# SECV Paper 02｜符號對角性消除：對偶、自指與不可約殘餘域

**English Title:** Symbolic Diagonal Elimination: Duality, Self-Reference, and Irreducible Residual Domains  
**Series:** Symbolic Equivalence-Constrained Variable Method  
**Paper:** 02 / 10  
**Version:** v0.1  
**Author:** Neo.K  
**AI Collaboration:** Aletheia (GPT-5.6 Sol)  
**Status:** Formal Development Draft

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## 摘要

本文發展 SECV（Symbolic Equivalence-Constrained Variable Method）中的核心子方法：符號對角性消除（Symbolic Diagonal Elimination, SDE）。其基本思想不是在一般關係矩陣中任意比較所有符號，而是將每一個符號與其經合法對偶、反射、共軛、重標記、投影或其他規則生成的自映射像放入同一比較槽，再根據既定約束與證明義務判定其可商化、可對消、可殘差化或不可約。

本文建立對偶算子族、符號軌道、對角關係矩陣、sector projector、自指迭代與 residual lifting，並將反覆對角消除定義為一個受約束的 fixed-point reduction process。核心結果不是保證所有符號最終消失，而是提取：

$$
\boxed{
\Sigma_\star
=
\operatorname{Fix}
(
\mathcal R_{\Gamma,\mathcal Q,D}
)
}
$$

亦即所有可由合法對偶與自指消除的自由度都被移除後，仍然存活的不可約符號域。

本文同時區分合法自指與循環式自證。合法自指必須由預先凍結的外部規則生成，且每次 reduction 都必須具有獨立 legality witness；不能以「符號自己說自己可消」作為消除依據。本文並提出 diagonal completeness、orbit closure、residual monotonicity 與 fixed-point stability 等後續可驗證條件，作為演算法化與形式證明實作的基礎。

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## 關鍵詞

符號對角性、對偶、自指、符號軌道、固定點、殘差化、不可約域、involution、sector decomposition、symbolic reduction。

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# 1. 從一般配對到對角配對

SECV Paper 01 已定義一般符號等價與消除。若符號集合為：

$$
\Sigma
=
\{x_1,x_2,\ldots,x_n\},
$$

最一般的比較需要研究：

$$
R_\Gamma(x_i,x_j)
$$

對所有：

$$
1\le i,j\le n.
$$

這形成關係矩陣：

$$
M_{ij}
=
R_\Gamma(x_i,x_j).
$$

若直接全比較，最壞情況需要：

$$
O(n^2)
$$

個 pairwise relation tests。

符號對角性方法改問：

$$
\boxed{
x_i
\text{ 與由同一規則生成的 }D(x_i)
\text{ 之間有什麼關係？}
}
$$

因此不先比較：

$$
x_i\leftrightarrow x_j,
$$

而先比較：

$$
\boxed{
x_i
\leftrightarrow
D(x_i).
}
$$

這就是 symbolic diagonal。

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# 2. 對偶算子族

定義合法轉換算子族：

$$
\mathcal D
=
\{
D_1,D_2,\ldots,D_m
\}.
$$

每一個：

$$
D_j:
\mathcal X_\Gamma
\rightarrow
\mathcal X_\Gamma
$$

都必須滿足 domain-preserving legality：

$$
x\in\mathcal X_\Gamma
\Rightarrow
D_j(x)\in\mathcal X_\Gamma.
$$

若某些算子只在子域上合法，則應定義：

$$
D_j:
\operatorname{Dom}(D_j)
\rightarrow
\mathcal X_\Gamma
$$

且：

$$
\operatorname{Dom}(D_j)
\subseteq
\mathcal X_\Gamma.
$$

因此，對偶不是語義上的模糊「相反」，而是一個有明確 domain、codomain 與 proof obligation 的形式轉換。

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# 3. 對偶的幾種類型

SECV 不限制 $D$ 必須是單一種類。常見類型包括：

## 3.1 Involution

$$
D^2=I.
$$

典型例子包括：

$$
x\mapsto -x,
$$

$$
s\mapsto1-s,
$$

$$
z\mapsto\bar z.
$$

但實際使用是否合法取決於當前問題域與 $\Gamma$。

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## 3.2 有限階群作用

存在某個 $k<\infty$：

$$
D^k=I.
$$

此時：

$$
x,
D(x),
D^2(x),
\ldots,
D^{k-1}(x)
$$

形成有限 orbit。

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## 3.3 非週期轉換

可能：

$$
D^n(x)
\neq
D^m(x)
$$

對所有：

$$
n\neq m.
$$

此時 orbit 可以無限延伸。

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## 3.4 多算子作用

若存在：

$$
D_1,\ldots,D_m,
$$

則可以考慮由它們生成的 semigroup：

$$
\langle
D_1,\ldots,D_m
\rangle.
$$

一個符號的完整軌道為：

$$
\mathcal O(x)
=
\{
g(x):
g\in
\langle
D_1,\ldots,D_m
\rangle
\}.
$$

SECV 的高階版本不是只消一個 pair，而是壓縮整個符號 orbit。

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# 4. 符號對角關係矩陣

給定：

$$
X=(x_1,\ldots,x_n)
$$

與轉換 $D$，定義：

$$
D(X)
=
(D(x_1),\ldots,D(x_n)).
$$

建立：

$$
M^D_{ij}
=
R_{\Gamma,\mathcal Q}
(
x_i,D(x_j)
).
$$

其中對角元素：

$$
\boxed{
M^D_{ii}
=
R_{\Gamma,\mathcal Q}
(
x_i,D(x_i)
)
}
$$

稱為 symbolic diagonal relation。

對角元素不必是布林值。它可以標記：

$$
M^D_{ii}
\in
\{
\mathsf{equal},
\mathsf{equivalent},
\mathsf{cancel},
\mathsf{residual},
\mathsf{irreducible},
\mathsf{unknown}
\}.
$$

因此 diagonal scan 是一個分類程序。

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# 5. 四種基本對角結果

對：

$$
(x,D(x))
$$

最基本有四類結果。

## 5.1 完全等價

若：

$$
x
\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
D(x),
$$

則：

$$
x,D(x)
\longmapsto
[x].
$$

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## 5.2 可對消

若存在合法二元算子 $\oplus$：

$$
x\oplus D(x)
\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
0,
$$

則可以將 pair 壓縮為零元或 identity object：

$$
(x,D(x))
\longmapsto
0.
$$

但：

$$
x\oplus D(x)=0
$$

不允許反推出：

$$
x=0.
$$

---

## 5.3 可殘差化

若：

$$
x=c+r,
$$

$$
D(x)=c+r',
$$

則：

$$
(x,D(x))
\longmapsto
\Delta_D(x)
$$

其中：

$$
\boxed{
\Delta_D(x)
=
r-r'.
}
$$

---

## 5.4 不可約

若無任何已凍結規則能將：

$$
x
$$

與：

$$
D(x)
$$

合法壓縮，則 $x$ 暫時保留。

注意：

$$
\mathsf{irreducible}
\neq
\mathsf{proven\ fundamental}.
$$

它只表示：

$$
\boxed{
\text{在目前規則集下尚不可約。}
}
$$

---

# 6. Sector decomposition

當 $D$ 為線性 involution：

$$
D^2=I,
$$

可定義：

$$
P_+
=
\frac{I+D}{2},
$$

$$
P_-
=
\frac{I-D}{2}.
$$

則：

$$
P_+^2=P_+,
$$

$$
P_-^2=P_-,
$$

$$
P_+P_-=0,
$$

且：

$$
P_++P_-=I.
$$

因此：

$$
x
=
x_+
+
x_-,
$$

其中：

$$
x_+
=
P_+x,
$$

$$
x_-
=
P_-x.
$$

並且：

$$
D(x_+)=x_+,
$$

$$
D(x_-)=-x_-.
$$

這將符號空間拆為：

$$
\boxed{
\mathcal X
=
\mathcal X_+
\oplus
\mathcal X_-.
}
$$

若後續證明：

$$
\mathcal Q
$$

只依賴：

$$
x_+,
$$

則：

$$
x_-
$$

可以整個 sector 被消除。

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# 7. 對角 defect

對 involution 定義：

$$
\delta_D(x)
=
x-D(x).
$$

若：

$$
\delta_D(x)=0,
$$

則：

$$
x=D(x).
$$

若只需要 invariant magnitude，可定義：

$$
\Delta_D(x)
=
\|\delta_D(x)\|^2
$$

或其他事先合法化的 defect functional。

核心思想是：

$$
\boxed{
\text{不要保存一對幾乎相同的符號，
只保存它們不能被對偶消掉的 defect。}
}
$$

因此：

$$
(x,D(x))
\longmapsto
\delta_D(x).
$$

這是 symbolic diagonal elimination 最基本的 residual lifting。

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# 8. 自指不是「自己證明自己」

本文的 self-reference 僅指：

$$
x
\rightarrow
D(x)
\rightarrow
D^2(x)
\rightarrow
D^3(x)
\rightarrow
\cdots
$$

亦即同一符號經預先定義的外部 operator 反覆映射。

合法自指要求：

$$
\boxed{
D
\text{ 的定義不依賴於本輪推演是否成功。}
}
$$

禁止以下形式：

$$
D(x)
=
\text{「使 }x\text{ 可被消掉的那個東西」}.
$$

因為這相當於將目標結論直接寫入 operator。

因此：

$$
\boxed{
\text{Self-reference}
\neq
\text{self-justification}.
}
$$

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# 9. 對偶軌道

定義：

$$
\mathcal O_D(x)
=
\{
D^n(x):
n\in\mathbb N
\}.
$$

若存在：

$$
m<n
$$

使：

$$
D^m(x)
\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
D^n(x),
$$

則 orbit 在 quotient 意義下進入 cycle。

此時可以將：

$$
D^m(x),
D^{m+1}(x),
\ldots,
D^{n-1}(x)
$$

壓縮為 orbit object：

$$
[\mathcal O_D(x)].
$$

因此 cycle 不必被視為演算法失敗。

合法作法是：

$$
\boxed{
\text{detect cycle}
\rightarrow
\text{quotient cycle}
\rightarrow
\text{retain orbit invariant}.
}
$$

---

# 10. Orbit invariant

對軌道：

$$
\mathcal O_D(x),
$$

可尋找：

$$
I_D(x)
$$

使：

$$
I_D(D(x))=I_D(x).
$$

如果存在，則：

$$
I_D
$$

稱為 orbit invariant。

若證明義務 $\mathcal Q$ 只依賴：

$$
I_D(x),
$$

則整個 orbit：

$$
\mathcal O_D(x)
$$

都可以壓縮為：

$$
\boxed{
I_D(x).
}
$$

也就是：

$$
\mathcal O_D(x)
\longmapsto
I_D(x).
$$

這是從 pairwise elimination 進一步提升到 orbit elimination。

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# 11. 多輪自指消除

令初始符號域：

$$
\Sigma_0.
$$

對每輪 $n$：

$$
D(\Sigma_n)
=
\{
D(x):
x\in\Sigma_n
\}.
$$

接著：

$$
\Sigma_{n+1}
=
\mathcal R_{\Gamma,\mathcal Q}
(
\Sigma_n,
D(\Sigma_n)
).
$$

完整過程為：

$$
\Sigma_0
\rightarrow
\Sigma_1
\rightarrow
\Sigma_2
\rightarrow
\cdots.
$$

若：

$$
\Sigma_{n+1}
\subseteq
\Sigma_n
$$

在相對自由度意義下成立，則稱為 monotone symbolic reduction。

---

# 12. 殘差提升

有時候第一輪得到：

$$
\delta_1
=
\Delta_D(x)
$$

之後，$\delta_1$ 自己仍可接受另一個 operator：

$$
D_2(\delta_1).
$$

此時可再次：

$$
\delta_1
\leftrightarrow
D_2(\delta_1)
$$

並得到：

$$
\delta_2.
$$

因此：

$$
x
\rightarrow
\delta_1
\rightarrow
\delta_2
\rightarrow
\cdots.
$$

本文稱此過程為：

$$
\boxed{
\text{Residual Lifting}.
}
$$

它的意義不是增加資訊，而是將差異逐步提升到更高階、通常更小的 obstruction representation。

---

# 13. 符號殘差鏈

定義：

$$
r_0=x,
$$

$$
r_{n+1}
=
\Delta_{D_n}(r_n).
$$

則：

$$
r_0
\rightarrow
r_1
\rightarrow
r_2
\rightarrow
\cdots
$$

稱為 residual chain。

若存在：

$$
N<\infty
$$

使：

$$
r_N=0,
$$

則原始符號被有限階完全消除。

若：

$$
r_n\neq0
$$

對所有有限 $n$ 成立，但 residual complexity 持續下降，則進入無限階版本，留待 Paper 08 正式處理。

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# 14. 不可約殘餘域

定義一個總 reduction operator：

$$
\mathcal R_{\Gamma,\mathcal Q,\mathcal D}.
$$

若存在：

$$
\Sigma_\star
$$

滿足：

$$
\boxed{
\mathcal R_{\Gamma,\mathcal Q,\mathcal D}
(\Sigma_\star)
\cong
\Sigma_\star,
}
$$

則：

$$
\Sigma_\star
$$

稱為相對於：

$$
(\Gamma,\mathcal Q,\mathcal D)
$$

的 irreducible residual domain。

亦即：

$$
\boxed{
\Sigma_\star
=
\operatorname{Fix}
(
\mathcal R_{\Gamma,\mathcal Q,\mathcal D}
).
}
$$

注意此 fixed point 是相對的。

若更換：

$$
\Gamma,
$$

或：

$$
\mathcal Q,
$$

或：

$$
\mathcal D,
$$

則：

$$
\Sigma_\star
$$

可能改變。

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# 15. 相對不可約性

因此本文明確區分：

$$
\boxed{
\text{absolute irreducibility}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{relative irreducibility}.
}
$$

SECV 一般只能聲明：

$$
\operatorname{Irred}
(
x
\mid
\Gamma,\mathcal Q,\mathcal D
).
$$

而不能在沒有額外 theorem 時聲明：

$$
x
\text{ 在所有可能形式系統下都不可約}.
$$

此區分避免將演算法停止誤解為數學本體論上的原子性。

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# 16. Diagonal completeness

一個重要問題是：

> 只比較 $x$ 和 $D(x)$，是否會漏掉本來可以由 $x_i$ 與 $x_j$ 交叉發現的可約性？

因此定義 diagonal completeness。

若對任意：

$$
x,y\in\Sigma,
$$

只要：

$$
x\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}y,
$$

就存在某個：

$$
g\in
\langle\mathcal D\rangle
$$

使：

$$
g(x)
\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
y,
$$

則稱：

$$
\mathcal D
$$

對 $\Sigma$ 是 diagonal-complete。

形式上：

$$
\boxed{
x\equiv y
\Rightarrow
\exists g\in\langle\mathcal D\rangle:
g(x)\equiv y.
}
$$

若無法證明 diagonal completeness，則 SDE 只是 acceleration strategy，而不能替代完整 pairwise reduction。

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# 17. Operator coverage

定義 operator coverage：

$$
\operatorname{Cov}_{\mathcal D}(\Sigma)
=
\frac{
|\{x\in\Sigma:
\exists g\in\langle\mathcal D\rangle
\text{ 觸發合法 reduction}\}|
}{
|\Sigma|
}.
$$

有限問題中，可以直接估計：

$$
0\le
\operatorname{Cov}_{\mathcal D}
\le1.
$$

當：

$$
\operatorname{Cov}_{\mathcal D}=1,
$$

代表每個符號至少能被 operator family 觸及。

但：

$$
\operatorname{Cov}_{\mathcal D}=1
$$

仍不代表所有符號可被完全消除。

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# 18. Reduction strength

可進一步定義：

$$
\operatorname{RS}_{\mathcal D}
=
\frac{
\operatorname{sdf}(\Sigma_0)
-
\operatorname{sdf}(\Sigma_\star)
}{
\operatorname{sdf}(\Sigma_0)
}.
$$

因此：

$$
0\le
\operatorname{RS}_{\mathcal D}
\le1.
$$

若：

$$
\operatorname{RS}_{\mathcal D}=1,
$$

則在當前證明義務下全部符號自由度都能被壓縮。

若：

$$
\operatorname{RS}_{\mathcal D}=0,
$$

則 operator family 對 reduction 沒有實質作用。

這使不同對偶算子族可以被計算比較。

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# 19. 對角搜尋策略

若候選 operator 很多：

$$
\mathcal D
=
\{
D_1,\ldots,D_m
\},
$$

可定義單步效益：

$$
G(D_j\mid\Sigma)
=
\operatorname{sdf}(\Sigma)
-
\operatorname{sdf}
(
\mathcal R_{D_j}(\Sigma)
).
$$

加入驗證成本：

$$
C(D_j),
$$

則可定義：

$$
\boxed{
D^\star
=
\arg\max_{D_j}
\frac{
G(D_j\mid\Sigma)
}{
C(D_j)
}.
}
$$

此式是 heuristic selection policy。

只要最終 reduction step 本身仍具有 formal witness，operator selection 可以使用 heuristic，而不影響 proof soundness。

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# 20. 自指深度

對任意符號 $x$，定義最小消除深度：

$$
d_{\mathcal D}(x)
=
\min
\left\{
n:
D^{(n)}(x)
\text{ 導致 }x\text{ 被合法消除}
\right\}.
$$

若不存在有限 $n$，則：

$$
d_{\mathcal D}(x)=\infty.
$$

但這裡的：

$$
\infty
$$

只是「無有限見證」的記號，不代表可直接參與代數運算。

整體問題的 diagonal depth 可定義為：

$$
D_{\max}
=
\sup_{x\in\Sigma}
d_{\mathcal D}(x).
$$

---

# 21. 固定點穩定性

得到：

$$
\Sigma_\star
$$

後，應驗證：

$$
\mathcal R(\Sigma_\star)
\cong
\Sigma_\star.
$$

但這還不夠。

還可測試小擾動：

$$
\Sigma_\star
\cup
\{\epsilon\}
$$

是否會：

$$
\rightarrow^\ast
\Sigma_\star.
$$

若對某類允許擾動集合：

$$
\mathcal N(\Sigma_\star)
$$

都有：

$$
\forall Y\in\mathcal N(\Sigma_\star),
\qquad
\mathcal R^\ast(Y)
\cong
\Sigma_\star,
$$

則稱 $\Sigma_\star$ 為 reduction-stable fixed point。

這對後續「生成種子」尤其重要，因為一個好的 seed 必須在合法展開後仍能重新回到同一 canonical class。

---

# 22. 固定點與生成種子的區別

本文特別強調：

$$
\boxed{
\text{Residual Fixed Point}
\neq
\text{Generative Seed}.
}
$$

一個：

$$
\Sigma_\star
$$

即使已不可再約，也可能因資訊刪除過多而無法重新生成原問題域。

生成種子還需要：

$$
\boxed{
\text{generative sufficiency}.
}
$$

亦即存在 expansion grammar：

$$
E
$$

使：

$$
E(\Sigma_\star)
$$

可恢復原問題的 proof-equivalent class。

此條件將在 Paper 05 正式定義。

---

# 23. 合法自指的三層防線

為避免符號自指退化成循環論證，SECV-SDE 要求三層防線。

## 23.1 Operator independence

$$
D
$$

必須在推演前已定義。

---

## 23.2 Witness independence

對：

$$
x\rightarrow y
$$

的 legality witness 不得引用：

$$
\text{「因為最終結論需要 }y\text{」}
$$

作為理由。

---

## 23.3 Obligation preservation

必須獨立證明：

$$
\mathcal Q(x)
\equiv
\mathcal Q(y).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{operator}
+
\text{witness}
+
\text{obligation preservation}
}
$$

缺一不可。

---

# 24. 對角消除不是投影式丟失

若：

$$
P(x)
$$

是投影，單純做：

$$
x\mapsto P(x)
$$

可能丟失關鍵資訊。

SDE 只有在：

$$
\mathcal Q(x)
=
\widehat{\mathcal Q}(P(x))
$$

可被證明時，才允許將：

$$
x
$$

替換為：

$$
P(x).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{reduction}
\neq
\text{arbitrary projection}.
}
$$

真正差別是 proof sufficiency。

---

# 25. 符號壓縮與資訊損失

SECV 允許刪除資訊，但要求刪除的是：

$$
\boxed{
\text{relative irrelevant information}.
}
$$

對某 proof obligation $\mathcal Q$，若：

$$
I_{\mathrm{full}}
=
I_{\mathrm{relevant}}
+
I_{\mathrm{irrelevant}},
$$

則 SDE 目標是：

$$
I_{\mathrm{full}}
\rightarrow
I_{\mathrm{relevant}},
$$

且：

$$
\mathcal Q(I_{\mathrm{full}})
=
\mathcal Q(I_{\mathrm{relevant}}).
$$

因此 SECV 不是 lossless compression in general，而是：

$$
\boxed{
\text{proof-obligation-preserving lossy compression}.
}
$$

這個 distinction 必須公開。

---

# 26. 演算法骨架

有限問題可以使用：

```text
Input:
    Sigma
    Gamma
    Q
    operator family D
    invariant family I

Freeze all operators and legality rules

Worklist <- Sigma

while Worklist is not empty:
    x <- pop(Worklist)

    for D_j in D:
        if x not in Dom(D_j):
            continue

        y <- D_j(x)

        relation <- classify(x, y | Gamma, Q)

        if relation has certified quotient:
            replace x,y by canonical class
            store witness

        elif relation has certified cancellation:
            eliminate certified pair
            store witness

        elif relation has sufficient residual:
            replace pair by residual
            store witness

        else:
            retain x

        enqueue all affected dependencies

detect and quotient cycles
verify fixed-point condition

Output:
    irreducible residual domain Sigma_star
    proof provenance Pi
```

---

# 27. 平行化

由於不同：

$$
(x_i,D(x_i))
$$

的 diagonal checks 在某些系統中可以相互獨立，第一輪可並行：

$$
P_i
=
\operatorname{Check}
(
x_i,D(x_i)
).
$$

若共有：

$$
n
$$

個符號，可分配給多個 worker：

$$
P_1,\ldots,P_n.
$$

真正需要序列化的是 dependency update 與 canonical merge。

因此 SDE 天生適合：

$$
\boxed{
\text{parallel detection}
+
\text{certified serial commit}.
}
$$

這與後續 symbolic runtime 的架構直接相容。

---

# 28. Fail-Closed 規則

任何 relation 若無法確定：

$$
\mathsf{valid}
$$

或：

$$
\mathsf{invalid},
$$

必須標記：

$$
\boxed{
\mathsf{unknown}.
}
$$

禁止：

$$
\mathsf{unknown}
\rightarrow
\mathsf{equivalent}
$$

的預設推理。

因此正式 proof layer 採：

$$
\boxed{
\text{Fail Closed}.
}
$$

未知不消除。

---

# 29. 反例導向驗證

對每個 proposed operator：

$$
D,
$$

應主動搜尋：

$$
x
$$

使：

$$
x
\not\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
D(x).
$$

若找到，並不表示：

$$
D
$$

完全無用。

它只表示：

$$
D
$$

不能作為 universal equivalence operator。

可將其 domain 收窄為：

$$
\operatorname{Dom}_{\mathrm{valid}}(D).
$$

因此 operator discovery 應遵循：

$$
\boxed{
\text{propose}
\rightarrow
\text{falsify}
\rightarrow
\text{restrict domain}
\rightarrow
\text{certify}.
}
$$

---

# 30. 一個簡單對偶示例

考慮：

$$
x=(a,b),
$$

定義：

$$
D(a,b)=(b,a).
$$

若 proof obligation 為：

$$
Q(a,b)=a+b,
$$

則：

$$
Q(x)=a+b,
$$

$$
Q(D(x))=b+a.
$$

因此：

$$
x
\equiv_{\mathcal Q}
D(x).
$$

可以 quotient：

$$
(a,b)
\sim
(b,a).
$$

canonical representative 可選：

$$
[\{a,b\}].
$$

但若：

$$
Q'(a,b)=a-b,
$$

則：

$$
Q'(D(x))=b-a=-(a-b).
$$

此時不能直接商化，但可以保留反對稱 residual：

$$
\delta=a-b.
$$

所以同一個 $D$，在不同 proof obligations 下會產生不同 reduction。

---

# 31. 自指示例

令：

$$
D(x)=1-x.
$$

則：

$$
D^2(x)=x.
$$

因此 orbit：

$$
\mathcal O_D(x)
=
\{x,1-x\}.
$$

若 proof obligation 只依賴：

$$
x(1-x),
$$

則：

$$
x(1-x)
=
D(x)(1-D(x)).
$$

所以整個 orbit 可壓縮為：

$$
\boxed{
u=x(1-x).
}
$$

此時：

$$
\{x,1-x\}
\longmapsto
u.
$$

而：

$$
u
$$

就是 orbit invariant。

這示範了「對偶自指」如何產生比原符號更小的 invariant representation。

---

# 32. 對角性與問題重寫

原問題可能寫為：

$$
P(x_1,\ldots,x_n).
$$

經 SDE 後可能變成：

$$
\widehat P
(
r_1,\ldots,r_k
),
$$

其中：

$$
k\ll n.
$$

如果：

$$
P
\iff
\widehat P
$$

在 $\Gamma$ 下成立，則我們沒有直接「解」原變量，而是將問題重新表達為更低符號自由度的問題。

因此 SDE 的理想輸出是：

$$
\boxed{
\text{equivalent problem with fewer independent symbolic degrees of freedom}.
}
$$

---

# 33. 對角性與證明搜索

傳統 theorem search 可能在：

$$
\mathcal H
$$

中搜尋大量候選 lemma。

SDE 可先建立：

$$
\mathcal H/\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
$$

並對每個候選 lemma 生成：

$$
D(h).
$$

如果：

$$
h
$$

與：

$$
D(h)
$$

只差 residual：

$$
r_h,
$$

則搜尋空間可以改為研究：

$$
r_h.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{proof search}
\rightarrow
\text{residual proof search}.
}
$$

這是後續 AI reasoning 應用的一個重要接口。

---

# 34. 從對角消除到生成閉環

SDE 到此只完成：

$$
\Sigma_0
\rightarrow
\Sigma_\star.
$$

但整個系列的更大目標是：

$$
\Sigma_0
\rightarrow
\Sigma_\star
\rightarrow
\widehat\Sigma_0.
$$

其中：

$$
\widehat\Sigma_0
\equiv_{\Gamma,\mathcal Q}
\Sigma_0.
$$

因此 Paper 02 的輸出：

$$
\boxed{
\Sigma_\star
}
$$

將在後續被重新解釋為可能的 generative seed candidate。

---

# 35. 核心命題

本文將符號對角性消除濃縮為：

$$
\boxed{
\text{將符號與其合法自映射像比較，
消除可由對偶、對稱與自指生成的冗餘自由度，
只保留不能被此規則族消除的殘差。}
}
$$

形式上：

$$
\boxed{
\Sigma_{n+1}
=
\operatorname{Residual}
\left(
\Sigma_n,
\mathcal D(\Sigma_n)
\mid
\Gamma,\mathcal Q
\right).
}
$$

最終：

$$
\boxed{
\Sigma_\star
=
\operatorname{Fix}
\left(
\mathcal R_{\Gamma,\mathcal Q,\mathcal D}
\right).
}
$$

---

# 36. 非主張

本文不主張：

1. 任意問題都存在有用的 diagonal operator；
2. 任意對偶都能降低符號自由度；
3. fixed point 必然唯一；
4. residual 必然是生成種子；
5. 對角掃描永遠比全 pairwise comparison 完備；
6. 無限 orbit 必然可有限描述；
7. self-reference 本身可以提供證明；
8. symbolic cancellation 可以取代必要的 analytic、combinatorial 或 computational proof。

本文主張的是一個更窄的形式方法：

$$
\boxed{
\text{只要 operator、domain、equivalence 與 witness 都能事先形式化，
對偶自指就可以成為合法的符號降維來源。}
}
$$

---

# 結論

符號對角性消除將 SECV 從一般等價判定推進到一個可反覆執行的 reduction calculus。

它的核心不是：

$$
x
\text{ 和 }D(x)\text{ 長得像},
$$

而是：

$$
\boxed{
x
\text{ 與 }D(x)
\text{ 在 }\Gamma,\mathcal Q
\text{ 下是否承載相同或可壓縮的證明資訊。}
}
$$

若可以，則：

$$
(x,D(x))
\rightarrow
[x],
$$

或：

$$
(x,D(x))
\rightarrow
0,
$$

或：

$$
(x,D(x))
\rightarrow
\delta_D(x).
$$

再將 residual 重新投入合法 operator family：

$$
\delta_1
\rightarrow
\delta_2
\rightarrow
\cdots,
$$

直到：

$$
\Sigma_\star
=
\operatorname{Fix}
(
\mathcal R
).
$$

因此，符號對角性真正提供的是：

$$
\boxed{
\text{Dual Generation}
\rightarrow
\text{Diagonal Comparison}
\rightarrow
\text{Certified Elimination}
\rightarrow
\text{Residual Lifting}
\rightarrow
\text{Irreducible Fixed Point}.
}
$$

這個不可約固定點不是方法的終點。下一篇將進一步研究：如何把這個過程理解成「符號自由度的系統性降維」，並建立可比較的 symbolic rank、dependency reduction 與 problem compression 指標。