# 零點側洩漏預算：從局部負證書到全域零點和的尺度診斷

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-24  
**狀態：** 工程診斷原型；不是 RH 證明

## 一、問題

上一版已由同一個明確測試函數嚴格證明：

\[
\sup_{w\in K}2\Re(G(w)^2)
\le-2.2416560599e-06,
\]

以及算術二次值嚴格為正。

但完整零點側是：

\[
Q_{\rm zero}
=
Q_{\rm target}
+
Q_{\rm axis}
+
Q_{\rm finite,off}
+
Q_{\rm tail}.
\]

局部負值只有在其絕對值壓過其餘三項時，才能導出完整零點和為負。

## 二、第一個臨界線零點已超過目標負裕量

以同一個分段線性測試函數數值評價第一個臨界線零點：

\[
\gamma_1\approx14.1347251417,
\]

得到：

\[
|G(\gamma_1)|^2
\approx 0.00535215750176.
\]

而目標矩形的嚴格負裕量只有：

\[
\eta_K=2.2416560599e-06.
\]

比例為：

\[
\frac{|G(\gamma_1)|^2}{\eta_K}
\approx 2387.591.
\]

也就是第一個軸上零點的正貢獻尺度，已比局部負裕量大約三個數量級。

## 三、前五十個軸上零點

前五十個零點的數值累積質量為：

\[
\sum_{n=1}^{50}|G(\gamma_n)|^2
\approx 0.0237237823405.
\]

它是目標負裕量的：

\[
10583.150
\]

倍。

這些零點數值只用於診斷，不作為形式化零點驗證資料。

## 四、高度尾部

因 \(\psi\) 為緊支撐分段線性函數，\(\psi'\) 具有限總變差，故：

\[
|G(t)|
\le
\frac{\operatorname{TV}(\psi')}{t^2}.
\]

本函數得到：

\[
\operatorname{TV}(\psi')
\approx 877.527968242.
\]

配合顯式零點計數殼層預算，原型在高度 60 以上得到保守尾部預算：

\[
Q_{\rm tail}^{\rm abs}
\lesssim 8.66760062477.
\]

此尾界比實際值保守，且尚未升級為完整形式化證書。

## 五、有限窗未知偏軸零點

對 \(|\Im w|\le1/2\) 使用：

\[
|G(w)|
\le
\int|\psi(t)|e^{|t|/2}dt
\approx 5.44903286959.
\]

因此每個未知偏軸共軛區塊的最壞絕對值可粗略界為：

\[
2|G(w)|^2
\le 59.3839184277.
\]

目前目標負裕量只能容忍：

\[
3.77485373019e-08
\]

個這種最壞尺度的未知軌道，遠小於一。

## 六、結論

本輪不是失敗，而是把下一個必要條件量化出來：

\[
\boxed{
\text{下一版最佳化不能只最大化目標矩形負性，}
\text{必須同時壓低臨界線譜質量。}
}
\]

建議改造目標函數為：

\[
\min_c\left[
\sup_{w\in K}B_w(c)
+
\lambda
\int_{\mathbb R}|G_c(t)|^2\,d\mu_{\rm axis}^+(t)
+
\mu\,\mathcal T(c)
\right],
\]

其中：

- 第一項塑造目標負區塊；
- 第二項懲罰臨界線洩漏；
- 第三項控制高高度尾部。

更強的方案是直接要求：

\[
B_w(c)\le0
\]

在整個有限偏軸候選窗中成立，而不是只對單一小矩形為負。

## 七、合法結論

目前可合法說：

\[
\boxed{
\text{現有嚴格交集函數證明了局部負性與算術正性相容，}
\text{但其軸上洩漏遠大於局部負裕量。}
}
\]

所以研究節點應從「交集是否存在」轉向：

\[
\boxed{
\text{帶軸上抑制與全窗符號限制的聯合最佳化。}
}
\]