# WSFC Round 02
## 自由度出生率、Broadworm 殘差動力學與 $n=4,5,6$ Polygonal Extremizer 再現

**English Title:** *Freedom Birth Rate, Broadworm Residual Dynamics, and Numerical Reproduction of the $n=4,5,6$ Polygonal Extremizers*  
**文件代號：** `WSFC-R02-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-00-v0.1`；`WSFC-R01-v0.1`  
**狀態：** `LITERATURE RECOVERY / NUMERICAL REPRODUCTION / FREEDOM-DYNAMICS BASELINE`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

---

# 摘要

Round 01 建立 polygonal hierarchy：

$$
\Gamma_n
=
\{\text{unit polygonal arcs with at most }n\text{ segments}}\}
$$

並得到 generic quotient dimension：

$$
d_n=2n-2,
$$

因此：

$$
d_{n+1}-d_n=2.
$$

Round 02 的原定目標是直接計算 $n=4,5,6,8$。文獻重查後發現，一個重要細節必須先修正：Panraksa、Wetzel、Wichiramala 在 2007 年的 *The broadest three-segment unit arc* 不只證明 $n=3$，還在結尾明確列出 $n>3$ 的七項 conjectures，並提供 $n=4,5,6$ 的 computer-generated vertex coordinates、breadths 與 endpoint distances。

其公開四位數候選為：

$$
t_4\approx0.4382,
\qquad
t_5\approx0.4384,
\qquad
t_6\approx0.4387.
$$

本輪使用該表格座標作為 seed，重新建立最小寬度計算器，並對 scale-invariant breadth / chain-length ratio 進行多起點 Nelder–Mead 局部優化。

得到 research-level numerical candidates：

$$
\boxed{
t_4^{\rm cand}
\approx
0.438207692919662,
}
$$

$$
\boxed{
t_5^{\rm cand}
\approx
0.438438009670890,
}
$$

$$
\boxed{
t_6^{\rm cand}
\approx
0.438694694629164.
}
$$

這些結果與 2007 年四位小數資料一致，但仍不構成 global optimality proof。

同時，利用 Zalgaller / Schaer broadworm 的解析常數：

$$
\beta
=
\left[
2\left(
\frac{\pi}{2}
-\varphi
-2\psi
+\tan\varphi
+\tan\psi
\right)
\right]^{-1},
$$

其中：

$$
\varphi
=
\arcsin
\left(
\frac16
+
\frac43
\sin
\left(
\frac13\arcsin\frac{17}{64}
\right)
\right),
$$

$$
\psi
=
\arctan
\left(
\frac12\sec\varphi
\right),
$$

得到：

$$
\boxed{
\beta
\approx
0.438925369259466.
}
$$

因此候選殘差：

$$
r_n^{(b)}
=
\beta-t_n^{\rm cand}
$$

從 $n=4$ 到 $6$ 已降到約：

$$
7.18\times10^{-4},
\quad
4.87\times10^{-4},
\quad
2.31\times10^{-4}.
$$

本輪最重要的 WSFC 結論是：

$$
\boxed{
\text{Freedom Birth Rate}
\neq
\text{Theorem-Residual Contraction Rate}.
}
$$

polygonal hierarchy 每次固定出生兩個 generic freedoms，但 breadth residual 的下降量高度不均勻。

Round 02 也對 $n=8$ 做了「從 $n=6$ extremizer 細分再局部優化」的最低成本壓測；結果沒有可靠啟動新的有效 freedom，因此只保存為 Async Note，不宣稱 $t_8$ 數值。

---

# 1. Round 01 的狀態修正

Round 01 將：

```text
n>=4 breadth
```

簡寫為 `OPEN`。

這在「exact optimum proof」層面沒有錯，但文獻資訊不完整。

更精確的狀態是：

```text
n>=4 exact broadest-arc proof        OPEN
n>=4 uniqueness proof                OPEN
n>=4 full structure theorem          OPEN
n=4,5,6 numerical candidates         AVAILABLE SINCE 2007
```

因此本輪不覆寫 Round 01，而以 append-only correction 記錄。

---

# 2. 2007 年其實已經提出完整序列 conjecture

原論文對 $n>3$ 提出七個猜想：

1. $\Gamma_n$ 在 rigid motions 下唯一；
2. $\Gamma_n$ 為 convex；
3. $\Gamma_n$ 是 drape；
4. 偶數 $n$ 具有 bilateral symmetry，而奇數 $n>3$ 無 symmetry；
5. $t_n$ strictly increases to broadworm breadth；
6. extremizer endpoint distance strictly decreases to broadworm endpoint distance；
7. arclength-parametrized $\Gamma_n$ uniformly converges to broadworm。

這與 WSFC 幾乎天然同構。

Round 01 提出的：

$$
\Gamma_n
\rightarrow
\Gamma_\infty
$$

在 2007 文獻中已經以 extremizer sequence conjecture 的形式出現。

WSFC 新增的不是「首次想到 $n\to\infty$」，而是把它拆成：

- freedom birth；
- effective freedom；
- residual contraction；
- task quotient；
- certificate；
- active refinement；
- limit closure gate。

---

# 3. Broadworm 的 exact numerical anchor

近期文獻重新給出 Zalgaller broadworm escape length：

$$
\ell_0
=
2\left(
\frac{\pi}{2}
-\varphi
-2\psi
+\tan\varphi
+\tan\psi
\right).
$$

本輪計算：

$$
\ell_0
\approx
2.278291641440437.
$$

所以 unit-length broadworm breadth：

$$
\boxed{
\beta
=
\ell_0^{-1}
\approx
0.438925369259466.
}
$$

此值比 Round 01 使用的：

$$
0.43893
$$

更適合作為 residual anchor。

---

# 4. $n=2$ 與 $n=3$ anchor

$$
t_2
=
\frac{\sqrt3}4
\approx
0.433012701892219.
$$

$n=3$ 使用已知公式：

$$
t_3
=
\max_{\theta\in[\pi/3,\pi/2]}
\frac{
\sin\theta+\sin2\theta
}{
2\cos\theta+3
}.
$$

本輪重算：

$$
\boxed{
\theta_3^\star
\approx
63.831641742942^\circ
}
$$

與：

$$
\boxed{
t_3
\approx
0.435112923275303.
}
$$

---

# 5. 數值再現方法

對 $n$ 段 open polygonal chain：

$$
P_0,P_1,\ldots,P_n,
$$

固定：

$$
P_0=(0,0),
\qquad
P_n=(1,0)
$$

只作 gauge / scale normalization。

對所有 vertices 求 convex hull。

polygonal trace 的 breadth 等於其 convex hull 的 minimum width。

對 convex polygon，minimum width 必在某條 hull edge 的 normal direction 上取得，因此逐 edge 計算 projection range：

$$
w_e
=
\max_i\langle P_i,n_e\rangle
-
\min_i\langle P_i,n_e\rangle.
$$

取：

$$
w
=
\min_e w_e.
$$

由於 endpoint scale 被固定，objective 使用 scale-invariant：

$$
\boxed{
J
=
\frac{w}{L}
}
$$

其中：

$$
L
=
\sum_{i=0}^{n-1}
\|P_{i+1}-P_i\|.
$$

最後將 chain rescale 至：

$$
L=1.
$$

2007 表格座標只提供四位小數，因此本輪以其為初值，再作多起點局部 refine。

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# 6. $n=4$ 再現

2007：

$$
t_4\approx0.4382.
$$

本輪最佳局部候選：

$$
\boxed{
t_4^{\rm cand}
\approx
0.438207692919662.
}
$$

與 broadworm gap：

$$
\boxed{
\beta-t_4^{\rm cand}
\approx
7.176763398041297e-04.
}
$$

multi-start summary：

```text
best   = 0.438207692919662
median = 0.438201174878379
worst  = 0.438161642907312
```

候選在 numerical tolerance 下幾乎 bilateral symmetric。

這與 2007 even-$n$ symmetry conjecture 一致，但不是 proof。

---

# 7. $n=5$ 再現

2007：

$$
t_5\approx0.4384.
$$

本輪：

$$
\boxed{
t_5^{\rm cand}
\approx
0.438438009670890.
}
$$

gap：

$$
\boxed{
\beta-t_5^{\rm cand}
\approx
4.873595885760418e-04.
}
$$

此 candidate 明顯不具有 bilateral symmetry。

這與 2007 奇數 $n>3$ 無 symmetry conjecture 一致，但同樣不是 proof。

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# 8. $n=6$ 再現

2007：

$$
t_6\approx0.4387.
$$

本輪：

$$
\boxed{
t_6^{\rm cand}
\approx
0.438694694629164.
}
$$

gap：

$$
\boxed{
\beta-t_6^{\rm cand}
\approx
2.306746303028517e-04.
}
$$

候選再次回到近 bilateral symmetry。

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# 9. Equal-Support Flattening 訊號

對 $n=4$ 與 $n=6$ 的 refined candidates，convex hull 各 edge normal directions 對應的 widths 幾乎被 optimizer 拉平。

也就是：

$$
w_1
\approx
w_2
\approx
\cdots
\approx
t_n^{\rm cand}.
$$

這是一個很重要的 extremal geometry 訊號。

它暗示 broadest polygonal arc 可能可被重新表達成：

$$
\boxed{
\text{support-width equalization problem}
}
$$

而不必只用 raw vertex search。

這可能是未來 $n\ge7$ 降維的入口。

---

# 10. Freedom Birth Rate

仍有：

$$
d_n=2n-2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\beta_n^{\rm freedom}
=
d_{n+1}-d_n
=
2.
}
$$

這條序列極度規律。

但 breadth gain：

$$
\Delta t_n
=
t_{n+1}-t_n
$$

不是常數，也沒有簡單單調模式。

例如本輪 candidate sequence：

$$
t_3
\rightarrow
t_4^{\rm cand}
\rightarrow
t_5^{\rm cand}
\rightarrow
t_6^{\rm cand}.
$$

其每兩個新增 generic freedoms 所取得的 breadth improvement 明顯不同。

所以：

$$
\boxed{
\text{representation freedom dynamics}
\neq
\text{task progress dynamics}.
}
$$

---

# 11. Broadworm Residual

定義：

$$
r_n^{(b)}
=
\beta-t_n.
$$

對 candidate sequence：

$$
r_4^{(b)}
\approx
7.176763398041297e-04,
$$

$$
r_5^{(b)}
\approx
4.873595885760418e-04,
$$

$$
r_6^{(b)}
\approx
2.306746303028517e-04.
$$

這條序列開始可以作為 WSFC 第一個真正的：

$$
\boxed{
\text{task residual sequence}.
}
$$

它不是完整 worm-cover residual。

它只是 breadth task 的 scalar proxy。

---

# 12. Freedom-to-Residual Transfer

定義：

$$
\eta_n^{(b)}
=
\frac{
r_n^{(b)}-r_{n+1}^{(b)}
}{
2
}.
$$

分母 $2$ 正是每輪新增 generic freedom 數。

這使我們第一次能把：

$$
\boxed{
\text{自由度出生}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{theorem-sensitive residual 收縮}
}
$$

放在同一條數據序列中。

目前資料仍太少，不能擬合 asymptotic law。

---

# 13. 2007 conjecture 5 與 Round 01 的關係

2007 已猜測：

$$
t_n
\uparrow
\beta.
$$

Round 01 由 polygonal approximation / approximate cover modulus 得到一條 elementary route 支持：

$$
0
\le
\beta-t_n
\le
\frac1{n-1}.
$$

因此至少在 breadth scalar 上，WSFC 已有：

$$
\boxed{
\text{finite freedom}
\rightarrow
\text{explicit residual envelope}
\rightarrow
\text{continuum limit}.
}
$$

Round 02 的角色則是開始填入真實低階 dynamics。

---

# 14. 為什麼 $n=8$ 不能直接用「細分 $n=6$」？

最廉價策略：

$$
\Gamma_6^\star
\rightarrow
\text{subdivide}
\rightarrow
\Gamma_8^{\rm seed}
\rightarrow
\text{local optimize}.
$$

理論上：

$$
t_8\ge t_6.
$$

但在實際 optimizer 中，新增的 collinear subdivision freedom 很容易保持：

$$
\text{task-null}.
$$

也就是新參數存在，卻沒有真正離開舊 extremizer basin。

本輪局部壓測沒有取得可被視為可靠 $t_8$ candidate 的結果。

所以 $n=8$ 被移到：

```text
ASYNC / GLOBAL SEARCH NEEDED
```

而不是把一個局部 basin 數字硬寫成 $t_8$。

---

# 15. 這正好驗證 WSFC 的一個核心區分

$$
\boxed{
\text{freedom available}
\neq
\text{freedom activated}.
}
$$

更完整地說：

$$
d_n^{\rm rep}
\uparrow
$$

不代表：

$$
d_n^{\rm eff}(Q)
\uparrow.
$$

因此 sequence computation 必須開始保存：

- freedom birth；
- activation status；
- local sensitivity；
- residual reduction；
- basin identity。

---

# 16. 下一個更好的 $n\ge7$ 方法

近期 Deng（2026）把 unit-strip broadworm dual 問題重寫為 width-constrained shortest-path functional，並指出其有限差分離散化可寫成 convex optimization。

這提示 WSFC 下一步不必只靠 raw vertex Nelder–Mead。

可考慮：

$$
\boxed{
\text{maximize breadth at fixed length}
}
$$

的 dual：

$$
\boxed{
\text{minimize length at fixed width}.
}
$$

若 fixed-width formulation 能轉成較 convex 的 support constraints，則：

$$
n=7,8,16,\ldots
$$

可能比直接非平滑 minimum-width maximization更容易。

---

# 17. Support-Space Freedom

Round 02 因此新增另一個可能的 freedom hierarchy：

原本：

$$
\boxed{
\text{vertex-space freedom}.
}
$$

接下來可比較：

$$
\boxed{
\text{support-space freedom}.
}
$$

也就是不直接讓 vertices 任意移動，而讓 active support directions、support distances 與 path order 演化。

如果 broadest candidate 的所有 critical widths趨向 equalized，support-space 可能是更接近 theorem-relevant quotient 的 representation。

---

# 18. Round 02 Closure Ledger

```text
LITERATURE n4-n6 CANDIDATES        RECOVERED
BROADWORM EXACT ANCHOR             RECOVERED
n2                                 EXACT
n3                                 ANALYTIC FORMULA / REPRODUCED
n4                                 NUMERICAL REPRODUCED
n5                                 NUMERICAL REPRODUCED
n6                                 NUMERICAL REPRODUCED
EVEN-STAGE SYMMETRY SIGNAL         OBSERVED
ODD-STAGE ASYMMETRY SIGNAL         OBSERVED
SUPPORT-WIDTH EQUALIZATION         OBSERVED
FREEDOM BIRTH RATE                 EXACT GENERIC FORMULA
TASK RESIDUAL SEQUENCE             INITIALIZED
n8 GLOBAL CANDIDATE                OPEN
n4-n6 GLOBAL OPTIMALITY            OPEN
INTERVAL CERTIFICATE               OPEN
SUPPORT-SPACE FORMULATION          NEXT
```

---

# 19. 下一輪

Round 03 建議不直接把 $n$ 再往上暴力堆。

先做：

## A. Support-Space Reparameterization

從：

$$
P_0,\ldots,P_n
$$

轉成：

$$
(\theta_i,h_i,\text{contact order}).
$$

## B. Equal-Width Constraint Extraction

研究候選 extremizer 是否滿足：

$$
w_i=t_n
$$

對所有 active hull edges。

## C. Even-$n$ Symmetry Reduction

對：

$$
n=4,6,8
$$

先在 bilateral-symmetric subspace 求解，再用 full-space red team。

## D. Odd-$n$ Symmetry-Breaking Coordinate

對：

$$
n=5,7
$$

找最小 asymmetry variable。

## E. Dual Fixed-Width Formulation

固定：

$$
b=1
$$

最小化 chain length：

$$
L_n^\star.
$$

再用：

$$
t_n
=
\frac1{L_n^\star}.
$$

若此 dual 更穩定，將作為 $n\ge7$ 主 runtime。

---

# 20. 結論

Round 02 的真正成果不是多算三個小數。

而是第一次把 WSFC 的三條序列同時放到桌面上：

$$
\boxed{
d_n
}
$$

表示 state-space freedom growth；

$$
\boxed{
t_n
}
$$

表示 breadth task output；

$$
\boxed{
r_n^{(b)}=\beta-t_n
}
$$

表示 theorem-sensitive residual。

現在我們已經看到：

$$
d_n
$$

規律地線性增加，

但：

$$
r_n^{(b)}
$$

以高度非均勻方式縮小。

這就是：

$$
\boxed{
\textbf{Sequence Freedom Dynamics}.
}
$$

接下來真正要研究的已經不是：

> 再多給兩個自由度會不會更好？

而是：

> 哪兩個自由度真的被激活？它們透過哪些 support events 消掉多少 residual？何時新增自由度只是在舊 basin 內重新參數化？

這讓蟲問題開始從「高維幾何搜尋」變成：

$$
\boxed{
\text{自由度出生}
\rightarrow
\text{自由度激活}
\rightarrow
\text{support event}
\rightarrow
\text{residual contraction}
\rightarrow
\text{limit closure}.
}
$$

---

# References

1. Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *The broadest three-segment unit arc*, Periodica Mathematica Hungarica 55(2), 157–168 (2007). DOI: 10.1007/s10998-007-4157-9.
2. Chatchawan Panraksa, John E. Wetzel, Wacharin Wichiramala, *Covering n-Segment Unit Arcs Is Not Sufficient*, Discrete & Computational Geometry 37(2), 297–299 (2007). DOI: 10.1007/s00454-006-1258-7.
3. Zhipeng Deng, *Revisit escape path for infinite unit strip forest and unit broadworm*, arXiv:2607.18563 (2026).
4. Ethan Keller, *Improved bounds for universal convex covers of unit arcs*, arXiv:2609.21968 (2026).

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `WSFC-R02-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本輪數值分級：

```text
EXACT
ANALYTIC-FORMULA
LITERATURE-NUMERICAL
RESEARCH-NUMERICAL-CANDIDATE
ASYNC-LOCAL-STRESS
CERTIFIED
FORMAL
```

$n=4,5,6$ 的 refined breadths 僅屬：

```text
RESEARCH-NUMERICAL-CANDIDATE
```

不得當成已證 $t_n$。

$n=8$ local result 只屬：

```text
ASYNC-LOCAL-STRESS
```

不得當成 $t_8$ estimate。

===END===