# WSFC Round 05
## Boundary Saturation Closure：Endpoint Shortcut、Plateau Elimination 與 Finite-$n$ Support-Tangent Reduction

**English Title:** *Boundary Saturation Closure: Endpoint Shortcuts, Plateau Elimination, and a Finite-$n$ Support-Tangent Reduction*  
**文件代號：** `WSFC-R05-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-R03-v0.1`；`WSFC-R04-v0.1`  
**狀態：** `PROVISIONAL GLOBAL REDUCTION / RESEARCH-PROOF DRAFT / INDEPENDENT AUDIT REQUIRED`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

---

# 摘要

Round 04 把 Support-Class Necessity 壓縮成三個 boundary cases：

$$
\mathrm{BSP\!-\!A}
=
\text{endpoint-edge slack},
$$

$$
\mathrm{BSP\!-\!B}
=
\text{positive top plateau},
$$

$$
\mathrm{BSP\!-\!C}
=
\text{support-cell degeneration}.
$$

本輪逐一攻擊。

Adhikari–Pitman 1989 已證：對任意固定 segment 上限 $M$，width 至少 $1$ 的 minimal polygonal arc 必為 convex；對 convex arc，又可用 perpendicular reduction 把研究限制在 endpoint vertical strip 中。這兩個既有 theorem 作為本輪外部硬錨點。

本文新增以下 reduction lemmas：

1. **Endpoint Shortcut Lemma**：若 endpoint-adjacent edge 對 unit-disc obstacle 有 strict slack，可沿下一 edge 滑動該 vertex，直到 tangency 或 vertex collapse；triangle inequality 保證路徑長度不增。
2. **Lower-Stage Absorption Principle**：zero-length segment、collinear adjacent segments、support-angle collision、support-order swap boundary 都落入較低 segment stage。
3. **Positive Plateau Elimination**：在 reduced tangent model 中，正長 top plateau $p>0$ 不可能是最短解。$n\ge5$ 由 joint convexity 與 plateau-span monotonicity得到；$n=4$ 特殊 branch 可解析化為：
   $$
   T_{\rm int}(c)
   =
   \csc c
   +
   4\tan\frac c4,
   $$
   且：
   $$
   T_{\rm int}'(c)>\frac13.
   $$
   所以其最小值也落在 $p=0$ boundary。
4. **One-Segment Boundary Exclusion**：若一側只有單一 segment，feasibility 先把它推到 endpoint-disc tangency；再把另一側 resolution 放到 continuum 可得 lower envelope：
   $$
   B_\infty(c)
   =
   \csc c
   +
   2\cot c
   +
   3c
   -
   \pi.
   $$
   其 minimum 為：
   $$
   \boxed{
   \min B_\infty
   \approx
   2.297464630768953.
   }
   $$
   而顯式合法的四段 support-tangent competitor 在：
   $$
   d=\frac{53}{50}
   $$
   已有：
   $$
   \boxed{
   L_4(53/50)
   \approx
   2.282033991861008.
   }
   $$
   差距：
   $$
   \boxed{
   \min B_\infty
   -
   L_4(53/50)
   \approx
   0.015430638907945
   >0.
   }
   $$

因此 q=0 boundary class 不可能 global optimal。

把這些與 Round 03–04 的 endpoint antipode、interior support saturation、equal-angle partition、balanced integer allocation 接合後，本文形成一個 **Finite-$n$ Support-Tangent Reduction Theorem draft**：

> 對每個 $n\ge4$，width 至少 $1$、至多 $n$ 段的 shortest polygonal arc，所有 nondegenerate global minimizer 應落入 Round 03 的 antipodal support-tangent class；degenerate cell boundaries 由 lower-stage absorption 處理。

若獨立 proof audit 沒有找到缺口，general-$n$ broadest polygonal unit arc 可降為：

- even $n=2m$：一維 minimization；
- odd $n=2m+1$：二維 minimization。

本文不把它冒充已 peer-reviewed 或 formally verified 的 theorem。正式狀態為：

```text
PROVISIONAL GLOBAL REDUCTION
INDEPENDENT RE-DERIVATION REQUIRED
FORMALIZATION OPEN
```

---

# 1. 外部硬錨點

Adhikari–Pitman 在 *The Shortest Planar Arc of Width 1* 中對有限 segment budget 先建立 compact minimal arc，再證：

$$
\boxed{
\text{for every fixed }M,
\text{ a minimal width-one arc with at most }M\text{ segments is convex}.
}
$$

同一工作對 convex arc 還給出 endpoint-strip reduction：若 arc 伸出 endpoints 左右垂線，perpendicular reduction 可產生 shorter arc with greater width。

因此本輪從：

$$
\boxed{
\text{convex}
+
\text{endpoint-strip confined}
}
$$

開始。

---

# 2. Classical two-disc criterion

設：

$$
A=(0,0),
\qquad
B=(d,0),
\qquad
d\ge1.
$$

convex upper arc confined in：

$$
0\le x\le d.
$$

width-one condition 可重新表成：

- arc intersects the horizontal line $y=1$；
- left subarc stays outside the open unit disc centered at $B$；
- right subarc stays outside the open unit disc centered at $A$。

所以每一側本質上是一個 finite-segment obstacle path。

---

# 3. BSP-A：Endpoint Shortcut Lemma

考慮合法 subpath：

$$
P_0P_1P_2\cdots P_k
$$

位於 convex obstacle $D$ 外。

若第一 edge：

$$
P_0P_1
$$

對 $D$ 還有 strict slack，沿：

$$
P_1P_2
$$

把 $P_1$ 往 $P_2$ 滑成 $P_1'$。

停止於第一個事件：

```text
A. P0P1' tangent to D
B. P1' = P2
```

停止以前，新 segment：

$$
P_0P_1'
$$

仍合法，而：

$$
P_1'P_2
\subseteq
P_1P_2.
$$

triangle inequality：

$$
|P_0P_1'|
\le
|P_0P_1|
+
|P_1P_1'|.
$$

且：

$$
|P_1P_2|
=
|P_1P_1'|
+
|P_1'P_2|.
$$

所以：

$$
\boxed{
|P_0P_1'|
+
|P_1'P_2|
\le
|P_0P_1|
+
|P_1P_2|.
}
$$

非退化時嚴格。

因此 minimal path 的 first surviving edge 必 tangent；若先 collapse，就直接掉到較低 segment stage。

對最後 edge 反向套用同一 argument。

所以：

$$
\boxed{
\text{endpoint slack}
\Rightarrow
\text{tangency or lower-stage collapse}.
}
$$

---

# 4. BSP-C：Lower-Stage Absorption

以下 degeneracies 都可被較低 stage 表示。

## 4.1 Zero-length

$$
P_i=P_{i+1}
$$

直接刪除。

## 4.2 Collinear adjacent segments

若：

$$
P_{i-1},P_i,P_{i+1}
$$

共線且方向一致，合併為：

$$
P_{i-1}P_{i+1}.
$$

## 4.3 Support-angle collision

若：

$$
\theta_i=\theta_{i+1},
$$

對應 consecutive support lines 合併。

## 4.4 Support-order swap

convex normal order 若改變，必先穿過：

$$
\theta_i=\theta_{i+1}.
$$

因此 swap boundary 也先落到 lower-stage collision。

所以本輪提出：

$$
\boxed{
\textbf{Lower-Stage Absorption Principle}.
}
$$

對「至多 $n$ segments」的 optimization，這些 boundary states 不形成新的獨立 extremizer class。

---

# 5. Top excursion 先壓到 $y=1$

若 convex strip arc 的最高高度：

$$
H>1,
$$

令：

$$
F_L,F_R
$$

為 arc 與：

$$
y=1
$$

的第一、最後交點。

把 top subarc：

$$
F_L
\leadsto
F_R
$$

替換成 horizontal chord：

$$
F_LF_R
\subset
\{y=1\}.
$$

left / right disc-avoidance 部分保持，width-one criterion 仍成立。

segment count 不增加，非水平 excursion 嚴格縮短。

因此 minimal arc 可限制：

$$
\boxed{
H=1
}
$$

但可能留下 positive horizontal plateau。

---

# 6. BSP-B：Plateau variables

令：

$$
F_L=(x_L,1),
\qquad
F_R=(x_R,1),
$$

$$
p=x_R-x_L>0.
$$

定義：

$$
a_L=d-x_L,
\qquad
a_R=x_R.
$$

則：

$$
\boxed{
p=a_L+a_R-d.
}
$$

若兩側都已縮到 tangent-chain reduced form：

$$
T_{\rm plat}
=
J_d(q_L,a_L)
+
J_d(q_R,a_R)
+
p.
$$

其中：

$$
J_d(q,a)
=
\sqrt{d^2-1}
+
a
+
2q
\tan
\left(
\frac{\Delta_d(a)}{2q}
\right),
$$

$$
\Delta_d(a)
=
\frac\pi2
-
\arccos\frac1d
-
2\arctan a.
$$

---

# 7. $n\ge5$：positive plateau 不可最優

若：

$$
q_L,q_R\ge1,
$$

對：

$$
s=a_L+a_R\ge d
$$

定義：

$$
F(s)
=
\min_{a_L+a_R=s}
\left[
J_d(q_L,a_L)
+
J_d(q_R,a_R)
\right].
$$

Round 04 已證 $J_d$ 對 $(q,a)$ joint strictly convex。

在 interior minimizer：

$$
J_a(q_L,a_L)
=
J_a(q_R,a_R)
=
\lambda.
$$

至少一側：

$$
a_i
\ge
\frac{s}{2}
\ge
\frac d2
\ge
\frac12.
$$

令：

$$
z
=
\frac{\Delta_d(a)}{2q}.
$$

對：

$$
a\ge\frac12,
\qquad
q\ge1,
$$

有：

$$
z
<
\frac\pi4-\arctan a.
$$

因此：

$$
\tan z
<
\frac{1-a}{1+a}
<
a.
$$

所以：

$$
\sec^2z
<
1+a^2.
$$

又：

$$
J_a
=
1
-
\frac{2\sec^2z}{1+a^2},
$$

故：

$$
\boxed{
\lambda>-1.
}
$$

plateau total：

$$
G(s)
=
F(s)
+
s-d
$$

滿足：

$$
G'(s)
=
\lambda+1
>
0.
$$

故 minimum 在：

$$
\boxed{
s=d
\iff
p=0.
}
$$

---

# 8. $n=4$ 特殊 plateau branch

$n=4$ plateau 配置的總 angular-gap budget 是：

$$
q_L+q_R=1.
$$

所以有一側是 one-segment boundary。

令：

$$
c=\arcsin\frac1d,
\qquad
s=\sqrt{d^2-1}=\cot c.
$$

positive plateau 的 interior stationarity 可化為：

$$
a_\star
=
\tan\frac c4.
$$

總長：

$$
\boxed{
T_{\rm int}(c)
=
\csc c
+
4\tan\frac c4.
}
$$

而：

$$
T_{\rm int}'(c)
=
-\csc c\cot c
+
\sec^2\frac c4.
$$

在：

$$
c\in[\pi/3,\pi/2]
$$

有：

$$
\csc c\cot c
=
\frac{\cos c}{\sin^2c}
\le
\frac23,
$$

同時：

$$
\sec^2\frac c4>1.
$$

所以：

$$
\boxed{
T_{\rm int}'(c)
>
\frac13.
}
$$

positive branch minimum 發生於 branch 最低 $c$ boundary，而該 boundary 正是：

$$
p=0.
$$

數值 boundary：

$$
c_0
\approx
1.256637061435917,
$$

$$
d_0
\approx
1.051462224238267.
$$

因此：

$$
\boxed{
n=4
\text{ 也不允許 positive optimal plateau}.
}
$$

---

# 9. One-Segment Obstacle-Inactive Side

若一側只剩單 segment，令 top point 相對自身 endpoint 的水平距離為：

$$
x.
$$

unit-disc feasibility：

$$
x
\le
\sqrt{d^2-1}.
$$

另一側 tangent-chain resolution 記為：

$$
q\ge1.
$$

總長對 $x$ 的 derivative 可上界：

$$
\frac{dT}{dx}
\le
\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
+
1
-
\frac{2}{1+x^2}.
$$

右側在：

$$
0\le x\le\frac1{\sqrt3}
$$

非正。

而用 two-side equilateral width-one competitor，可排除 global minimal arc 具有：

$$
d>\frac2{\sqrt3}.
$$

故：

$$
\sqrt{d^2-1}
\le
\frac1{\sqrt3}.
$$

因此 optimum 將 one-segment side 推到：

$$
\boxed{
x=\sqrt{d^2-1}.
}
$$

也就是 direct side 也必 tangent。

---

# 10. One-Segment Boundary 的全域排除

令另一側 resolution 趨於 continuum，得到所有 one-segment-side configurations 的 lower envelope：

$$
\boxed{
B_\infty(c)
=
\csc c
+
2\cot c
+
3c
-
\pi.
}
$$

其 stationary condition：

$$
3\cos^2c+\cos c-1=0.
$$

所以：

$$
\cos c_\star
=
\frac{\sqrt{13}-1}{6}.
$$

且：

$$
\boxed{
\min B_\infty
\approx
2.297464630768953.
}
$$

現在只需一個 explicit competitor。

取：

$$
d=\frac{53}{50}.
$$

合法 four-segment support-tangent path 長度：

$$
\boxed{
L_4(53/50)
\approx
2.282033991861008.
}
$$

差：

$$
\boxed{
\min B_\infty
-
L_4(53/50)
\approx
0.015430638907945
>0.
}
$$

所以 one-segment-side boundary 對任何：

$$
n\ge4
$$

都不可能 global optimal。

---

# 11. Plateau runtime audit

本輪另對：

$$
n=4,\ldots,12
$$

枚舉所有 plateau segment allocations，重新 optimize：

$$
(d,a_L,a_R).
$$

每一階的最佳 plateau run 都落在：

$$
p
\approx
0
$$

的 numerical boundary。

此 runtime 只作 red-team，不是解析 proof 的來源。

資料：

```text
WSFC_R05_plateau_audit.csv
WSFC_R05_boundary_summary.csv
```

---

# 12. Provisional Finite-$n$ Support-Tangent Reduction Theorem

令：

$$
\mathcal P_n
=
\{
\text{width}\ge1
\text{、至多 }n\text{ segments 的 polygonal arcs}
\}.
$$

$n\ge4$。

研究 proof chain：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{Adhikari--Pitman finite-}M\text{ convexity}\\
&\rightarrow
\text{endpoint strip}\\
&\rightarrow
\text{two-disc width criterion}\\
&\rightarrow
\text{endpoint antipodes}\\
&\rightarrow
\text{interior support saturation}\\
&\rightarrow
\text{endpoint shortcut tangency}\\
&\rightarrow
\text{top excursion reduction}\\
&\rightarrow
\text{positive plateau elimination}\\
&\rightarrow
\text{q=0 boundary exclusion}\\
&\rightarrow
\text{cell-boundary lower-stage absorption}\\
&\rightarrow
\text{equal-angle partition}\\
&\rightarrow
\text{balanced segment allocation}.
\end{aligned}
}
$$

因此研究級 theorem draft 為：

$$
\boxed{
\Gamma_n^\star
\in
\mathcal T_n,
\qquad
n\ge4.
}
$$

其中 $\mathcal T_n$ 是 Round 03 antipodal support-tangent class。

---

# 13. Global dimension reduction

若 theorem chain 通過獨立審計：

## even $n=2m$

$$
\boxed{
L_n^\star
=
\min_d
L_{2m}(d).
}
$$

原：

$$
2n-2
$$

generic dimensions 壓成：

$$
1.
$$

## odd $n=2m+1$

$$
\boxed{
L_n^\star
=
\min_{d,x}
L_{2m+1}(d,x).
}
$$

壓成：

$$
2.
$$

且：

$$
\boxed{
t_n
=
\frac1{L_n^\star}.
}
$$

---

# 14. Strict monotonicity corollary draft

對：

$$
s>0,
$$

$$
g(q,s)
=
2q\tan\frac{s}{2q}
$$

對 $q$ 嚴格下降。

從 $n$ 階 optimum 增加一個 angular partition cell，即可構造同 width 而 strictly shorter 的 $n+1$ 階 path。

所以若 global reduction theorem 成立：

$$
\boxed{
L_{n+1}^\star
<
L_n^\star,
}
$$

即：

$$
\boxed{
t_{n+1}
>
t_n.
}
$$

本輪對：

$$
n=4,\ldots,20
$$

的 reduced runtime audit 全部符合 strict increase。

---

# 15. Parity corollary draft

Round 04 已證 reduced class 中：

$$
|q_L-q_R|\le1.
$$

因此若 global reduction 成立：

$$
\boxed{
n\text{ even}
\Rightarrow
\text{bilateral symmetry},
}
$$

$$
\boxed{
n\text{ odd}
\Rightarrow
\text{asymmetric mirror pair}.
}
$$

這會對應 2007 general-$n$ conjecture 的 parity 部分。

---

# 16. Novelty discipline

本輪 targeted web search 仍主要回到：

- Panraksa–Wetzel–Wichiramala 2007 的 $n=3$ theorem；
- 同文對 $n>3$ 的 conjectures；
- Adhikari–Pitman 1989 的 continuous / finite-$M$ convex reduction；
- 2026 broadworm continuum reformulation。

本輪沒有在 targeted search 中看到一篇明確宣稱 general-$n$ polygonal conjectures 已全部證完的後續工作。

但這不是 exhaustive novelty proof。

因此本文只標：

```text
NO OBVIOUS PRIOR GENERAL-n RESOLUTION FOUND IN TARGETED SEARCH
```

不得宣稱：

```text
FIRST PROOF IN THE LITERATURE
```

---

# 17. 下一步：停止擴張，進 verification

Round 05 已經不適合再直接往前堆新 corollary。

下一輪優先：

1. blind / lagged independent re-derivation；
2. CAS identity audit；
3. outward-rounded interval certificate；
4. adversarial counterexample search；
5. formalization skeleton；
6. 專門攻 interior support-line shift 是否可能在 tangency 前創造新的 narrower direction。

---

# 結論

Round 05 把 BSP 從一組 open boundary cases 壓成：

```text
BSP-A endpoint slack          CLOSED
BSP-B positive plateau       CLOSED AT RESEARCH-PROOF LEVEL
BSP-C degeneracies           LOWER-STAGE ABSORBED
q=0 side boundary            EXCLUDED
```

因此 Round 03 的：

$$
2n-2
\rightarrow
1\text{ or }2
$$

第一次形成完整的 global-reduction proof draft。

目前最重要的態度不是立刻宣稱 general-$n$ 問題已解，而是：

$$
\boxed{
\text{freeze}
\rightarrow
\text{independently re-derive}
\rightarrow
\text{try to kill the proof}.
}
$$

若下一輪 adversarial verification 仍找不到破口，再考慮升級 theorem status。

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# References

1. Ani Adhikari, Jim Pitman, *The Shortest Planar Arc of Width 1*, American Mathematical Monthly 96(4), 309–327 (1989).
2. Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *The broadest three-segment unit arc*, Periodica Mathematica Hungarica 55(2), 157–168 (2007).
3. Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *Covering n-Segment Unit Arcs Is Not Sufficient*, Discrete & Computational Geometry 37(2), 297–299 (2007).
4. Zhipeng Deng, *Revisit escape path for infinite unit strip forest and unit broadworm*, arXiv:2607.18563 (2026).

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `WSFC-R05-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本文狀態：

```text
RESEARCH PROOF DRAFT
NOT PEER REVIEWED
NOT FORMALLY VERIFIED
INDEPENDENT AUDIT REQUIRED
```

聊天畫面不是 canonical source。

===END===