# 中心生成掛谷—Moser橋接族：第 3 輪

## ——法向單射定理、曲率外包盒、Clarke 邊界帳本與雙頻對數曲率新骨架

**版本：** v0.3  
**日期：** 2026 年 7 月 27 日  
**狀態：** 解析法向帶定理＋半驗證曲率盒＋有限族數值容器實驗

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# 1. 核心進展

本輪固定

\[
(L,\rho,\tau)=(1,0.04,\pi).
\]

得到兩個層次的進展：

1. 對正曲率、總轉向不超過 \(\pi\) 的曲線，證明局部曲率半徑下界可提升為直接法向帶的全局單射性；
2. 在更大的曲率函數空間中，找到比第 2 輪二次指數曲線更強的新骨架。

# 2. 法向單射定理

若曲率半徑 \(R(v)\ge R_0\)，兩條法線交會的有號距離滿足

\[
t+u
=
\frac1{\sin((\beta-\alpha)/2)}
\int_\alpha^\beta
R(v)\cos\left(v-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)dv
\ge2R_0.
\]

因此法向映射在 \(|t|<R_0\) 內全局單射。

# 3. 曲率外包盒

第 2 輪二次指數曲線：

\[
\max\kappa\in[24.949352913573,24.950611058937],
\qquad
1/\max\kappa\ge0.040079178728>0.04.
\]

第 3 輪曲線：

\[
\max\kappa\in[24.932622547439,24.947380985154],
\qquad
1/\max\kappa\ge0.040084367998>0.04.
\]

這些是向外風格浮點盒，不是 Arb／MPFI 形式區間證書。

# 4. Clarke 邊界帳本

第 2 輪活動曲率邊界的左、右投影割線斜率分別為

\[
2.435456746830e-04>0,
\qquad
-2.390447639833e-05<0.
\]

故投影 Clarke 盒包含零：

\[
0\in[-3.333836787190e-05,2.435456746830e-04].
\]

這把手性等高從視覺現象提升成可重播的非光滑駐點帳本。

# 5. 新曲率族

新候選定義為

\[
\kappa(s)=\frac{\pi e^{g(s)}}{\int_0^1e^{g(u)}du},
\]

其中

\[
g(s)=a_1\cos(2\pi s)+b_1\sin(2\pi s)+a_2\cos(4\pi s)+b_2\sin(4\pi s).
\]

係數為

\[
(a_1,b_1,a_2,b_2)=(2.891051951482,1.235672921127,2.084611650924,-0.561084085900).
\]

它對第 2 輪雙骨架容器的完整合同張力為

\[
\boxed{E_{\rm cong}=0.029353956446>0}.
\]

因此第 2 輪雙骨架不是對更大曲率函數空間封閉的。

# 6. 第 3 輪最終雙骨架

重新優化後，第 2 輪二次指數曲線失去全部活動支撐方向。最終容器由

\[
\boxed{\text{常曲率半圓}+\text{鏡像雙頻對數曲率曲線}}
\]

構成。

中心凸包面積

\[
0.191403634548,
\]

周長

\[
2.125827359528,
\]

厚化容器面積

\[
\boxed{A_3=0.281463277175}.
\]

活動支撐方向約為

\[
\text{常曲率}=22.1528%,
\qquad
\text{雙頻曲率}=77.8819%.
\]

# 7. 舊族全部冗餘

相對新雙骨架，最佳完整合同張力為

\[
E_{\rm qexp}=-0.001730651162,
\quad
E_{\rm Arch}=-0.005662251313,
\quad
E_{\rm sat}=-0.003456227783,
\quad
E_{\rm finite}=-0.010677110003.
\]

全部為負，因此第 2 輪二次指數曲線也被新雙骨架嚴格容納。

# 8. 兩骨架均不可省略

新曲線對單獨常曲率容器的張力：

\[
0.155222295708>0.
\]

常曲率半圓對單獨新曲線容器的張力：

\[
0.128284377678>0.
\]

所以新結果仍是互補雙骨架，不是單一曲線支配。

# 9. 面積推進

第 2 輪面積：

\[
0.269624487989.
\]

第 3 輪面積：

\[
0.281463277175.
\]

增加

\[
0.011838789186
\quad(4.3908%).
\]

與單體完整管狀面積之比為

\[
3.310299.
\]

# 10. 誠實邊界

本輪沒有證明：

1. 雙頻對數曲率族是完整函數空間最優族；
2. 四個 Fourier 係數是唯一局部極值；
3. 完整端帽管狀鄰域具有形式 reach 證書；
4. 曲率盒使用硬體級定向捨入；
5. 共同凸容器是全域最小；
6. 非凸容器不能更小；
7. 本結果構成新的掛谷或 Moser 面積界。

# 11. 下一個自然節點

第 4 輪應從有限公式族轉向真正的曲率函數空間：

1. 使用 B-spline 或 Fourier 6–10 模式；
2. 直接在 \(\int\kappa=\pi\)、\(0<\kappa<\rho^{-1}\) 下投影優化；
3. 建立活動支撐方向的伴隨梯度；
4. 判定最優曲率是否形成稀疏頻譜、邊界層或 bang-bang 極限；
5. 同時啟動非凸容器削減；
6. 將端帽 reach 轉成端點—內點區間分支。

# 12. 結論

本輪把橋接族 hard case 從特定螺旋公式推進為

\[
\boxed{\text{受幾何約束的曲率函數空間極值問題}}.
\]

新共同凸厚化容器面積為

\[
\boxed{0.281463277175}.
\]