# RH 支撐—質數對偶前沿 ## 軸網格假逃逸、覆蓋式證書族與頻譜缺口轉向 版本：v0.4 日期：2026-07-24 研究模式：半 AI 自主數學研究 技術研究主導與判斷：OpenAI Codex（AI 研究協作者） 研究場域、授權與審閱：Neo.K / EveMissLab ## 摘要 本節點承接 v0.3 的交接，實作了「分帶、多測試函數、覆蓋式證書族」， 並把支撐半徑 $R$、basis 密度、basis 寬度、軸帶測度、patch 核心測度與 質數側成本放在同一個前沿上比較。 第一層 uniform 掃描包含 $$ 14\times3\times3=126 $$ 種幾何配置。若只看 18 個 patch 中心，第一個抽樣逃逸出現在 $R=10$； 若改看每個原始 patch 的 $3\times3$ 核心測度，第一個 uniform 逃逸延後 到 $R=14$。但這兩者都不是完整 dual gate，因為均勻軸測度可能嚴重低估 實軸峰值。 第二層將 18 個 patch 各切成 $4\times4$，得到 288 個子矩形，再對 $R=10.25,12,14,16$ 的困難候選共同最佳化五個軸帶測度與 $3\times3$ 核心測度。四個半徑都找到安全下界大於預算 $1$ 的顯式有限模型 witness。各半徑的最強安全下界為 $$ 2.6201,\quad1.8999,\quad1.3982,\quad1.0943. $$ 因此，這四個抽樣半徑都至少有一個子矩形無法由目前函數類達成 $J(A)<1$。這已足以否決「用同一 dictionary 單純增加支撐，替整個覆蓋 中的每一塊配置測試函數」這條有限模型路線。 本輪最重要的技術發現不是上述數值本身，而是軸網格混疊。在 $R=16$、patch `x4_Y3__r2_3` 上，步長 $0.25$ 給出 $$ \alpha=0.985277<1, $$ 看似通過 dual gate；將步長縮到 $0.1,0.05,0.025$ 後，結果依序回升為 $$ 1.124306,\quad1.139551,\quad1.192293, $$ 最後的安全縮放仍有 $$ \alpha_{\mathrm{safe}}=1.096146>1. $$ 故粗網格的逃逸是可重播的假象，不是 primal 可行性的證據。 質數側的 exact support relation 為 $$ \operatorname{supp}\psi\subset[-R,R] \quad\Longrightarrow\quad m\log p<2R, \quad p^m 增加支撐、增加測試函數自由度、細分覆蓋並讓 dual measure 自動選擇， > 是否能在質數成本失控前穿過預算 $1$？ 這個問題不能只用單一 patch 中心或固定均勻軸測度回答。若目標是對整個 區域 $$ \mathcal R=[20,20.5]\times[-0.2,-0.1] $$ 建立覆蓋式證書族，至少要同時處理： 1. patch 內多點負向，而非單一中心； 2. 五個實軸帶的最壞峰值，而非均勻平均； 3. $R$ 增加時的質數與 prime-power 截斷； 4. coarse grid 造成的假逃逸； 5. dual 未阻擋後，才有理由啟動 primal 搜尋。 ## 2. 有限模型 ### 2.1 測試函數座標 對每個半徑 $R$，在 $[-R,R]$ 上取實偶 compactly supported polynomial bumps。basis 數量為 $$ n=\operatorname{round}(dR), $$ 其中密度 $d\in\{6,8,10\}$。施加兩個結構條件 $$ G(0)=0,\qquad G(i/2)=0 $$ 後，以 $C_0$ Gram matrix whitening，得到約 $n-2$ 維座標。 本節點採用 Fourier convention $$ G(w)=\int_{\mathbb R}\psi(t)e^{iwt}\,dt. $$ 令 $g(z)$ 為受限座標中的 transform row，定義 $$ C(z)=2\operatorname{Re}\!\left(g(z)g(z)^{\mathsf T}\right). $$ 對任意 $A\succeq0$， $$ B_A(z)=\langle C(z),A\rangle $$ 表示偏軸核心值。實軸上 $g(x)$ 為實向量，故 $$ P(x)=g(x)g(x)^{\mathsf T}\succeq0,\qquad H_A(x)=\langle P(x),A\rangle\ge0. $$ ### 2.2 分帶目標 實軸分成 $$ A_0=[14,18],\quad A_1=[18,23],\quad A_2=[23,35],\quad A_3=[35,70],\quad A_4=[70,145]. $$ 令 $u_j$ majorize 第 $j$ 帶離散網格上的 $H_A$。有限 proxy objective 為 $$ J(A)=\langle T,A\rangle+\sum_{j=0}^{4}\underline N_j u_j, $$ 其中 $T\succeq0$ 是 tail prototype，$\underline N_j$ 是從 published $S(T)$ profile 計算後向下截到 12 位小數的係數。 這個 $J$ 是目前程式中的 leakage upper-bound proxy，不是已經完成 interval transfer 的 zeta 顯式公式定理物件。 ## 3. 多測度 dual witness 對每個軸帶選擇離散機率測度 $$ \mu_j=\sum_k\mu_{jk}\delta_{x_{jk}}, \qquad \mu_{jk}\ge0, \qquad \sum_k\mu_{jk}=1. $$ 對 patch 中的核心點選擇 $$ \nu=\sum_q\nu_q\delta_{z_q}, \qquad \nu_q\ge0, \qquad \sum_q\nu_q=1. $$ 定義 $$ B_\mu =T+\sum_{j=0}^{4} \underline N_j\sum_k\mu_{jk}P(x_{jk}), $$ 以及 $$ C_\nu=\sum_q\nu_qC(z_q). $$ 若存在 $\alpha>0$ 使 $$ W=B_\mu+\alpha C_\nu\succeq0, $$ 則對任何滿足 $$ A\succeq0,\qquad \langle C(z_q),A\rangle\le-1 $$ 的有限 primal 候選，有 $$ \begin{aligned} J(A) &\ge\langle B_\mu,A\rangle\\ &\ge-\alpha\langle C_\nu,A\rangle\\ &\ge\alpha. \end{aligned} $$ 所以 $\alpha>1$ 直接否決該 patch 的預算 $J(A)<1$。這個推論只使用 PSD 錐自對偶性、非負機率權重與離散 primal constraints；它在指定的 有限模型內是代數邏輯。 程式以 generalized minimum eigenvalue 計算臨界值 $$ \alpha_*=-\frac{1}{ \lambda_{\min}(C_\nu,B_\mu) }. $$ 若 $\alpha_*>1$，匯出值使用 $$ \alpha_{\mathrm{safe}} =1+\frac{\alpha_*-1}{2}, $$ 再直接檢查 $W_{\mathrm{safe}}$ 的最小特徵值。這是 floating safety margin，不是 interval proof。 ## 4. 掃描設計 第一層 uniform frontier 使用： - 14 個半徑： $4.5,5,5.5,6,7,8,9,10,10.25,10.5,11,12,14,16$； - 3 個 basis 密度：$6,8,10$； - 3 個 width factors：$0.9,1.2,1.5$； - 4 種分帶集合：tail-only、單帶 $A_1$、三帶 $A_0$ 至 $A_2$、 五帶 $A_0$ 至 $A_4$； - 18 個原始 patch 中心； - 每個原始 patch 的 uniform $3\times3$ 核心測度。 第二層 joint dual 固定 uniform frontier 中較強的 dictionary： $$ d=10,\qquad\text{width factor}=1.5. $$ 每個原始 patch 切為 $4\times4$，總數為 $$ 18\cdot16=288. $$ joint 搜尋以 uniform ranking 選出最困難的 $$ 2+2+3+5=12 $$ 個子矩形，對五帶軸測度與 $3\times3$ 核心測度做 cutting-plane 最佳化。這不是 288 個子矩形的完整 joint exhaustion；但若其中任一 patch 已有 $\alpha_{\mathrm{safe}}>1$，目前覆蓋式策略便不能在該半徑 完成。 ## 5. Uniform frontier 每個半徑下，原始 patch uniform $3\times3$ 的最佳最大 threshold 為： | $R$ | density | width factor | dimension | patch 最大 threshold | |---:|---:|---:|---:|---:| | $9$ | $10$ | $1.5$ | $88$ | $1.570260$ | | $10$ | $10$ | $1.5$ | $98$ | $1.478511$ | | $10.25$ | $10$ | $1.5$ | $100$ | $1.464445$ | | $12$ | $10$ | $1.5$ | $118$ | $1.152840$ | | $14$ | $10$ | $1.5$ | $138$ | $0.540797$ | | $16$ | $10$ | $1.5$ | $158$ | $0.414010$ | 這張表顯示支撐增加確實降低 uniform witness threshold。但是「低於 $1$」 只代表指定均勻測度沒有找到阻擋，不能推出 primal feasible。 兩個容易混淆的 transition 是： $$ R=10 $$ 第一次出現某個 geometry 的 18 個中心都低於 $1$；而 $$ R=14 $$ 第一次出現某個 geometry 的 18 個原始 patch uniform $3\times3$ threshold 都低於 $1$。joint measure optimization 隨後推翻了把這些 transition 當成可行門檻的解讀。 ## 6. Joint dual 結果 | $R$ | dimension | 搜尋 patch 數 | 最強 raw $\alpha$ | 最強 $\alpha_{\rm safe}$ | safe $\lambda_{\min}$ | |---:|---:|---:|---:|---:|---:| | $10.25$ | $100$ | $2$ | $4.240160$ | $2.620080$ | $0.0713394$ | | $12$ | $118$ | $2$ | $2.799900$ | $1.899950$ | $0.0834713$ | | $14$ | $138$ | $3$ | $1.796359$ | $1.398180$ | $0.0992519$ | | $16$ | $158$ | $5$ | $1.188563$ | $1.094281$ | $0.1149902$ | 12 份序列化 sparse-measure witness 全部由 `verify_saved_witnesses.py` 重建。將每組序列化非負權重重新正規化為 總和 $1$ 後： - 12 張 witness 全部保持 PSD； - 12 個有效 dual lower bounds 全部大於 $1$； - 重建與儲存最小特徵值的最大差為約 $1.3\times10^{-15}$。 這些是 E2 floating finite-model 結果。v0.4 沒有把矩陣轉成有理數，也 沒有 interval-enclose Fourier quadrature。 ## 7. 軸網格假逃逸 在 $R=16$、patch `x4_Y3__r2_3` 上做固定配置的網格細化： | 軸步長 | raw $\alpha$ | $\alpha_{\rm safe}$ | safe $\lambda_{\min}$ | |---:|---:|---:|---:| | $0.25$ | $0.985277$ | $0.980351$ | $0.0346388$ | | $0.1$ | $1.124306$ | $1.062153$ | $0.1149901$ | | $0.05$ | $1.139551$ | $1.069775$ | $0.1149901$ | | $0.025$ | $1.192293$ | $1.096146$ | $0.1149901$ | 每個離散測度自身都是有效 lower-bound witness；步長縮小會擴大可搜尋的 測度支撐，因此 lower bound 上升並不矛盾。粗網格只在錯誤位置採樣了 實軸波形，漏掉窄峰。 這帶來一條新的方法規則： > 任何 $\alpha<1$ 的「dual 逃逸」都必須接受更密軸網格或連續 supremum > 上界審計；反之，某個已重建且 PSD 的 $\alpha>1$ witness 不需要證明 > dual 最佳性，就足以否決該有限 primal 分支。 因此 dual 的兩側不對稱： - 找到 $\alpha>1$ 是正面否決證據； - 找不到 $\alpha>1$ 只是搜尋失敗，不是可行性證明。 ## 8. Primal gate 本節點採用以下閘門： $$ \text{只有所有已搜尋困難 patch 都未被安全 dual witness 阻擋時，} \quad\text{才啟動高成本 primal 搜尋。} $$ 四個半徑都未通過此閘門。因此沒有生成 ray-cone primal Gram 候選。 `primal_diagnostics.json` 只保存 complementary rank-one direction 的 dense audit；其 scaled objectives 分別約為 $$ 4.4040,\quad2.9649,\quad1.8478,\quad1.2832, $$ 全部大於 $1$。這些方向只是診斷，不是完整 primal infeasibility proof； 真正的否決來自已匯出的 PSD dual witnesses。 ## 9. 支撐與質數成本 由 $$ \operatorname{supp}\psi\subset[-R,R] $$ 可知自相關支撐包含於 $[-2R,2R]$。顯式公式中位於 $m\log p$ 的 prime-power term 只有在 $$ m\log p<2R $$ 時可能出現，等價於 $$ p^m 目前 support-only finite-model strategy 在抽樣到 $R=16$ 時仍有明確 > dual obstruction，且更大支撐的質數成本快速失控；下一步應改變 > dictionary 的頻譜幾何。 不能把它改寫成： > 所有大支撐測試函數都失敗，或 RH 已被判定。