# WSFC Round 01
## Polygonal $\omega$-Hierarchy、有限階不充分性與 Broadworm Breadth Sequence Closure

**English Title:** *Polygonal Omega-Hierarchy, Finite-Stage Insufficiency, and Broadworm Breadth Sequence Closure*  
**文件代號：** `WSFC-R01-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / OpenAI GPT-5.6 Sol  
**系列：** Worm Sequence Freedom Closure  
**前置：** `WSFC-00-v0.1`  
**狀態：** `FIRST CONCRETE HIERARCHY / OMEGA-STAGE CLOSURE / BREADTH-PROBE BASELINE`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown

---

# 摘要

WSFC-00 將蟲問題重構為有限自由度可能性空間：

$$
\Gamma_0
\subseteq
\Gamma_1
\subseteq
\cdots
$$

的演化與極限閉包問題。

本輪不再停留在抽象層，而採用蟲問題文獻中最自然的一個實際 hierarchy：

$$
\boxed{
\Gamma_n
=
\{\text{總長度為 }1\text{、至多 }n\text{ 段的平面 polygonal arcs}\}.
}
$$

此 hierarchy 具有四個重要性質。

第一，模掉平移與全域旋轉後，一般 $n$ 段 chain 可以由：

$$
(\ell_1,\ldots,\ell_n),
\qquad
\sum_{i=1}^{n}\ell_i=1,
$$

與：

$$
(\delta_1,\ldots,\delta_{n-1})
$$

描述，因此 generic freedom dimension 為：

$$
\boxed{
d_n
=
(n-1)+(n-1)
=
2n-2.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
d_{n+1}-d_n=2.
}
$$

每增加一段，generic 意義下正好出生兩個新的自由度：一個 length-allocation freedom 與一個 relative-turn freedom。

第二，Panraksa、Wetzel、Wichiramala 於 2007 年證明：對每個固定有限 $n$，都存在一個 compact convex region $R_n$，它能容納所有 $n$ 段 unit polygonal arcs，卻不能容納所有 unit arcs。故：

$$
\boxed{
\forall n<\infty,
\qquad
Q_n
\not\Rightarrow
Q_\infty.
}
$$

也就是沒有任何固定有限自由度階可直接取代完整蟲問題。

第三，Wetzel 與 Wichiramala 的 covering theorem 則證明：compact set 若能容納每一條 simple polygonal unit arc，即能容納所有 unit arcs。因此，把所有有限 polygonal 階一起考慮後：

$$
\boxed{
\left(
\forall n,\;
Q_n(C)
\right)
\Longrightarrow
Q_\infty(C).
}
$$

結合反向的平凡包含關係，得到：

$$
\boxed{
Q_\infty(C)
\iff
\forall n\,Q_n(C)
}
$$

對 compact covers 成立，而同時：

$$
\boxed{
\forall N<\infty,\;
\exists C_N:
Q_N(C_N)
\land
\neg Q_\infty(C_N).
}
$$

這是 WSFC 第一個真正的 **$\omega$-stage task sufficiency without finite stabilization**。

第四，本輪使用 broadness / minimum width 作為第一個 scalar probe。令：

$$
t_n
=
\sup_{\gamma\in\Gamma_n}
b(\gamma),
$$

而 broadworm 的最大 breadth 記為：

$$
b_\star
\approx
0.43893.
$$

既有文獻給出：

$$
t_n
\le
t_{n+1}
<
b_\star
$$

對所有有限 $n$ 成立，並且：

$$
t_2
=
\frac{\sqrt3}{4}
\approx
0.433012701892,
$$

$$
t_3
\approx
0.435112923275.
$$

本文進一步由 polygonal approximation / compact-cover closure 推得：

$$
\boxed{
t_n
\uparrow
b_\star.
}
$$

因此 broadworm breadth 提供一個非常乾淨的序列自由度樣板：

$$
\boxed{
\forall n<\infty,\;t_n<b_\star,
\qquad
\lim_{n\to\infty}t_n=b_\star.
}
$$

也就是：

> 每一個有限自由度狀態都嚴格不到達最終極值，但可能性空間的序列極限到達。

本輪另提出一個 elementary quantitative approximation construction，得到粗糙但顯式的：

$$
\boxed{
0
\le
b_\star-t_n
\le
\frac{1}{n-1},
\qquad
n\ge2.
}
$$

此 bound 並不追求數值競爭力；其意義在於第一次給 WSFC 一個具體的 sequence-closure modulus prototype。

---

# 1. 本輪的問題

WSFC-00 問：

$$
\Gamma_n
\rightarrow
\Gamma_{n+1}
$$

究竟是在展開什麼？

本輪選擇最簡潔、最接近原蟲問題定義的答案：

$$
\boxed{
\text{segment-count hierarchy}.
}
$$

不是先選 Fourier mode，也不是先選 spline knots。

而是直接問：

> 如果每次允許 unit worm 多一條線段，可能性空間如何增加？

---

# 2. Canonical Polygonal Hierarchy

定義：

$$
\Gamma_n
=
\{
\gamma:
\gamma
\text{ 是總長度 }1\text{ 的 polygonal arc，且 segment count}\le n
\}.
$$

則：

$$
\boxed{
\Gamma_n
\subseteq
\Gamma_{n+1}.
}
$$

因為任何 $m<n$ 段的 polygonal arc 都可將其中某些 segment 作 collinear subdivision，使其成為 $n$ 段表示，而不改變 trace。

---

# 3. Generic 自由度計數

一條有序 $n$ 段 polygonal chain 可由 segment lengths：

$$
\ell_i>0,
\qquad
\sum_{i=1}^{n}\ell_i=1
$$

描述。

因此 length vector 位於：

$$
\Delta_{n-1}^{\circ}
$$

並具有：

$$
n-1
$$

個自由度。

方向方面，有 $n$ 個 absolute segment angles。

模掉 global rotation 後，只剩：

$$
n-1
$$

個 relative directional freedoms。

平移也已由固定第一個 vertex 消除。

因此 generic quotient dimension：

$$
\boxed{
d_n
=
2n-2.
}
$$

---

# 4. 每一次自由度展開到底新增什麼？

由：

$$
d_n=2n-2
$$

得：

$$
\boxed{
d_{n+1}-d_n=2.
}
$$

所以每一次：

$$
n
\rightarrow
n+1
$$

generic 地增加：

1. 一個新的 length-allocation coordinate；
2. 一個新的 relative-turn coordinate。

可以把這兩個 freedom 寫成：

$$
(\lambda,\beta).
$$

其中：

$$
\lambda
$$

控制新 segment 取得的 length share，

而：

$$
\beta
$$

控制新 segment 相對前一 segment 的方向／轉角。

因此最小 freedom-birth unit 是：

$$
\boxed{
\Delta d=2.
}
$$

---

# 5. 這不是說每次都真的新增兩個 theorem-effective freedom

上述只是 generic representation / geometry dimension。

仍需區分：

$$
d_n^{\rm rep},
\qquad
d_n^{\rm geo},
\qquad
d_n^{\rm eff}(Q).
$$

可能：

$$
d_{n+1}^{\rm rep}
=
d_n^{\rm rep}+2
$$

但：

$$
d_{n+1}^{\rm eff}(Q)
=
d_n^{\rm eff}(Q).
$$

也就是新增 segment 只增加冗餘幾何，不改變指定 theorem task。

因此：

$$
\boxed{
\Delta d=2
}
$$

只是 freedom generation rule，不是 theorem novelty guarantee。

---

# 6. 第一個外部硬結果：任何固定有限 $n$ 都不夠

Panraksa、Wetzel、Wichiramala（2007）考慮：

$$
F_n
=
\{\text{$n$-segment unit arcs}\}.
$$

他們證明：

> 對每一個正整數 $n$，存在 compact convex region $R_n$，它包含每一條 $n$-segment unit arc 的 congruent copy，但仍漏掉某一條 unit arc。

其構造使用 broadworm 的 breadth。

令：

$$
t_n
=
\sup
\{
b(\gamma):
\gamma\in F_n
\}.
$$

則：

$$
t_n
<
b_\star
$$

對所有有限 $n$。

因此：

$$
R_n
=
[0,1]\times[0,t_n]
$$

型的矩形可以容納所有 $n$ 段 unit arcs，但 broadworm 因：

$$
b_\star>t_n
$$

無法放入。

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# 7. WSFC 解讀：Non-Finite Sufficiency Theorem

把：

$$
Q_n(C)
$$

定義為：

> $C$ 能 cover $\Gamma_n$。

把：

$$
Q_\infty(C)
$$

定義為：

> $C$ 能 cover 所有 unit arcs。

2007 結果給出：

$$
\boxed{
\forall n<\infty,
\quad
\exists R_n:
Q_n(R_n)
\land
\neg Q_\infty(R_n).
}
$$

因此不存在固定：

$$
N<\infty
$$

使：

$$
\boxed{
\forall C,\;
Q_N(C)
\Rightarrow
Q_\infty(C).
}
$$

這直接排除：

$$
\boxed{
\text{finite-stage exact collapse}.
}
$$

---

# 8. 第二個外部硬結果：所有有限 polygonal 階合起來卻足夠

Wetzel 與 Wichiramala（2010）證明：

> compact set 若包含每一條 simple polygonal unit arc 的 congruent copy，則它包含每一條 unit arc 的 congruent copy。

因此，只要：

$$
Q_n(C)
$$

對所有有限 $n$ 成立，

$C$ 當然 cover 每一條 finite simple polygonal unit arc，

故：

$$
Q_\infty(C)
$$

成立。

反向：

$$
Q_\infty(C)
\Rightarrow
Q_n(C)
$$

是平凡的。

所以：

$$
\boxed{
Q_\infty(C)
\iff
\forall n\,Q_n(C).
}
$$

---

# 9. 第一個核心結論：$\omega$-Stage Task Sufficiency

我們得到：

$$
\boxed{
Q_\infty(C)
\iff
\bigwedge_{n<\omega}
Q_n(C),
}
$$

但：

$$
\boxed{
\forall N<\omega,
\qquad
Q_N
\not\equiv
Q_\infty.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{task sufficiency first appears at the }\omega\text{-stage}.
}
$$

這不是哲學比喻。

它是蟲問題已知定理組合下的真實結構。

---

# 10. 與 SDRPC Quantifier Descent 的直接關係

原問題：

$$
\forall\gamma\in\Gamma,
\qquad
\exists g\in G:
g\gamma\subseteq C.
$$

現在可以重寫成：

$$
\boxed{
\forall n\in\mathbb N,
\quad
\forall\gamma\in\Gamma_n,
\quad
\exists g\in G:
g\gamma\subseteq C.
}
$$

這還沒有把無限量詞全部有限化。

但它把：

$$
\text{function-space universal quantifier}
$$

下沉為：

$$
\boxed{
\text{countable sequence of finite-dimensional universal tasks}.
}
$$

因此本輪得到的是：

$$
\boxed{
\text{Quantifier Stratification}
}
$$

而不是完成的 finite quantifier elimination。

---

# 11. 顯式近似模數：從 unit arc 到 $n$ 段 polygonal worm

現在給一個 elementary construction。

令：

$$
\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb R^2
$$

以 arclength 參數化。

選：

$$
m=n-1.
$$

把：

$$
[0,1]
$$

等分成 $m$ 個子區間。

取 vertices：

$$
v_i
=
\gamma(i/m),
\qquad
i=0,\ldots,m.
$$

用直線連接相鄰 vertices，得到 polygonal path：

$$
\pi_m.
$$

---

# 12. 一側 trace approximation

任意：

$$
t\in[i/m,(i+1)/m]
$$

到較近端點的 arclength 距離至多：

$$
\frac{1}{2m}.
$$

Euclidean distance 不超過 arclength distance。

因此：

$$
\boxed{
\gamma
\subseteq
U_{\varepsilon_m}(\pi_m),
\qquad
\varepsilon_m
=
\frac{1}{2m}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\varepsilon_n
=
\frac{1}{2(n-1)}.
}
$$

---

# 13. 把 polygonal approximation 補成 unit length

$\pi_m$ 的 polygonal length：

$$
L_m
\le1.
$$

若：

$$
L_m<1,
$$

從 terminal vertex 再加一個長度：

$$
1-L_m
$$

的 segment。

得到 unit polygonal path：

$$
\eta_n
$$

其 segment count 至多：

$$
m+1=n.
$$

且：

$$
\pi_m
\subseteq
\eta_n.
$$

所以：

$$
\boxed{
\gamma
\subseteq
U_{\varepsilon_n}(\eta_n).
}
$$

這裡不要求 $\eta_n$ simple。

---

# 14. Approximate Cover Modulus

若 compact region $C$ cover 所有：

$$
\Gamma_n,
$$

則存在 congruent placement：

$$
g\eta_n
\subseteq C.
$$

由前節：

$$
g\gamma
\subseteq
U_{\varepsilon_n}(C).
$$

所以：

$$
\boxed{
Q_n(C)
\Rightarrow
Q_\infty^{(\varepsilon_n)}(C),
\qquad
\varepsilon_n
=
\frac{1}{2(n-1)}.
}
$$

其中：

$$
Q_\infty^{(\varepsilon)}(C)
$$

表示：

> 每一條 unit arc 都可被放入 $C$ 的 $\varepsilon$-neighborhood。

這是 WSFC 第一個顯式 sequence modulus。

---

# 15. 為什麼這不與「任何有限 $n$ 都不夠」矛盾？

因為：

$$
\varepsilon_n>0
$$

對任何有限 $n$。

所以有限階只得到：

$$
\text{approximate universality}.
$$

只有：

$$
n\rightarrow\infty
$$

時：

$$
\varepsilon_n\rightarrow0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{finite exact insufficiency}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{finite approximate sufficiency}
}
$$

完全可以同時成立。

---

# 16. 由 compactness 完成極限

若固定 compact $C$ 滿足：

$$
Q_n(C)
$$

對所有 $n$，

則對任意 unit arc $\gamma$，存在：

$$
g_n\gamma
\subseteq
U_{\varepsilon_n}(C),
$$

且：

$$
\varepsilon_n\rightarrow0.
$$

因為 rotation group compact，而 translations 被 $C$ 的 bounded neighborhood 限制，

可取一個 congruence subsequence：

$$
g_{n_k}
\rightarrow
g_\star.
$$

極限得到：

$$
g_\star\gamma
\subseteq C.
$$

所以：

$$
Q_\infty(C)
$$

成立。

這提供另一個 WSFC-style proof skeleton：

$$
\boxed{
\text{finite-stage exact cover}
\rightarrow
\text{global approximate cover}
\rightarrow
\varepsilon_n\to0
\rightarrow
\text{compactness}
\rightarrow
\text{exact global cover}.
}
$$

---

# 17. Breadth Probe

對 compact set $K$ 定義 breadth：

$$
b(K)
=
\min_{u\in S^1}
\left(
h_K(u)+h_K(-u)
\right).
$$

對 arc $\gamma$：

$$
b(\gamma)
=
b(\operatorname{conv}\gamma).
$$

令：

$$
t_n
=
\sup_{\gamma\in\Gamma_n}
b(\gamma).
$$

文獻中 broadworm 給：

$$
\boxed{
b_\star
\approx
0.43893.
}
$$

並且：

$$
\boxed{
t_n
\le
t_{n+1}
<
b_\star.
}
$$

---

# 18. 已知低階 anchor

對：

$$
n=2,
$$

有：

$$
\boxed{
t_2
=
\frac{\sqrt3}{4}
=
0.433012701892\ldots
}
$$

最優形狀是邊長：

$$
\frac12
$$

的 equilateral triangle 的兩邊。

---

對：

$$
n=3,
$$

文獻證：

$$
t_3
=
\max_{\theta\in[\pi/3,\pi/2]}
\frac{
\sin\theta+\sin2\theta
}{
2\cos\theta+3
}.
$$

本輪重新數值計算得到：

$$
\boxed{
\theta_3^\star
\approx
63.8316417429^\circ
}
$$

以及：

$$
\boxed{
t_3
\approx
0.435112923275303.
}
$$

與文獻約：

$$
0.43511
$$

一致。

---

# 19. 低階自由度數據

用：

$$
b_\star\approx0.43893
$$

作公開文獻近似錨點：

$$
b_\star-t_2
\approx
0.005917298108,
$$

$$
b_\star-t_3
\approx
0.003817076725.
$$

因此從 $n=2$ 到 $n=3$：

$$
\frac{
b_\star-t_3
}{
b_\star-t_2
}
\approx
0.64507.
$$

也就是對這個 probe 而言，第一個新增的 generic 兩自由度已把「距 broadworm breadth 的殘差」縮小約：

$$
35.49\%.
$$

此百分比只是使用：

$$
b_\star\approx0.43893
$$

所得的低階 descriptive figure，不是 asymptotic law。

---

# 20. Derived Proposition：$t_n$ 必須收斂到 broadworm breadth

文獻已知：

$$
t_n
\le
t_{n+1}
<
b_\star.
$$

所以：

$$
t_n
$$

有極限：

$$
L\le b_\star.
$$

現在使用前述 approximate cover modulus。

2007 年構造的 rectangle：

$$
R_n
=
[0,1]\times[0,t_n]
$$

cover 每一條 $\Gamma_n$ 中的 polygonal unit arc。

因此 broadworm：

$$
\gamma_\star
$$

可以在：

$$
U_{\varepsilon_n}(R_n)
$$

中被 approximate-cover。

而：

$$
U_{\varepsilon_n}(R_n)
$$

在窄方向的 width 不超過：

$$
t_n+2\varepsilon_n.
$$

broadworm 的 breadth 為：

$$
b_\star.
$$

故：

$$
b_\star
\le
t_n
+
2\varepsilon_n.
$$

代入：

$$
\varepsilon_n
=
\frac{1}{2(n-1)}
$$

得到：

$$
\boxed{
0
\le
b_\star-t_n
\le
\frac{1}{n-1}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\lim_{n\to\infty}t_n
=
b_\star.
}
$$

---

# 21. 這是一個真正的「有限永不到、極限才到」

所以：

$$
\boxed{
\forall n<\infty,
\quad
t_n<b_\star,
}
$$

但：

$$
\boxed{
\sup_{n<\infty}t_n
=
b_\star.
}
$$

這是 WSFC 最理想的第一個實例：

$$
\boxed{
\text{finite freedom state}
<
\text{limit state}
}
$$

在每一階成立，

但整個 sequence：

$$
\boxed{
\text{recovers the continuum extremum}.
}
$$

---

# 22. Broadworm Rectangle Ladder

定義：

$$
R_n
=
[0,1]\times[0,t_n].
$$

則：

$$
R_n
\subseteq
R_{n+1}.
$$

每個有限 $R_n$：

$$
Q_n(R_n)
=
\mathrm{true},
$$

但：

$$
Q_\infty(R_n)
=
\mathrm{false}.
$$

而：

$$
R_n
\rightarrow
R_\infty
=
[0,1]\times[0,b_\star].
$$

極限 rectangle 具有足夠 breadth 與 unit-length diameter envelope，因而形成一個所有 unit arcs 的粗 universal rectangle cover。

所以這裡不只：

$$
\Gamma_n
\rightarrow
\Gamma_\infty.
$$

連 cover objects 也可以形成：

$$
\boxed{
R_n
\rightarrow
R_\infty.
}
$$

---

# 23. 這個 sequence 不追求最佳面積

必須明確：

$$
\operatorname{Area}(R_\infty)
=
b_\star
\approx0.43893.
$$

它遠大於目前最佳 convex-cover bounds。

截至 2026-09-18 的新 preprint 宣稱並形式化驗證：

$$
0.239
\le
\alpha_{\rm convex}
\le
0.24633\ldots
$$

因此 Broadworm Rectangle Ladder 不是一條 area-optimal attack。

它的價值是：

$$
\boxed{
\text{sequence-closure laboratory}.
}
$$

---

# 24. 與 2026 年新進展的關係

2026 年 Moser worm 研究已大量使用：

- finite polygonal witnesses；
- support inequalities；
- interval certificates；
- Lean formalization；
- continuum-to-polygonal reduction。

這表示 WSFC 的序列問題不是脫離現代 proof architecture 的額外抽象。

相反：

$$
\boxed{
\text{finite polygonal stage}
\rightarrow
\text{continuum guarantee}
}
$$

本來就是當前證明中的核心橋樑之一。

WSFC 的新增工作，是把這個橋樑本身當成主要研究物件，追蹤：

- freedom birth；
- residual；
- modulus；
- event birth；
- task sufficiency；
- limit closure。

---

# 25. 本輪得到的第一個 Closure Ladder

現在可以把 WSFC closure ladder 具體化：

### Level 0 — Parameterized Stage

$$
\Gamma_n
$$

有有限參數描述。

### Level 1 — Nested Freedom

$$
\Gamma_n
\subseteq
\Gamma_{n+1}.
$$

### Level 2 — No Finite Sufficiency

$$
\forall n,\;
Q_n\not\Rightarrow Q_\infty.
$$

### Level 3 — Approximate Modulus

$$
Q_n
\Rightarrow
Q_\infty^{(\varepsilon_n)},
\qquad
\varepsilon_n
=
\frac{1}{2(n-1)}.
$$

### Level 4 — Omega Sufficiency

$$
\forall n\,Q_n
\Rightarrow
Q_\infty.
$$

### Level 5 — Scalar Probe Closure

$$
t_n
\uparrow
b_\star.
$$

### Level 6 — Future Optimal-Cover Closure

尚未完成：

$$
A_n
\rightarrow
A_{\rm worm}.
$$

---

# 26. 最重要的概念差異

本輪說明：

$$
\boxed{
\text{sequence closure}
\neq
\text{finite stabilization}.
}
$$

一個問題完全可能：

$$
\forall n:
\text{stage }n\text{ insufficient},
$$

但：

$$
\boxed{
\text{the full directed sequence is sufficient}.
}
$$

這正是蟲問題 polygonal hierarchy 的情況。

---

# 27. 新術語：Omega-Stage Task Sufficiency

定義：

若：

$$
Q_\infty
\iff
\forall n\,Q_n
$$

但：

$$
\forall N,\;
Q_N\not\equiv Q_\infty,
$$

則稱該 hierarchy 對 $Q$ 具有：

$$
\boxed{
\textbf{Omega-Stage Task Sufficiency}.
}
$$

縮寫可用：

$$
\boxed{
\mathrm{OSTS}.
}
$$

蟲問題 polygonal hierarchy 是第一個 canonical example。

---

# 28. 新術語：Freedom Birth Rate

若：

$$
d_n
$$

為 generic effective parameter-space dimension，

定義：

$$
\boxed{
\beta_n
=
d_{n+1}-d_n.
}
$$

對 polygonal hierarchy：

$$
\boxed{
\beta_n=2.
}
$$

這是最基本的 freedom birth rate。

但 theorem-effective birth rate：

$$
\beta_n^Q
=
d_{n+1}^{\rm eff}(Q)
-
d_n^{\rm eff}(Q)
$$

仍未知。

後者才是下一階段真正值得算的量。

---

# 29. 新術語：Freedom-to-Residual Transfer

每輪新增：

$$
\beta_n
$$

個 freedom，

同時 residual：

$$
r_n^Q
$$

縮小。

定義研究性比值：

$$
\boxed{
\eta_n^Q
=
\frac{
r_n^Q-r_{n+1}^Q
}{
\beta_n
}.
}
$$

它衡量：

> 每新增一個自由度，平均消掉多少 theorem-relevant residual。

對本輪 breadth proxy，

若用：

$$
r_n^{(b)}
=
b_\star-t_n,
$$

則：

$$
\eta_2^{(b)}
\approx
\frac{
0.005917298108
-
0.003817076725
}{
2
}
\approx
0.00105011.
$$

目前只有低階 anchor，不能外推 asymptotic law。

---

# 30. 下一輪真正該攻什麼？

現在 $n=2,3$ 已有精確／解析結果。

而既有 2007–2008 文獻明確指出，$n>3$ 的 broadest $n$-segment arcs 當時仍高度開放。

因此 WSFC 下一個非常自然的 experimental line 是：

$$
\boxed{
t_4,t_5,t_6,\ldots
}
$$

但目的不是只刷新 breadth 數值。

真正要同時記：

$$
d_n,
\quad
t_n,
\quad
b_\star-t_n,
\quad
\text{hull event type},
\quad
\text{extremizer topology},
\quad
\text{representation sensitivity}.
$$

這會第一次真正測：

$$
\boxed{
\text{freedom birth}
\rightarrow
\text{residual contraction}.
}
$$

---

# 31. 下一輪計算設計

建議：

## Track A — Global Polygonal Search

對：

$$
n=4,5,6,8
$$

搜尋高 breadth candidates。

## Track B — Cross-Representation

至少兩種：

- segment length + turning angle；
- vertex / edge vector representation。

## Track C — Interval Replay

對最佳 candidates 做 rigorous enclosure。

## Track D — Event Ledger

記錄：

- convex-hull vertex count；
- support-edge ordering；
- near self-contact；
- angle degeneracy；
- breadth-active edges。

## Track E — Broadworm Alignment

比較 candidate 與 broadworm 的：

- endpoint distance；
- breadth；
- hull support signature；
- local turn pattern。

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# 32. Round 01 結論

本輪得到的最重要結論不是一個新的 Moser worm area bound。

而是第一次找到一個與 WSFC 幾乎完全同構的既有數學骨架：

$$
\boxed{
\Gamma_2
\subset
\Gamma_3
\subset
\Gamma_4
\subset
\cdots
\subset
\Gamma_\omega.
}
$$

對每個有限階：

$$
\boxed{
Q_n
\not\Rightarrow
Q_\infty.
}
$$

但整個序列：

$$
\boxed{
\forall n\,Q_n
\iff
Q_\infty.
}
$$

而 breadth probe 又給出：

$$
\boxed{
t_n
<
b_\star
\quad
\forall n<\infty,
}
$$

與：

$$
\boxed{
t_n
\uparrow
b_\star.
}
$$

這表示「可能性空間狀態演化序列產生的極限」在蟲問題中不是抽象語言。

它已經有一個非常具體的實例：

$$
\boxed{
\text{每個有限自由度層都嚴格不完整，
但 directed sequence 的 }\omega\text{-closure 可以恢復完整 task。}
}
$$

下一輪應直接開始：

$$
\boxed{
n\ge4
}
$$

的計算實驗與 freedom-residual curve。

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# References

1. C. Panraksa, J. E. Wetzel, W. Wichiramala, *Covering n-Segment Unit Arcs Is Not Sufficient*, Discrete & Computational Geometry 37 (2007), 297–299. DOI: 10.1007/s00454-006-1258-7.
2. J. E. Wetzel, W. Wichiramala, *A Covering Theorem for Families of Sets in R^d*, Journal of Combinatorics 1 (2010), 69–75. DOI: 10.4310/JOC.2010.v1.n1.a5.
3. C. Panraksa, J. E. Wetzel, W. Wichiramala, *The Broadest Three-Segment Unit Arc*, Periodica Mathematica Hungarica 55 (2007), 157–168. DOI: 10.1007/s10998-007-4157-9.
4. W. Wichiramala, C. Panraksa, *Wetzel's 30-60-90 Triangle Covers Unit Arcs*, arXiv:2606.14625, 2026.
5. Ethan Keller, *Improved Bounds for Universal Convex Covers of Unit Arcs*, arXiv:2609.21968, 2026-09-18. Preprint; current claim includes Lean-checked proof artifacts.

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# Canonical Source Declaration

本檔為 `WSFC-R01-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本輪明確區分：

- 外部既有 theorem；
- 本輪由既有 theorem 推出的 WSFC reformulation；
- 本輪 elementary derived modulus；
- 本輪 numerical reproduction；
- 尚未完成的 $n\ge4$ computation。

本輪不宣稱：

- Moser's worm problem 已解；
- 新的最優 area bound；
- $t_n$ 對 $n>3$ 已求出；
- broadness 足以決定 Moser worm optimal cover；
- finite-stage sufficiency；
- full formalization 已完成。

===END===