adhikari–Pitman 1989 在 finite-segment lower-bound argument後直接寫： > approximating arbitrary arcs by arcs with finitely many straight segments allows the estimate to pass to every arc。 Wetzel–Wichiramala 2010更正式地證： - simple polygonal arcs對 arbitrary arcs有 classical approximation； - simple polygonal unit arcs足以處理 unit-arc covering problem； - Hausdorff metric是其主要 approximation language。 因此 G1 的 qualitative核心並不是憑空假設。 Round 22提供的是一個更直接的 exact-length quantitative chain construction。 --- # 19. Novelty Discipline targeted search目前沒有看到： ```text r_n^H <= 1/(2 floor(n/2)) ``` 或： ```text 0 <= t0-t_n <= 1/floor(n/2) ``` 以此形式出現在 broadest-$n$ literature。 但： $$ \boxed{ \text{NO PRIOR FORMULA FOUND} \neq \text{NOVELTY PROVED}. } $$ 正式對外前仍需 exhaustive literature review。 --- # 20. Remaining Global Problems 現在剩餘的已不是 full-domain value closure。 而是更尖銳的 structural questions： 1. strict： $$ t_n