# 分離—正性交集求解器 v0.1 技術說明

## 1. 目的

前兩個工程包分別找到：

1. 在偏軸矩形上形成負軌道區塊的係數；
2. 在另一套基底與約束下數值上保持正的算術矩陣。

但兩者尚未證明使用同一個係數向量。本包首次將兩者統一為：

\[
\exists c\ne0:
\quad
\max_{w\in K}c^TM_{\mathrm{orb}}(w)c<0,
\quad
c^TM_{\mathrm{arith}}c\ge\delta.
\]

## 2. 統一座標

所有計算共同使用：

- 實偶 paired-bump 基底；
- 支撐區間 `[-R,R]`；
- 同一 Fourier 慣例；
- 同一端點約束；
- 同一中心零點實驗約束；
- 零延遲相關矩陣 `C0` 的單位正規化。

因此輸出的 `coefficients` 同時決定區域負方向與算術二次型。

## 3. 聯合求解

令 `W` 為約束零空間與 `C0` 白化後的共同映射。以 `c=Wy` 且 `||y||=1` 表示全部候選。

在擬合網格上解：

\[
\min_{y,t}t
\]

使：

\[
y^TM_k y\le t,\qquad\forall k,
\]

\[
y^TAy\ge\delta,
\]

\[
\|y\|_2=1.
\]

這是非凸 QCQP；v0.1 使用多起點 SLSQP，因此只能提供候選與反例探索，不能保證全域最佳。

## 4. 正規化交叉驗證

對選定係數，程式同時以兩種方式計算：

\[
Q_\infty,
\quad
Q_{\mathrm{fin}},
\quad
Q_{\mathrm{total}}.
\]

第一種是矩陣二次型；第二種是先合成 `psi(t)`，再直接計算其自相關與顯式公式時域核。兩者差異輸出於：

`outputs/normalization_audit.json`

這用來檢查基底尺度、相關方向與有限位置係數是否一致。

## 5. 合法結論邊界

`intersection_found_on_grid=true` 只表示：

- 同一浮點係數向量；
- 在密集有限網格上區塊皆負；
- 算術二次型高於指定浮點安全餘量；
- 線性約束殘差很小。

它不表示：

- 整個連續矩形皆嚴格為負；
- 算術矩陣已取得區間 PSD 證書；
- 未知零點洩漏已控制；
- RH 已獲證明。

## 6. 下一版

v0.2 應加入：

1. 複區間矩形細分；
2. 區間相關矩陣；
3. 有理化係數；
4. 區間 `LDL^T` 或候選向量的嚴格下界；
5. 對矩形高度、距軸距離與支撐尺度的二維相圖；
6. 有限視窗內全偏軸區域的共同非正塑形。


## 7. v0.1 實際結果

對合成譜矩形

\[
8.0\le\operatorname{Re}w\le8.5,
\qquad
-0.2\le\operatorname{Im}w\le-0.1
\]

掃描 \(R=1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0\) 時，六個尺度都找到同一係數向量上的有限網格交集：

\[
\max_{w\in K_{\rm check}}2\operatorname{Re}(G_c(w)^2)<0
\]

且：

\[
c^TM_{\rm arithmetic}c>\delta>0.
\]

密集網格最大區塊由 \(-1.08\times10^{-8}\) 改善至 \(-5.92\times10^{-5}\)。選定的 \(R=3.0\) 候選具有：

\[
Q_\infty\approx0.1494534760,
\qquad
Q_{\rm fin}\approx-0.1002785731,
\]

\[
Q_{\rm total}\approx0.04917490294.
\]

矩陣計算與直接從合成測試函數重算的總差異約為：

\[
4.86\times10^{-16}.
\]

這表示兩個原型已在浮點層級完成正規化對接；但仍未完成連續矩形區間證書與算術區間 PSD。

## 8. 網格敏感度

在選定的 \\(R=3.0\\) 上，將時域積分網格改為 1601、2401、3201 點後，密集矩形最大區塊皆維持於：

\\[
-2.30782\\times10^{-5}
\\]

附近；算術值則位於：

\\[
0.04917\sim0.04951.
\\]

三次皆保持交集可行。這只構成浮點收斂證據，仍不是區間證明。