# 嚴格交集證書 v0.2：從浮點候選到連續區域與算術正區間

**英文名稱：** RH Validated Separation–Positivity Intersection Certificate v0.2  
**日期：** 2026-07-24  
**性質：** 黎曼猜想研究工程／區間驗證／顯式公式測試函數  
**狀態：** 可重播的 validated-numerics 證書；不是 RH 證明

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## 一、這一版修正了什麼

v0.1 已找到同一組浮點係數，使：

\[
2\operatorname{Re}(G(w)^2)<0
\]

在密集矩形網格上成立，同時：

\[
c^TM_{\mathrm{arith}}c>0.
\]

但這仍有兩個漏洞：

1. 網格負值不能推出矩形連續區域處處為負；
2. 浮點正值不能直接視為嚴格算術下界。

v0.2 不再沿用黑箱陣列，而將候選重建為明確的分段線性函數，再對兩個符號分別建立區間證書。

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## 二、明確的測試函數

令：

\[
h=0.01,
\qquad
 t_i=-3+ih,
\qquad
0\le i\le600,
\]

並定義三角帽：

\[
\phi_h(t)=\max\left(1-\frac{|t|}{h},0\right).
\]

測試函數為：

\[
\psi(t)=\sum_{i=0}^{600}y_i\phi_h(t-t_i).
\]

基礎節點值存於：

```text
 data/base_nodes.csv
```

中央節點不是人工四捨五入後硬塞成零，而是由：

\[
y_{300}
=b_{300}-\frac{\sum_i b_iq_i}{q_{300}}
\]

重新定義，其中：

\[
q_i=\int\phi_h(t-t_i)e^{-t/2}dt.
\]

所以在數學模型中：

\[
G(i/2)=0.
\]

實際區間殘差為：

\[
G(i/2)
\in[-6.52,6.52]\times10^{-36}.
\]

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## 三、Fourier 轉換不再依賴數值積分

三角帽的 Fourier 轉換為：

\[
\Phi_h(w)
=h\left(\frac{\sin(wh/2)}{wh/2}\right)^2.
\]

因此：

\[
G(w)=
\Phi_h(w)
\sum_{i=0}^{600}y_ie^{iwt_i}.
\]

這是一個有限指數多項式乘上已知整函數。程式可以直接用複區間計算：

\[
G(w_0),
\qquad
G'(w_0).
\]

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## 四、連續矩形負證書

目標矩形為：

\[
K=[8,8.5]+i[-0.2,-0.1].
\]

對每個子矩形，以中心 \(w_0\) 及半徑 \(r\) 使用：

\[
G(w)=G(w_0)+G'(w_0)(w-w_0)+R_2,
\]

\[
|R_2|
\le\frac12M_2r^2.
\]

由積分表示得到：

\[
M_2
\ge\sup_{w\in K}|G''(w)|,
\]

本次使用：

\[
M_2\le11.4820525926.
\]

若一個子矩形中的所有 \(G(w)\) 都落在中心 \(c\)、半徑 \(\varepsilon\) 的複圓盤，則：

\[
\operatorname{Re}(G(w)^2)
\le
\operatorname{Re}(c^2)
+2|c|\varepsilon
+\varepsilon^2.
\]

無法立即判定的矩形會再切成四塊。

最終結果：

- 已認證子矩形：480；
- 未決子矩形：0；
- 最大細分深度：3；
- 全域上界：

\[
\boxed{
\sup_{w\in K}
2\operatorname{Re}(G(w)^2)
\le-2.2416560599\times10^{-6}
}.
\]

這已是連續區域敘述，不是網格推測。

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## 五、自相關的有限三次樣條表示

令：

\[
r_k=\sum_i y_iy_{i+k}.
\]

則：

\[
C(x)=\int\psi(t)\psi(t-x)dt
=\sum_k r_kK_h(x-kh),
\]

其中 \(K_h\) 是支撐於 \([-2h,2h]\) 的三次 B-spline 核。

因此：

- 不需要 FFT；
- 不需要線性插值相關矩陣；
- 每個 \(C(x)\) 都可由至多四個三次多項式項求得區間。

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## 六、有限位置項

因支撐半徑為 3，卷積支撐尺度為 6，只啟動：

\[
m\log p<6
\]

的質數冪，共 98 個。

每個取樣點都使用：

\[
m\,\operatorname{iv.log}(p)
\]

作為區間參數，而不是把雙精度 \(\log p\) 當成精確數。

得到：

\[
Q_{\mathrm{fin}}
\in
[-0.099762166120387,
 -0.099762166120386].
\]

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## 七、Archimedean 項

採用前一版固定的緊支撐時域公式：

\[
Q_\infty
=-(\log(4\pi)+\gamma)C(0)
-\int_0^6
\frac{e^{x/2}C(x)-C(0)}{\sinh x}dx
-\log(\tanh3)C(0).
\]

### 零點附近

在 \([0,0.01]\) 中：

\[
C(x)=C(0)+a_2x^2+a_3x^3,
\]

所以可去奇點被改寫後，直接做區間細分。

### 其餘區域

使用區間中點值，並由：

\[
|C(x)|\le C(0),
\]

\[
|C'(x)|
\le\|\psi\|_2\|\psi'\|_2
\]

建立每個積分區塊的解析導數上界，再加入複合中點誤差。

結果：

\[
Q_\infty
\in
[0.133524840678940,
 0.161109862461679].
\]

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## 八、交集結論

總算術值為：

\[
\boxed{
Q_{\mathrm{arith}}(\psi)
\in
[0.033762674558557,
 0.061347696341296]
}.
\]

所以同一個明確測試函數同時滿足：

\[
\sup_{w\in K}2\operatorname{Re}(G(w)^2)<0,
\]

以及：

\[
Q_{\mathrm{arith}}(\psi)>0.
\]

這證明在目前模型中：

\[
\boxed{
\mathcal G_{\mathrm{sep}}
\cap
\mathcal G_{\mathrm{arith}+}
\ne\varnothing
}
\]

至少有一個可重播、經區間封閉的具體實例。

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## 九、為什麼這仍不是 RH 證明

這兩個符號並不直接矛盾。

偏軸矩形內的假設零點會給出負區塊，但完整零點側還包括：

\[
Q_{\mathrm{axis}},
\qquad
Q_{\mathrm{finite\ off}},
\qquad
Q_{\mathrm{tail}}.
\]

它們可能補償目標矩形的負值。v0.2 尚未證明：

\[
Q_{\mathrm{rest}}^{\mathrm{zero}}
<
- Q_K^{\mathrm{zero}}.
\]

因此目前成果是：

> 分離需求與算術正性需求不只在浮點最佳化中相容，而且存在一個連續區域與算術值均經區間封閉的共同測試函數。

下一個真正困難的節點已轉為：

\[
\boxed{
\text{有限視窗內非目標零點洩漏與軸上正質量控制}
}.
\]