# WSFC Round 04
## 有限段 Convexity Gate、Endpoint-Disc Obstacle Reduction 與 Support-Cell Allocation Calculus

**English Title:** *Finite-Segment Convexity Gates, Endpoint-Disc Obstacle Reduction, and Support-Cell Allocation Calculus*  
**文件代號：** `WSFC-R04-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-R03-v0.1`  
**狀態：** `SOURCE-GATE CLOSURE / DISCRETE OBSTACLE REDUCTION / EVEN-ALLOCATION THEOREM`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

---

# 摘要

Round 03 把 broadest finite polygonal worm 的主要 proof debt 壓到：

$$
\boxed{
\text{global extremizer}
\Rightarrow
\text{antipodal support-tangent class}?
}
$$

並把其子責任拆為：

1. convexity necessity；
2. drape / endpoint-strip necessity；
3. width equalization；
4. antipodal endpoint responsibility；
5. equal-angle tangent partition。

Round 04 的第一個結果，是前兩個 gate 並非新問題。

Adhikari–Pitman 在 1989 年研究最短 width-$1$ planar arc 時，先固定一個有限 segment 上限 $M$，對所有至多 $M$ 段的 polygonal arcs 取最短 width-$1$ minimizer，並證明此 minimizer 必為 convex。這正是 WSFC finite-stage dual 所需要的 convexity reduction。

同一文獻在 convex case 中又證明：若 convex arc 相對其 endpoints 的基線向左或向右伸出，沿垂線截短可得到更短且 width 更大的 arc。因此最短 convex candidate 必可限制在 endpoints 的垂直 strip 中。這正是 WSFC 所需的 drape-type reduction。

更重要地，對 endpoints：

$$
A=(0,0),
\qquad
B=(d,0),
$$

且 arc 位於 endpoint strip 上方時，Adhikari–Pitman 將 width-$1$ 條件重寫成：

- arc 必須到達 unit-height line；
- 從 $A$ 到該 contact 的子路徑不能穿入以 $B$ 為圓心的 open unit disc；
- 另一側對稱地不能穿入以 $A$ 為圓心的 open unit disc。

因此 Round 03 的「opposite-endpoint unit-circle tangent」並非偶然幾何：它正好是這個 endpoint-disc obstacle formulation 的有限段離散版本。

本輪接著將 tangent-partition cost 統一寫成：

$$
\boxed{
g(q,\Delta)
=
2q
\tan
\left(
\frac{\Delta}{2q}
\right),
}
$$

其中：

- $\Delta$ 是需要繞過的 support-angle span；
- $q$ 是該側的 support-angle gaps 數量。

本輪證明：

$$
\boxed{
\frac{\partial g}{\partial q}<0,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\frac{\partial^2 g}{\partial q^2}>0.
}
$$

也就是：

> 增加 active support cells 一定能降低離散 tangent cost，但具有嚴格 diminishing returns。

進一步，令：

$$
q_L+q_R=n-2.
$$

得到統一 reduced obstacle functional：

$$
\boxed{
\mathcal L_n(d,x;q_L,q_R)
=
2\sqrt{d^2-1}
+d
+
g(q_L,\Delta_L)
+
g(q_R,\Delta_R).
}
$$

對 even $n$，本輪利用：

1. $\arctan$ 在正軸的 concavity；
2. $g$ 是 convex function 的 perspective；
3. integer budget $q_L+q_R=n-2$ 為偶數；

證明在此 reduced obstacle model 中：

$$
\boxed{
x=\frac d2,
\qquad
q_L=q_R=\frac{n-2}{2}.
}
$$

因此 Round 03 偶數階的 bilateral symmetry 與 balanced support partition，已從 numerical pattern 升級成 reduced-model theorem。

對 odd $n$，全 allocation enumeration 到 $n=20$ 均選出最平衡的：

$$
|q_L-q_R|=1,
$$

並由 $x\neq d/2$ 吸收不可避免的 odd asymmetry；但本文尚未把這一步升格成一般 theorem。

本輪另加入一個 explicit top-segment red team。若強行保留 unit-height horizontal top segment，再重新優化 $n=5,\ldots,12$，其最優長度全部 collapse 至 numerical zero，等效於浪費一個 segment 並退回上一階候選。這是強 numerical evidence，但尚不宣稱 global theorem。

---

# 1. Scale Duality

對任意非退化 arc $\gamma$，令：

$$
\ell(\gamma)
$$

為 length，

$$
b(\gamma)
$$

為 breadth。

比值：

$$
\frac{b(\gamma)}{\ell(\gamma)}
$$

對 uniform scaling 不變。

因此：

> unit-length $n$-segment arc 的最大 breadth

等價於：

> breadth-$1$、至多 $n$ segments arc 的最小 length。

若：

$$
t_n
=
\sup_{\ell(\gamma)=1,\;\#\mathrm{seg}\le n}b(\gamma),
$$

則：

$$
\boxed{
L_n^\star
=
\frac1{t_n}
}
$$

其中 $L_n^\star$ 是 width-$1$ dual 的最小 length。

所以 Adhikari–Pitman 對 finite-segment width-$1$ minimizer 的結論可直接作用於 WSFC。

---

# 2. Gate A：Finite-Segment Convexity 已有既有 theorem

Adhikari–Pitman 不是只在 continuous arc 類中直接假設 convexity。

他們先固定：

$$
M<\infty
$$

並研究：

> 至多 $M$ line segments、width 至少 $1$ 的最短 polygonal arc。

其 Section 3 建立 minimal arc 的 standard form：

- 每個 convex-hull corner 只拜訪一次；
- 每個 segment endpoint 都是 convex-hull corner；
- minimal arc 無 self-intersection。

Section 4 再證：

$$
\boxed{
\text{每個 finite-}M\text{ minimal width-}1\text{ arc 必為 convex。}
}
$$

因此 WSFC 的：

```text
CONVEXITY NECESSITY
```

現在可標：

```text
SOURCE-CLOSED
```

而不是 OPEN。

---

# 3. 為什麼這個 theorem 精確對上 WSFC？

Round 03 的問題不是任意 shortest arc，而是：

$$
L_n^\star
=
\min
\{
\ell(\gamma):
b(\gamma)\ge1,\;
\#\mathrm{seg}(\gamma)\le n
\}.
$$

令：

$$
M=n.
$$

這正是 Adhikari–Pitman finite-$M$ argument 的 domain。

因此存在 convex minimizer：

$$
\boxed{
\gamma_n^\star
\text{ convex}.
}
$$

這一步不需要等待：

$$
n\rightarrow\infty.
$$

它對每個 finite $n$ 分別成立。

---

# 4. Gate B：Endpoint-Strip / Drape Reduction

對 convex arc：

$$
A\leadsto B
$$

把 endpoint line $AB$ 水平化。

Adhikari–Pitman 指出：

若 arc 向 $A$ 左側或 $B$ 右側伸出 endpoint strip，則可以向 $AB$ 作垂足截短，得到：

- 更短的 arc；
- 不較小、實際上更大的 relevant width。

所以 minimizer 必限制在：

$$
\boxed{
0\le x\le d,
\qquad
d=|AB|.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{finite minimizer 可限制為 convex drape-type arc}.
}
$$

因此：

```text
DRAPE / ENDPOINT-STRIP NECESSITY
```

也可升級為：

```text
SOURCE-CLOSED
```

---

# 5. Gate C：Width 條件被壓成兩個 endpoint discs

令：

$$
A=(0,0),
\qquad
B=(d,0).
$$

在 endpoint strip 上方考慮 convex arc。

Adhikari–Pitman 的核心 width lemma 使用：

$$
A'B'
$$

表示位於：

$$
y=1
$$

的水平線段。

對 convex arc，width 至少 $1$ 的責任可被分成：

1. arc 到達 unit-height line；
2. 左半段不能進入：

$$
D_B^\circ
=
\{p:|p-B|<1\};
$$

3. 右半段不能進入：

$$
D_A^\circ
=
\{p:|p-A|<1\}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{global minimum-width constraint}
\rightarrow
\text{two local convex obstacle constraints}.
}
$$

這就是 Round 03 antipodal endpoint circles 的來源。

---

# 6. WSFC 的新責任分解

現在 global finite-$n$ problem 可重排為：

$$
\boxed{
\text{finite width minimizer}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{convex}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{endpoint-strip / drape}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{left path avoids }D_B^\circ
\quad+\quad
\text{right path avoids }D_A^\circ.
}
$$

因此 Round 03 的 support structure 不再是純數值猜測。

真正尚未完全閉合的只剩：

> fixed segment budget 下，obstacle geodesic 的 active-support structure是否必然是 tangent polygon？

---

# 7. Discrete Tangent Cost

考慮一側 unit-disc obstacle。

若 finite polygonal path 以：

$$
q+1
$$

條 tangent segments 離散化一段總 support-angle span：

$$
\Delta,
$$

則 tangent-angle gaps：

$$
\delta_1,\ldots,\delta_q
$$

滿足：

$$
\sum_{i=1}^{q}\delta_i=\Delta.
$$

相鄰 tangent intersection 對 circle-arc envelope 產生的額外長度為：

$$
2\tan\frac{\delta_i}{2}.
$$

因此離散 obstacle cost：

$$
\sum_{i=1}^{q}
2\tan\frac{\delta_i}{2}.
$$

---

# 8. Equal-Partition Lemma

因：

$$
f(\delta)
=
2\tan\frac{\delta}{2}
$$

嚴格 convex，

所以固定總：

$$
\Delta
$$

時，

Jensen 給：

$$
\sum_{i=1}^{q}
2\tan\frac{\delta_i}{2}
\ge
2q
\tan
\left(
\frac{\Delta}{2q}
\right).
$$

等號當且僅當：

$$
\boxed{
\delta_i=\frac{\Delta}{q}
\quad
\forall i.
}
$$

因此定義：

$$
\boxed{
g(q,\Delta)
=
2q
\tan
\left(
\frac{\Delta}{2q}
\right).
}
$$

這不是 empirical fit。

它是固定 support span 與 support-cell count 下的 exact equal-partition cost。

---

# 9. Support Cell 的邊際價值

令：

$$
z
=
\frac{\Delta}{2q}.
$$

則：

$$
g(q,\Delta)
=
2q\tan z.
$$

對 continuous $q$ 微分：

$$
\boxed{
\frac{\partial g}{\partial q}
=
2
\left(
\tan z
-
z\sec^2 z
\right).
}
$$

因：

$$
h(z)
=
z\sec^2 z-\tan z
$$

滿足：

$$
h(0)=0,
$$

且：

$$
h'(z)
=
2z\sec^2 z\tan z
>
0
$$

對 $z>0$，

故：

$$
\boxed{
\frac{\partial g}{\partial q}<0.
}
$$

所以增加 active support cell 一定降低 tangent discretization cost。

---

# 10. Diminishing Returns

再微分：

$$
\boxed{
\frac{\partial^2 g}{\partial q^2}
=
\frac{
4z^2\sec^2 z\tan z
}{
q
}
>
0.
}
$$

因此 $g$ 對 $q$ 嚴格凸。

也就是：

$$
\boxed{
\text{support-cell refinement has diminishing returns}.
}
$$

這第一次把 WSFC 的：

$$
\text{Freedom Birth}
$$

直接變成一個可微 cost law。

---

# 11. 統一 Left / Right Reduced Functional

令 apex/contact state：

$$
F=(x,1).
$$

定義：

$$
C(d)
=
\frac\pi2-\arccos\frac1d.
$$

左側 endpoint-disc obstacle 的 support span：

$$
\boxed{
\Delta_L(d,x)
=
C(d)
-
2\arctan(d-x).
}
$$

右側：

$$
\boxed{
\Delta_R(d,x)
=
C(d)
-
2\arctan x.
}
$$

令：

$$
q_L+q_R=n-2.
$$

則 support-tangent reduced functional：

$$
\boxed{
\mathcal L_n(d,x;q_L,q_R)
=
2\sqrt{d^2-1}
+d
+
g(q_L,\Delta_L)
+
g(q_R,\Delta_R).
}
$$

Round 03 的 even / odd formulas 都是此式的特例。

---

# 12. 為什麼 $q_L+q_R=n-2$？

一側若有：

$$
q_L
$$

個 tangent-angle gaps，

就有：

$$
q_L+1
$$

條 side segments。

另一側同理。

總 segment count：

$$
n
=
(q_L+1)
+
(q_R+1).
$$

因此：

$$
\boxed{
q_L+q_R=n-2.
}
$$

所以真正的 sequence freedom 可被拆成：

1. continuous geometry：

$$
(d,x);
$$

2. integer support-cell budget：

$$
(q_L,q_R).
$$

---

# 13. $g$ 是 convex perspective

令：

$$
\varphi(s)
=
2\tan\frac s2.
$$

則：

$$
g(q,\Delta)
=
q
\varphi
\left(
\frac{\Delta}{q}
\right).
$$

這是 convex $\varphi$ 的 perspective。

所以 $g$ 對：

$$
(q,\Delta)
$$

聯合 convex。

因此：

$$
\boxed{
g(q_L,\Delta_L)
+
g(q_R,\Delta_R)
\ge
g(q_L+q_R,\Delta_L+\Delta_R).
}
$$

這是 even allocation proof 的第一半。

---

# 14. Apex 偏離中心會增加總 support span

由：

$$
\Delta_L+\Delta_R
=
2C(d)
-
2[
\arctan(d-x)+\arctan x
].
$$

因 $\arctan$ 在：

$$
x>0
$$

為 concave，

固定：

$$
x+(d-x)=d
$$

時：

$$
\arctan x
+
\arctan(d-x)
\le
2\arctan\frac d2.
$$

所以：

$$
\boxed{
\Delta_L+\Delta_R
\ge
2\Delta(d),
}
$$

其中：

$$
\Delta(d)
=
C(d)
-
2\arctan\frac d2.
$$

等號當且僅當：

$$
\boxed{
x=\frac d2.
}
$$

因此 centered apex 最小化 total support-angle burden。

---

# 15. Even Allocation Theorem

令：

$$
n=2m.
$$

則：

$$
Q=n-2=2m-2
$$

為偶數。

由 perspective convexity：

$$
g(q_L,\Delta_L)
+
g(q_R,\Delta_R)
\ge
g(Q,\Delta_L+\Delta_R).
$$

又因：

$$
\Delta_L+\Delta_R
\ge
2\Delta(d)
$$

且 $g$ 對 $\Delta$ 遞增，

得到：

$$
g(q_L,\Delta_L)
+
g(q_R,\Delta_R)
\ge
g(Q,2\Delta(d)).
$$

當：

$$
\boxed{
q_L=q_R=m-1,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
x=\frac d2
}
$$

時，

$$
\frac{\Delta_L}{q_L}
=
\frac{\Delta_R}{q_R}
$$

且兩個不等式同時取等號。

因此在 support-tangent reduced model 中：

$$
\boxed{
x^\star=\frac d2,
\qquad
q_L^\star=q_R^\star=m-1.
}
$$

這不是 numerical symmetry。

它是 reduced-model theorem。

---

# 16. Round 03 Even Formula 因此被重新證明

代入：

$$
q_L=q_R=m-1,
$$

得到：

$$
\boxed{
L_{2m}(d)
=
2\sqrt{d^2-1}
+d
+
4(m-1)
\tan
\left(
\frac{\Delta(d)}{2(m-1)}
\right).
}
$$

即 Round 03 公式。

所以 Round 03 even support compiler 現在不需要預先假設：

```text
EQUAL LEFT/RIGHT SUPPORT CELL COUNT
```

它由本輪 allocation theorem 自動導出。

---

# 17. Odd Stage：剩下的 integer allocation 問題

令：

$$
n=2m+1.
$$

則：

$$
Q=n-2=2m-1
$$

為 odd。

最平均 integer allocation 只能是：

$$
\boxed{
(q_L,q_R)
=
(m-1,m)
}
$$

或鏡射。

此時無法同時滿足：

$$
q_L=q_R
$$

與：

$$
x=d/2.
$$

所以 system 會透過：

$$
x\neq\frac d2
$$

稍微改變：

$$
\Delta_L,
\Delta_R
$$

以補償 integer cell imbalance。

這提供 odd asymmetry 的直接機制。

---

# 18. Odd Allocation Numerical Exhaustion

本輪對：

$$
4\le n\le20
$$

在 reduced model 中列舉所有：

$$
q_L,q_R\ge1,
\qquad
q_L+q_R=n-2
$$

並對每一個 allocation 重新最小化：

$$
(d,x).
$$

結果：

$$
\boxed{
|q_L-q_R|
=
\begin{cases}
0,& n\text{ even},\\
1,& n\text{ odd}
\end{cases}
}
$$

對所有測試階成立。

因此：

```text
ODD BALANCED-AS-POSSIBLE ALLOCATION
```

目前具有強 numerical support。

但本文不把此有限驗證直接升格成：

$$
\forall n.
$$

---

# 19. 下一個 odd proof target

因 $g(q,\Delta)$ 對 $q$ convex，

integer allocation 的邊際收益：

$$
g(q,\Delta)-g(q+1,\Delta)
$$

隨 $q$ 遞減。

因此 imbalance：

$$
|q_L-q_R|>1
$$

直觀上代表：

> 一側已進入較低 marginal-return 區，另一側仍有較高 marginal-return support refinement 可用。

要升成 theorem，需要同時控制：

$$
\Delta_L,\Delta_R
$$

會隨 apex $x$ 改變的補償效應。

這是 Round 05 很自然的 analytic target。

---

# 20. Top-Segment Red Team

Round 03 默認 top contact 是單一 point：

$$
F=(x,1).
$$

本輪故意放寬為：

$$
F_L=(x_L,1),
\qquad
F_R=(x_R,1),
$$

並允許：

$$
x_R-x_L>0
$$

的水平 top segment。

這多消耗一個 segment。

---

# 21. Top-Segment Extended Functional

定義：

$$
a=d-x_L,
\qquad
b=x_R.
$$

總長為：

$$
\begin{aligned}
\mathcal L^{\rm top}
={}&
2\sqrt{d^2-1}
+a+b\\
&+
(x_R-x_L)\\
&+
g(q_L,\Delta(d,a))
+
g(q_R,\Delta(d,b)).
\end{aligned}
$$

若：

$$
x_L=x_R,
$$

top segment collapse 為零。

---

# 22. Top-Segment Numerical Result

本輪對：

$$
n=5,\ldots,12
$$

及所有 admissible support-cell allocations 做 multi-start optimization。

每次最優：

$$
\boxed{
x_R-x_L
\approx0
}
$$

至 machine precision。

並且其結果等效於：

> top segment 浪費了一個 segment budget，退化回上一階無-top candidate。

因此：

$$
\boxed{
\text{positive top segment}
}
$$

在目前 reduced obstacle model 中沒有找到優勢。

狀態：

```text
STRONG NUMERICAL EVIDENCE
NOT YET GLOBAL THEOREM
```

---

# 23. Endpoint Tangency 的責任

Adhikari–Pitman continuous convex solution中，若 direct segment 會穿過 opposite endpoint disc，最短 path 採：

$$
\boxed{
\text{tangent}
\rightarrow
\text{circle boundary}
\rightarrow
\text{tangent}.
}
$$

finite segment budget 不允許連續 circular arc。

Round 03 / 04 的核心解讀是：

$$
\boxed{
\text{circle boundary arc}
\rightarrow
\text{finite circumscribed tangent partition}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{antipodal endpoint responsibility}
}
$$

不是從 vertex pattern 任意猜來，

而是 finite-stage obstacle geodesic 的自然離散化。

---

# 24. 目前仍未完全證完的 bridge

需要非常精確地區分：

Adhikari–Pitman 已證：

```text
GLOBAL FINITE MINIMIZER
    -> CONVEX
    -> ENDPOINT STRIP
    -> ENDPOINT-DISC OBSTACLE FORMULATION
```

本輪已證：

```text
IF ONE USES ACTIVE TANGENT SUPPORT CELLS
    -> EQUAL ANGLE PARTITION
    -> g(q,Delta)
    -> EVEN BALANCED ALLOCATION
```

尚缺：

```text
FINITE-SEGMENT OBSTACLE MINIMIZER
    -> EVERY FREE SIDE SEGMENT IS AN ACTIVE TANGENT
```

這一條才是目前 Support-Class Necessity 的主要 bridge。

---

# 25. Obstacle Support-Activation Lemma Candidate

候選 lemma：

> 固定 endpoints、chosen side、unit-disc obstacle 與 polygonal segment budget。若 polygonal path 是該 class 的最短 convex feasible path，則除了由 endpoints 強制的結構外，每條自由 side segment 的 supporting line 必須接觸 obstacle。

其幾何直覺：

若某 side support line 與 disc 有 positive slack，

則可朝 disc 收緊 support line。

由於 obstacle 仍未被穿入，而 convex envelope 被縮小，應可縮短 boundary path。

若此 lemma 嚴格成立：

$$
\boxed{
\text{Disc Avoidance}
\Rightarrow
\text{Tangent Activation}.
}
$$

那 Round 03 的 antipodal support-tangent class necessity 就會大幅接近閉合。

目前標記：

```text
PROOF-SKETCH / FORMAL DEBT
```

---

# 26. 與 Deng 2026 Antipodal Constraints 的對應

Deng 的 continuum convex formulation 使用：

$$
(
\mathbf r(t)-\mathbf r(t+\pi)
)
\cdot
n(t)
\ge1.
$$

這直接把 width 責任寫成 antipodal support inequality。

Round 04 的 finite support cells：

$$
(\theta_i,\text{opposite endpoint})
$$

可被看成：

$$
\boxed{
\text{finite active antipodal constraints}.
}
$$

因此 finite polygonal sequence 與 continuum convex program 在 constraint language 上也開始對齊。

---

# 27. Round 04 Gate Ledger

```text
SCALE DUALITY                         CLOSED
FINITE-STAGE EXISTENCE                SOURCE-SUPPORTED
CONVEXITY NECESSITY                   SOURCE-CLOSED
ENDPOINT-STRIP / DRAPE REDUCTION      SOURCE-CLOSED
DISC-OBSTACLE CHARACTERIZATION        SOURCE-CLOSED / ADAPTED
EQUAL-ANGLE PARTITION                 CLOSED
g(q,Delta) DECREASING IN q            CLOSED
g(q,Delta) CONVEX IN q                CLOSED
EVEN BALANCED CELL ALLOCATION         CLOSED IN REDUCED MODEL
ODD BALANCED-AS-POSSIBLE ALLOCATION   NUMERICALLY STRONG / OPEN THEOREM
POSITIVE TOP SEGMENT NECESSITY        EVIDENCE SAYS NO / OPEN THEOREM
TANGENT-ACTIVATION NECESSITY          PROOF-SKETCH / OPEN FORMAL GATE
GLOBAL SUPPORT-CLASS NECESSITY        PARTIALLY CLOSED
```

---

# 28. Support-Class Necessity 現在縮成什麼？

Round 03 時：

$$
\boxed{
\text{Convexity}
+
\text{Drapeability}
+
\text{Width Equalization}
+
\text{Antipodal Endpoint Responsibility}
}
$$

全部都像 open。

Round 04 後：

$$
\boxed{
\text{Convexity}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{Endpoint-Strip / Drape Reduction}
}
$$

直接由既有 theorem 關掉。

而 endpoint discs 也由 source 提供。

因此真正剩餘：

$$
\boxed{
\text{Obstacle Support Activation}
}
$$

以及 odd integer allocation 的一般 proof。

這是很大的 proof-debt contraction。

---

# 29. 對 WSFC「自由度」概念的新理解

現在可以區分三種 freedom：

### Representation Freedom

$$
2n-2.
$$

### Obstacle Support Freedom

$$
(q_L,q_R,\theta_i).
$$

### Reduced Responsibility Freedom

even：

$$
(n,d),
$$

odd：

$$
(n,d,x).
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{自由度不是被刪除，
而是被 theorem responsibility quotient 掉。}
}
$$

---

# 30. Round 04 結論

本輪最重要的進展不是新的 $t_n$。

而是將 Round 03 的主要疑問重新定位：

$$
\boxed{
\text{global finite polygonal problem}
}
$$

已經透過既有理論壓成：

$$
\boxed{
\text{convex endpoint-disc obstacle problem}.
}
$$

而 obstacle problem 裡的 finite freedom：

$$
q
$$

又具有一個精確 cost：

$$
\boxed{
g(q,\Delta)
=
2q\tan\frac{\Delta}{2q}.
}
$$

它滿足：

$$
g_q<0,
\qquad
g_{qq}>0.
$$

所以每一個新的 active support cell：

- 一定有用；
- 但邊際收益遞減。

對 even stage，更可以證：

$$
\boxed{
\text{centered apex}
+
\text{perfectly balanced support-cell allocation}.
}
$$

所以 2007 的 even symmetry conjecture 在整個 global problem 尚未完全證明，但在目前已 source-reduced 的 support obstacle model 中，已經有一個非常清楚的 analytic explanation。

下一輪真正應該集中火力的是：

$$
\boxed{
\textbf{Obstacle Support-Activation Lemma}.
}
$$

只要把：

$$
\text{finite shortest disc-avoiding polygon}
\Rightarrow
\text{all free sides tangent}
$$

嚴格化，Round 03 的 support compiler 就會從「reduced candidate model」再升一層，接近真正的 finite-$n$ theorem。

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# References

1. Ani Adhikari, Jim Pitman, *The Shortest Planar Arc of Width 1*, American Mathematical Monthly 96(4), 309–327 (1989).
2. John M. Maki, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *Drapeability*, Discrete & Computational Geometry 34(4), 637–657 (2005).
3. Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *The broadest three-segment unit arc*, Periodica Mathematica Hungarica 55(2), 157–168 (2007).
4. Zhipeng Deng, *Revisit escape path for infinite unit strip forest and unit broadworm*, arXiv:2607.18563 (2026).

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# Canonical Source Declaration

本檔為 `WSFC-R04-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本輪特別區分：

```text
SOURCE-CLOSED
DERIVED-CLOSED
REDUCED-MODEL THEOREM
NUMERICAL EVIDENCE
PROOF-SKETCH
GLOBAL OPEN
```

不得把 reduced-model theorem 直接等同 global finite-$n$ theorem。

===END===