# WSFC Round 04
## Support-Class Necessity I：既有 Convexity Gate、Endpoint Antipodes 與 Balanced Segment Allocation

**English Title:** *Support-Class Necessity I: Convexity, Endpoint Antipodes, and Balanced Segment Allocation*  
**文件代號：** `WSFC-R04-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-R03-v0.1`  
**狀態：** `NECESSITY ATTACK / TWO EXTERNAL GATES CLOSED / NEW CONVEXITY LEMMAS`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

---

# 摘要

Round 03 將 broadest polygonal worm 的高維 vertex search 壓縮為 antipodal support-tangent model，並留下主要 proof gate：

$$
\boxed{
\Gamma_n^\star
\in
\mathcal T_n?
}
$$

本輪開始直接攻此 necessity。

第一個重要發現是：Round 03 原本列為待證的兩個前置 gate，其實已有 Adhikari–Pitman 1989 的結果可以直接接入。

他們固定任意正整數 $M$，在「至多 $M$ 個線段、width 至少 $1$」的 compact class 中取最短 arc，並證明：

$$
\boxed{
\text{任何這樣的 minimal finite-segment arc 必為 convex。}
}
$$

因此 WSFC 不需要重新證明 finite-stage convexity。

同一論文在 convex case 中還證明：若 convex arc 超出由兩 endpoints 的垂線形成的 strip，向 endpoint base line 作 perpendicular reduction 可以得到更短且 width 更大的 arc。故最短 convex arc 可限制在 endpoint strip 中。

在此 strip-confined convex normal form 下，本輪再推出三個新 lemma。

第一，**Endpoint Antipode Lemma**：左側正斜率 edge 的 opposite support 必為右 endpoint；右側負斜率 edge 的 opposite support 必為左 endpoint。這不是額外猜想，而是 strip 幾何的直接結果。

第二，**Interior Support-Slack Lemma**：在固定 support-angle order 的 convex polygonal cell 中，若某個 interior side edge 到其 opposite endpoint 的距離嚴格大於 $1$，則把該 support line 平行向內推到距離 $1$ 會嚴格縮短 arc，而不增加 segment count。因此 interior active side edges 在 minimizer 中必須 tangent to the corresponding endpoint unit disc。

第三，對 Round 03 的 reduced tangent class，本輪證明 **Balanced Segment Allocation Theorem**。定義一側、breadth-one、固定 endpoint distance $d$ 的 reduced length：

$$
J_d(q,a)
=
\sqrt{d^2-1}
+
a
+
2q
\tan
\left(
\frac{
\Delta_d(a)
}{
2q
}
\right),
$$

其中：

$$
\Delta_d(a)
=
\frac\pi2
-
\arccos\frac1d
-
2\arctan a.
$$

本文證明 $J_d(q,a)$ 在：

$$
q>0,
\qquad
a>0,
\qquad
\Delta_d(a)>0
$$

上對 $(q,a)$ **嚴格聯合凸**。

因此固定總 angular-gap budget：

$$
q_L+q_R=Q
$$

與：

$$
a_L+a_R=d,
$$

連續 relaxation 的唯一 minimizer 為：

$$
q_L=q_R=\frac Q2,
\qquad
a_L=a_R=\frac d2.
$$

對 integer segment budget：

- 若 $Q$ 為偶數，最佳配置必為完全平衡；
- 若 $Q$ 為奇數，最佳兩側 gap counts 必相差恰好 $1$，且形成一對 mirror solutions。

這直接在 support-tangent class 中證明 Round 03 / 2007 所觀察到的 parity pattern：

$$
\boxed{
\text{even }n
\Rightarrow
\text{bilateral symmetry},
}
$$

而：

$$
\boxed{
\text{odd }n>3
\Rightarrow
\text{two mirror asymmetric reduced minimizers}.
}
$$

因此 Round 04 後，Major Gate 已從：

```text
CONVEXITY
DRAPE / STRIP REDUCTION
ANTIPODAL ENDPOINT RESPONSIBILITY
WIDTH EQUALIZATION
BALANCED SEGMENT ALLOCATION
```

壓縮成更窄的：

$$
\boxed{
\text{Active-Constraint Saturation at the boundary / endpoint lines}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{排除 top horizontal plateau 或其他 support-order degeneration。}
}
$$

---

# 1. 問題重新定位

Round 03 的 major question 是：

$$
\Gamma_n^\star
\in
\mathcal T_n?
$$

其中 $\mathcal T_n$ 是：

- convex；
- endpoint-strip confined；
- one-gap upper chain；
- side edges supported antipodally by endpoints；
- width-one tangent；
- equal-angle partition；
- balanced left/right segment allocation

的 reduced class。

本輪把 necessity 拆成可審計 gate。

---

# 2. 外部 Gate A：Finite-Segment Convexity 已有 theorem

Adhikari–Pitman 考慮：

$$
\mathcal C_M
$$

為：

- 固定起點；
- 長度最多 $3$；
- 至多 $M$ 條線段

的 arcs。

length 與 width 在其 compact topology 中連續，因此存在 width 至少 $1$ 的 minimal arc。

他們逐步證明：

1. minimal arc 的 segment endpoints 全部是其 convex hull corners；
2. 每個 corner 只被訪問一次；
3. minimal arc 無 self-intersection；
4. 最後在 Section 4 證明：

$$
\boxed{
\text{a minimal arc with at most }M\text{ segments is convex.}
}
$$

由於我們的 finite-$n$ broadest problem 對偶到：

> 在至多 $n$ 段中找 shortest width-one arc，

這個 theorem 可以直接作為 WSFC finite-stage convexity gate。

所以：

```text
CONVEXITY NECESSITY
```

由 `OPEN` 改為：

```text
SOURCE-CLOSED
```

---

# 3. 外部 Gate B：Endpoint-Strip Reduction

對 convex arc $AB$，取：

$$
A=(0,0),
\qquad
B=(d,0).
$$

Adhikari–Pitman 指出：

若 arc 伸到 $A$ 左邊或 $B$ 右邊，對超出部分向 $AB$ 作 perpendicular reduction，可得到：

$$
\boxed{
\text{shorter arc with greater width}.
}
$$

因此 minimal convex width-one arc 必可限制在：

$$
\boxed{
0\le x\le d.
}
$$

亦即 endpoint perpendicular strip。

後續本文稱此為：

$$
\boxed{
\text{strip-confined convex normal form}.
}
$$

它與 WSFC Round 03 所使用的 drape 型幾何一致，但本文不把它與後期文獻中更一般的 formal drapeability 定義混同。

---

# 4. Adhikari–Pitman 的 two-disc condition

在上述 strip 中，令：

$$
A'B'
$$

是：

$$
y=1
$$

上的水平 segment。

Adhikari–Pitman 對 convex arc 給出 width-one criterion：存在 arc 與 $A'B'$ 的交點 $F$，使：

1. arc 達到 unit height；
2. $A$ 到 $F$ 的 subarc 不進入以 $B$ 為圓心的 open unit disc；
3. $F$ 到 $B$ 的 subarc 不進入以 $A$ 為圓心的 open unit disc。

因此原本的 width condition 被重寫成：

$$
\boxed{
\text{left path avoids }D(B,1),
\qquad
\text{right path avoids }D(A,1).
}
$$

Round 03 的兩個 endpoint unit discs 並不是事後擬合出來的。

它們正是 classical convex broadworm proof 的核心 constraint。

---

# 5. 新 Lemma 1：Endpoint Antipode Lemma

考慮 strip 中的 convex upper chain。

因 convexity，它可視為：

$$
y=f(x)
$$

的 piecewise-linear concave graph。

取一條正斜率 edge：

$$
e:
y=mx+c,
\qquad
m>0.
$$

其向上 outward normal 可取：

$$
n
=
\frac{
(-m,1)
}{
\sqrt{1+m^2}
}.
$$

對 convex hull 內任意：

$$
P=(x,y),
$$

因：

$$
0\le x\le d,
\qquad
y\ge0,
$$

有：

$$
\langle n,P\rangle
=
\frac{-mx+y}{\sqrt{1+m^2}}
\ge
\frac{-md}{\sqrt{1+m^2}}
=
\langle n,B\rangle.
$$

所以：

$$
\boxed{
B
\text{ 是此 edge normal 的 opposite support point。}
}
$$

同理，若：

$$
m<0,
$$

則：

$$
\boxed{
A
\text{ 是 opposite support point。}
}
$$

若：

$$
m=0,
$$

則 opposite support 是 base segment $AB$。

因此：

$$
\boxed{
\text{convex + strip}
\Rightarrow
\text{endpoint antipodal responsibility}.
}
$$

這一步不需要額外猜測。

---

# 6. Consequence：side-edge width 就是 endpoint distance-to-line

對左側正斜率 edge line：

$$
L_i,
$$

其 width constraint 直接變成：

$$
\boxed{
\operatorname{dist}(B,L_i)\ge1.
}
$$

對右側：

$$
\boxed{
\operatorname{dist}(A,L_i)\ge1.
}
$$

所以 Round 03 所謂：

```text
ANTIPODAL SUPPORT-TANGENT
```

中「antipodal endpoint」部分已由 strip convexity 自動推出。

真正還要證的是：

$$
\boxed{
\operatorname{dist}(B,L_i)=1
}
$$

或右側對應等號是否在 minimizer 上全面飽和。

---

# 7. 新 Lemma 2：Interior Support-Slack Elimination

考慮一個固定 combinatorial / normal-order cell。

令 consecutive support lines：

$$
L_i:
\langle n_i,x\rangle=h_i,
$$

normal angle gaps：

$$
\delta_i\in(0,\pi).
$$

對 convex polygonal boundary，support-number calculus 給 interior support line $h_i$ 對 boundary length 的一階係數：

$$
\boxed{
\frac{\partial \ell}{\partial h_i}
=
\tan\frac{\delta_i}{2}
+
\tan\frac{\delta_{i+1}}{2}
>
0.
}
$$

因此若某 interior side edge 有：

$$
h_i>1
$$

的 strict width slack，在保持 normal order 與鄰接 combinatorics 的小變分內，可將：

$$
h_i
\downarrow1
$$

並嚴格縮短 arc。

所以 interior minimal edges 必滿足：

$$
\boxed{
h_i=1.
}
$$

由 Endpoint Antipode Lemma：

$$
\boxed{
\text{所有 interior left edges tangent to }D(B,1),
}
$$

$$
\boxed{
\text{所有 interior right edges tangent to }D(A,1).
}
$$

---

# 8. 這一步關掉什麼？

Round 03 原本把：

> 每條 side segment 都是 endpoint-circle tangent

當成 numerical pattern。

Round 04 現在至少對：

$$
\boxed{
\text{interior side edges}
}
$$

把它升級成 fixed-support-order variational lemma。

剩下最敏感的是：

- first side edge；
- last side edge；
- top transition；
- support-order degeneration。

也就是 boundary lines，而不是整條 chain。

---

# 9. Top-height slack 也可大幅縮小

若 strip-confined convex arc 的最高高度：

$$
H>1,
$$

則它與：

$$
y=1
$$

通常有左右兩個交點：

$$
F_L,F_R.
$$

把：

$$
F_L
\rightarrow
\text{top subarc}
\rightarrow
F_R
$$

替換為 horizontal chord：

$$
F_LF_R
\subset
\{y=1\},
$$

會：

- 不增加 segment count；
- 嚴格縮短，除非原本已是該 horizontal segment；
- horizontal line $y=1$ 不進入任一 endpoint open unit disc。

因此 genuine minimizer 不需要具有：

$$
H>1
$$

的 curved / broken top excursion。

仍需另外排除：

$$
\boxed{
\text{positive-length horizontal plateau at }y=1.
}
$$

這被保留為下一個 discrete boundary case，而不是本輪硬宣稱已關閉。

---

# 10. Reduced one-side functional

進入 Round 03 已有的 tangent class。

固定：

$$
d>1.
$$

令一側 apex horizontal distance 為：

$$
a>0.
$$

定義：

$$
c(d)
=
\frac\pi2
-
\arccos\frac1d.
$$

以及：

$$
\boxed{
\Delta_d(a)
=
c(d)
-
2\arctan a.
}
$$

若該側有：

$$
q
$$

個 support-angle gaps，則：

$$
\boxed{
J_d(q,a)
=
\sqrt{d^2-1}
+
a
+
2q
\tan
\left(
\frac{
\Delta_d(a)
}{
2q
}
\right).
}
$$

這就是一側 reduced path length。

---

# 11. Equal-angle partition 再定位

令：

$$
g(q,s)
=
2q
\tan
\left(
\frac{s}{2q}
\right).
$$

固定 $q$ 與總 angle span $s$，Round 03 已由 Jensen 得：

$$
\boxed{
\delta_1=\cdots=\delta_q=\frac{s}{q}
}
$$

使 tangent-chain excess 最小。

因此：

$$
J_d(q,a)
$$

已經把該側所有 internal angular freedoms 積掉。

---

# 12. 新 Lemma 3：$g(q,s)$ 是 convex perspective

令：

$$
z
=
\frac{s}{2q}.
$$

則：

$$
g_s
=
\sec^2z
>
0,
$$

$$
g_{ss}
=
\frac{
\sec^2z\tan z
}{
q
}
>
0,
$$

$$
g_{qq}
=
\frac{
s^2
}{
q^3
}
\sec^2z\tan z
>
0,
$$

$$
g_{qs}
=
-
\frac{
s
}{
q^2
}
\sec^2z\tan z.
$$

而：

$$
g_{qq}g_{ss}-g_{qs}^2=0.
$$

所以 $g$ 是 convex function：

$$
(q,s)
\mapsto
g(q,s),
$$

亦可視為：

$$
q
\left[
2\tan
\left(
\frac{s/q}{2}
\right)
\right]
$$

的 perspective。

---

# 13. $\Delta_d(a)$ 的 convexity

對：

$$
a>0,
$$

$$
\Delta_d'(a)
=
-\frac{2}{1+a^2},
$$

$$
\boxed{
\Delta_d''(a)
=
\frac{
4a
}{
(1+a^2)^2
}
>
0.
}
$$

因此 $\Delta_d$ strictly convex。

又因：

$$
g_s>0,
$$

convex composition 可以使用。

---

# 14. 新 Lemma 4：One-Side Joint Strict Convexity

有：

$$
J_d(q,a)
=
\sqrt{d^2-1}
+
a
+
g(q,\Delta_d(a)).
$$

其 Hessian determinant 可化為：

$$
\boxed{
\det\nabla^2J_d
=
g_{qq}
g_s
\Delta_d''(a)
>
0.
}
$$

且：

$$
J_{qq}=g_{qq}>0.
$$

所以：

$$
\boxed{
J_d(q,a)
\text{ 對 }(q,a)\text{ 嚴格聯合凸。}
}
$$

這是 Round 04 最重要的新解析 lemma。

---

# 15. Balanced Segment Allocation Problem

令：

$$
q_L+q_R=Q,
$$

而左右 apex horizontal distances：

$$
a_L+a_R=d.
$$

總 reduced length：

$$
\boxed{
H_d(q_L,a_L)
=
J_d(q_L,a_L)
+
J_d(Q-q_L,d-a_L).
}
$$

由 $J_d$ joint strict convexity：

$$
H_d
$$

是 convex。

而反射：

$$
(q_L,a_L)
\mapsto
(Q-q_L,d-a_L)
$$

保持 $H_d$ 不變。

---

# 16. Continuous Balance Theorem

由 convexity + reflection symmetry：

$$
\boxed{
q_L=q_R=\frac Q2,
\qquad
a_L=a_R=\frac d2
}
$$

是 continuous relaxation 的唯一 minimizer。

也可以直接由 Jensen：

$$
J_d(q_L,a_L)
+
J_d(q_R,a_R)
\ge
2J_d
\left(
\frac Q2,
\frac d2
\right).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{continuous freedom resource 必須左右完全平衡。}
}
$$

---

# 17. Integer Balance Theorem

實際 segment counts 是 integers。

定義：

$$
F_d(q)
=
\min_a
\left[
J_d(q,a)
+
J_d(Q-q,d-a)
\right].
$$

partial minimization 保留 convexity，所以：

$$
F_d(q)
$$

是 convex。

同時：

$$
F_d(q)=F_d(Q-q).
$$

故 integer minimizers 必為離：

$$
Q/2
$$

最近的 integer pair。

也就是：

$$
\boxed{
|q_L-q_R|
\le1.
}
$$

---

# 18. Segment counts 的翻譯

若一側有：

$$
k_L
$$

個 tangent segments，

則：

$$
q_L=k_L-1.
$$

同理：

$$
q_R=k_R-1.
$$

而：

$$
k_L+k_R=n
$$

給：

$$
q_L+q_R=n-2.
$$

所以：

$$
\boxed{
|k_L-k_R|
\le1.
}
$$

因此：

- even $n$：左右 segment count 必相同；
- odd $n$：左右 segment count 必差一。

這不是 numerical pattern，而是 reduced support class 中的 theorem。

---

# 19. Even Parity Corollary

若：

$$
n=2m,
$$

則：

$$
q_L=q_R=m-1.
$$

再由 $a$ 的 strict convexity 與 reflection symmetry：

$$
\boxed{
a_L=a_R=\frac d2.
}
$$

所以 apex 位於中線：

$$
x=\frac d2.
$$

因此 reduced minimizer bilateral symmetric。

即：

$$
\boxed{
\text{even }n
\Rightarrow
\text{bilateral symmetry}
}
$$

在 support-tangent class 中已被證。

---

# 20. Odd Parity Corollary

若：

$$
n=2m+1,
$$

則：

$$
\{q_L,q_R\}
=
\{m-1,m\}.
$$

取：

$$
q_R>q_L.
$$

在 center：

$$
a_L=a_R=a=\frac d2.
$$

有：

$$
\frac{\partial J_d}{\partial a}
=
1
-
\frac{
2\sec^2
\left(
\Delta_d(a)/(2q)
\right)
}{
1+a^2
}.
$$

對固定 $a$，$q$ 越大：

$$
\frac{\Delta_d(a)}{2q}
$$

越小，

所以：

$$
\frac{\partial J_d}{\partial a}
$$

越大。

因此在 symmetric point：

$$
\frac{dH}{dx}
>
0.
$$

由 strict convexity，unique oriented minimizer 必滿足：

$$
\boxed{
x<\frac d2.
}
$$

也就是 segment 較多的一側承擔較大的 support-angle span。

反射得到另一個 mirror minimizer。

所以：

$$
\boxed{
\text{odd }n>3
\Rightarrow
\text{no bilateral symmetry within the reduced optimum；}
}
$$

而有一對 mirror solutions。

---

# 21. 這直接解釋 Round 02 / 03 的 parity pattern

數值上：

```text
n=4   symmetric
n=5   asymmetric
n=6   symmetric
n=7   asymmetric
n=8   symmetric
```

Round 04 現在指出：

> 這不是 optimizer 偶然跑出的模式，而是 balanced integer resource allocation 的必然結果——前提是 global solution 已進入 active support-tangent class。

---

# 22. Numerical Allocation Scan

本輪對：

$$
n=4,\ldots,14
$$

枚舉所有：

$$
q_L+q_R=n-2,
\qquad
q_L,q_R\ge1.
$$

每一種 allocation 都重新 optimize：

$$
(d,x).
$$

所有測試中，最低 length 配置皆符合：

$$
\boxed{
|q_L-q_R|\le1.
}
$$

這不是 theorem 的來源，只是對解析 Balance Theorem 的獨立 runtime check。

完整資料保存在：

```text
WSFC_R04_segment_allocation_scan.csv
```

---

# 23. Major Gate 再次縮小

Round 03：

```text
CONVEXITY
DRAPE / STRIP
WIDTH EQUALIZATION
ANTIPODAL ENDPOINT
EQUAL ANGLES
BALANCED COUNTS
```

Round 04：

```text
CONVEXITY                         SOURCE-CLOSED
STRIP REDUCTION                   SOURCE-CLOSED
ENDPOINT ANTIPODE                 DERIVED
INTERIOR TANGENCY                 DERIVED IN FIXED SUPPORT CELL
EQUAL-ANGLE PARTITION             DERIVED
BALANCED COUNTS                   DERIVED
EVEN/ODD PARITY                   DERIVED IN SUPPORT CLASS
```

真正殘餘：

$$
\boxed{
\text{boundary active-constraint saturation}
}
$$

尤其：

1. first / last side support 是否必 tangent；
2. positive-length top plateau 是否一定可淘汰；
3. support-order change / degenerate vertices 是否存在逃逸；
4. 以上是否可在不增加 segment count 下完成變分。

---

# 24. 新的最小 Proof Debt

因此目前真正需要攻的不是：

> 為什麼整條 polygonal extremizer 長得像 Round 03？

而是更窄：

> 在已知 convex、strip-confined 的有限段 minimizer 中，是否可能存在一個 boundary side constraint 有 slack，但因 segment budget / combinatorial transition 而不能被消掉？

這可以標：

$$
\boxed{
\textbf{Boundary Saturation Problem}.
}
$$

簡稱：

$$
\boxed{
\mathrm{BSP}.
}
$$

---

# 25. BSP 的三個案例

## BSP-A — Endpoint Edge Slack

第一或最後 side edge：

$$
\operatorname{dist}
(
\text{opposite endpoint},
L
)
>1.
$$

需要證可旋轉／替換而縮短。

## BSP-B — Top Plateau

存在：

$$
F_LF_R
\subset
\{y=1\}
$$

且：

$$
|F_LF_R|>0.
$$

需要證它不能成為 optimal finite-budget resource allocation。

## BSP-C — Degenerate Support Birth

某次 perturbation 使：

- segment length $\to0$；
- consecutive normals collide；
- support order 改變。

需要證 closure 可跨 cell 邊界處理，而不是只在單一 smooth cell 裡成立。

---

# 26. 這與 WSFC 的真正「動」直接相連

BSP-C 很重要，因為 sequence freedom expansion：

$$
\Gamma_n
\rightarrow
\Gamma_{n+1}
$$

本來就會跨越：

$$
\boxed{
\text{support-combinatorial cells}.
}
$$

所以最後 theorem 不能只證：

> 每個 cell 內 optimizer 是 tangent partition。

還必須證：

> cell boundary 不會藏著更短的 extremizer。

這是 Round 04 後最清楚的 global obstacle。

---

# 27. Round 04 結論

本輪把 Round 03 的高維 necessity 問題進一步壓縮。

最重要的結果有四個：

第一，finite-stage convexity 不需要重證；Adhikari–Pitman 已經在「任意固定 $M$ segments」層證明。

第二，endpoint strip reduction 也已有 classical proof。

第三，一旦進入 strip-confined convex upper chain：

$$
\boxed{
\text{antipodal endpoint identity}
}
$$

是自動的。

第四，在 active support-tangent reduced class：

$$
\boxed{
\text{左右 segment budget 必須最平衡。}
}
$$

而 parity pattern：

$$
\boxed{
\text{even symmetric / odd asymmetric mirror pair}
}
$$

隨之成為 theorem-level reduced-class 結果。

因此 Major Gate 現在從「證整個幾何」縮成：

$$
\boxed{
\text{Boundary Saturation}
+
\text{Cell-Boundary Exclusion}.
}
$$

如果這兩件事被關掉，Round 03 的：

$$
2n-2
\rightarrow
1\text{ or }2
$$

將非常接近真正的 global finite-$n$ reduction。

---

# References

1. Ani Adhikari, Jim Pitman, *The Shortest Planar Arc of Width 1*, American Mathematical Monthly 96(4), 309–327 (1989).
2. Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *The broadest three-segment unit arc*, Periodica Mathematica Hungarica 55(2), 157–168 (2007).
3. Zhipeng Deng, *Revisit escape path for infinite unit strip forest and unit broadworm*, arXiv:2607.18563 (2026).
4. Yevgenya Movshovich, John Wetzel, *Drapeability and Λ-Frames*, Geometry 2(4), 18 (2025).

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `WSFC-R04-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本輪不宣稱：

- Support-Class Necessity 已全部證完；
- first / last endpoint edges 的 tangency 已全域閉合；
- top plateau 已排除；
- support-order cell boundaries 已排除；
- $n\ge4$ global broadest polygonal arc 已解；
- 2007 全部 conjectures 已證。

本輪確立的是：

```text
SOURCE-CLOSED:
    finite-M convexity
    convex endpoint-strip reduction

DERIVED:
    endpoint antipode identity
    interior support slack elimination
    one-side joint strict convexity
    balanced integer segment allocation
    reduced-class parity theorem

OPEN:
    Boundary Saturation Problem
    cell-boundary exclusion
    global support-class necessity
```

===END===