# PSD Gram 分帶全域支配：RH 交叉項增益與軸帶轉移障礙

版本：v0.2  
日期：2026-07-24  
研究型態：半 AI 自主數學研究  
技術研究主導與本輪判斷：OpenAI Codex（AI 研究協作者）  
研究場域、授權與審閱脈絡：Neo.K / EveMissLab

## 摘要

上一節點已經建立一個覆蓋

$$
\Omega=[20,20.5]\times[-0.2,-0.1]
$$

的 $18$ 格自適應有理矩形族，並在不使用任何已知 zeta 零點縱座標作為擬合資料的條件下，產生 $72$ 條可容許 rank-one 測試函數射線。當時的主要現象是：對角非負錐的第一階段幾乎總選擇單一極射線，多測試函數只在 guard shaping 上提供有限幫助。因此本輪執行上一節點預定的升級：保留分帶與覆蓋，但把

$$
A=\sum_{k=1}^{72}\lambda_kv_kv_k^{\mathsf T},
\qquad \lambda_k\ge0
$$

的對角射線錐，替換為 $22$ 維受限座標空間中的 PSD Gram 變數

$$
A\succeq0.
$$

本輪得到三個清楚但彼此不同的結論。

第一，交叉項有真實作用。相對於 $72$ 射線對角基線，full-Gram 解把零點位置無關的「軸帶上確界乘計數上界，加上尾項」樣本預算降低 $10.89\%$ 至 $28.66\%$，平均降低 $21.08\%$；$18$ 格的前 $50$ 個已知零點 holdout 質量也全部下降。full-Gram 主方向與最近的舊射線，在 $C_0$ 白化度量下仍相差 $29.22^\circ$ 至 $70.15^\circ$。這表示改善不是原候選庫內的微小重新加權，而是新線性組合所形成的相位整形。

第二，改善不是由高 rank 混合造成。對四個代表格分別要求 rank $1,2,4,8$，所有輸出都數值塌縮到 rank one；同一格四次的目標值差異不超過 $2.0\times10^{-9}$。因此目前所見的機制是「full space 中的新 rank-one 方向」，不是「多模態 PSD 混合」。

第三，也是決定下一步的關鍵：這個改善遠不足以接近全域預算。full-Gram 樣本預算仍落在 $64.60$ 至 $142.73$，而目標是小於 $1$；加入浮點梯度與二階包絡的軸帶連續修正後，更落在 $89.77$ 至 $354.16$。在五個軸帶中，$[18,23]$ 對全部 $18$ 格都是最大費用來源，平均占樣本目標 $61.73\%$。所以本輪不建議再無方向地增加 rank、射線數或格點密度，而應轉入 dual 問題：證明或反證「目標區中的單位負方向必迫使 $[18,23]$ 上出現多少正質量」。

本稿不是 RH 證明，也不是全域零點側證書。執行環境沒有凸 SDP 求解器；本輪以

$$
A=LL^{\mathsf T}
$$

配合 multi-start SLSQP，因而只保證 PSD 的構造形式，不聲稱找到凸 SDP 的全域最優值。所有連續包絡、零點計數輪廓與尾界仍是 E2 浮點研究物件。

## 一、研究問題的精確化

### 1.1 從「多測試函數」到「Gram 幾何」

設 $\psi$ 是支撐在 $[-R,R]$ 的實偶函數，這裡固定 $R=3$，並令

$$
G(z)=\int_{-R}^{R}\psi(t)e^{izt}\,dt.
$$

舊節點使用多個既定候選 $\psi_k$ 的非負組合。若以受限座標向量 $v_k$ 表示候選，對角錐只允許

$$
A\in\mathcal C_{\mathrm{diag}}
=\left\{
\sum_k\lambda_kv_kv_k^{\mathsf T}:\lambda_k\ge0
\right\}.
$$

這個集合雖然包含多測試函數組合，但不允許任意兩個座標方向之間的交叉項。本輪改用

$$
\mathcal C_{\mathrm{Gram}}=\mathbb S_+^{22},
$$

所以表示能力上有

$$
\mathcal C_{\mathrm{diag}}\subseteq\mathcal C_{\mathrm{Gram}}.
$$

這個包含關係是代數事實；但由於本輪以固定 rank 因子化做非凸搜尋，數值輸出不能被解讀為完整凸錐的最優解。

### 1.2 結構限制與資料隔離

原始離散模型有 $24$ 個實偶緊支撐多項式 bump。只施加兩個結構零點：

$$
G(0)=0,
\qquad
G(i/2)=0.
$$

在 $C_0$ 白化後得到 $22$ 維座標。這兩個條件不是 zeta 非平凡零點資料。前 $50$ 個已知非平凡零點縱座標只在最佳化完成後計算 holdout：

$$
H_{50}(A)=\sum_{m=1}^{50}H_A(\gamma_m).
$$

它們不進入候選生成、目標函數、限制式、切平面交換或 rank 選擇。

## 二、PSD block 與實軸正性

令 $g(z)\in\mathbb C^{22}$ 是受限基底在 $z$ 的 Fourier transform row，並取

$$
A=LL^{\mathsf T}\succeq0.
$$

若 $L$ 的欄向量為 $\ell_r$，定義

$$
\Phi_r(z)=g(z)^{\mathsf T}\ell_r.
$$

本輪使用的偏軸 block 是

$$
B_A(z)
=2\operatorname{Re}\!\left(g(z)^{\mathsf T}Ag(z)\right)
=2\sum_r\operatorname{Re}\!\left(\Phi_r(z)^2\right).
$$

在實軸上，由實偶結構可得 $\Phi_r(x)\in\mathbb R$，因此

$$
H_A(x)
=g(x)^{\mathsf T}Ag(x)
=\sum_r|\Phi_r(x)|^2
\ge0.
$$

這正是 PSD Gram 形式的兩面性：偏軸上可以利用平方的相位使實部為負；回到實軸後則形成不可忽略的非負質量。

每個目標格 $P$ 要求

$$
B_A(z)\le-1,
\qquad z\in P.
$$

這個單位尺度固定後，實軸費用不能再靠整體縮放消失。

## 三、零點位置無關的分帶目標

### 3.1 五個軸帶

本輪不把已知零點逐點放進目標，而把 $[14,145]$ 分成：

| 帶 | 區間 | 浮點計數上界輪廓 |
|---|---:|---:|
| $A_0$ | $[14,18]$ | $6.6657984212$ |
| $A_1$ | $[18,23]$ | $7.1139985988$ |
| $A_2$ | $[23,35]$ | $9.2128459607$ |
| $A_3$ | $[35,70]$ | $18.2316247098$ |
| $A_4$ | $[70,145]$ | $40.4069834843$ |

對每個帶 $I_j$，以 $u_j$ 控制

$$
H_A(x)\le u_j,
\qquad x\in I_j.
$$

樣本版零點位置無關預算為

$$
\mathcal M_{\mathrm{samp}}(A)
=\langle T,A\rangle
+\sum_{j=0}^{4}\widehat N_j
\max_{x\in\mathcal G_j}H_A(x),
$$

其中 $\mathcal G_j$ 是帶內步長 $0.05$ 的密格，$\langle T,A\rangle$ 是 $145$ 以上的尾項原型。

### 3.2 尾項

由兩次分部積分的原型估計，

$$
|G(\gamma)|
\le
\frac{\int_{-R}^{R}|\psi''(t)|\,dt}{\gamma^2}.
$$

再以 Cauchy–Schwarz 把 $L^1$ 二階導數改為 $L^2$ 型二次形式，並乘上浮點零點密度輪廓，可寫成

$$
\mathcal T(A)=\langle T,A\rangle.
$$

此處的 $T$ 是可重播的浮點矩陣，不是已完成區間封裝的形式證書。

### 3.3 兩階段最佳化

第一階段最小化

$$
\mathcal M_{\mathrm{samp}}(A)
$$

並要求核心負性及算術底線

$$
\langle Q_{\mathrm{arith}},A\rangle\ge10^{-3}.
$$

第二階段在

$$
\mathcal M_{\mathrm{samp}}(A)
\le1.05\,\mathcal M_{\mathrm{stage\,1}}
$$

下最小化 guard 的正上界。核心先用 $9\times7$ 格點，軸帶先用步長 $0.5$；每輪在 $161\times121$ 核心密格與步長 $0.05$ 軸帶密格上找最壞點，並把每一個違規軸帶的最壞點加入 active set。

## 四、連續性稽核

### 4.1 為何不能只報密格

單純聲稱

$$
\max_{z\in\mathcal G_P}B_A(z)<0
$$

不能排除格點之間的正尖峰。初版全域 $L^1$ 一階導數上界過度鬆弛，錯誤地把 $18$ 格中的 $8$ 格標成「無法確認」。這不是核心密格真的出現正值，而是估計器太粗。

### 4.2 梯度加二階包絡

本輪保留粗估計供稽核，同時新增實際網格梯度。若核心格距為 $\Delta x,\Delta y$，先計算

$$
\partial_x B_A(z)
=4\operatorname{Re}\sum_r\Phi_r(z)\Phi_r'(z),
$$

$$
\partial_y B_A(z)
=4\operatorname{Re}\sum_r\Phi_r(z)i\Phi_r'(z).
$$

再以支撐半徑、$\|\psi\|_1$、$\|t\psi\|_1$ 與 $\|t^2\psi\|_1$ 建立 Hessian 浮點包絡，把格點梯度最大值延伸到整個 cell。最終核心上界為

$$
U_P
=\max_{\mathcal G_P}B_A
+\frac{\Delta x}{2}\widehat L_x
+\frac{\Delta y}{2}\widehat L_y.
$$

結果是全部 $18$ 格通過，且

$$
-0.9923\le U_P\le-0.9606.
$$

同理，實軸帶使用 $H_A'$ 的樣本最大值加 $H_A''$ 包絡，得到

$$
u_j^{\mathrm{corr}}
=u_j^{\mathrm{samp}}
+\frac{h_j}{2}
\left(
\max_{\mathcal G_j}|H_A'|
+\frac{h_j}{2}\widehat M_{2,A}
\right).
$$

這個修正在部分高 $x$ 格很大，顯示二階包絡仍保守；但即使完全不加此修正，樣本預算離 $1$ 也至少差 $64.60$ 倍，所以它不會改變本輪的方向判定。

## 五、數值結果

### 5.1 全部 $18$ 格

下表的「對角」是 $72$ 射線 LP，「Gram」是 full $22$ 維 factorized PSD 搜尋；「修正」是加入軸帶連續包絡後的預算；$A_1$ 是 $[18,23]$ 帶的樣本費用。

| 格 | 對角樣本預算 | Gram 樣本預算 | 降幅 | 修正預算 | $A_1$ 費用 | holdout | guard |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| `X0_Y0` | $79.253$ | $67.833$ | $14.41\%$ | $89.771$ | $43.383$ | $4.719$ | $0.000$ |
| `X1_Y0` | $81.587$ | $64.604$ | $20.82\%$ | $117.455$ | $39.542$ | $5.194$ | $0.000$ |
| `X2_Y0` | $88.359$ | $65.415$ | $25.97\%$ | $174.361$ | $38.439$ | $5.506$ | $0.000$ |
| `X0_Y1` | $160.168$ | $142.731$ | $10.89\%$ | $184.840$ | $94.699$ | $10.666$ | $0.198$ |
| `X1_Y1` | $169.096$ | $137.791$ | $18.51\%$ | $207.393$ | $90.156$ | $12.341$ | $0.213$ |
| `X2_Y1` | $186.421$ | $140.140$ | $24.83\%$ | $266.293$ | $89.697$ | $12.625$ | $0.213$ |
| `x0_Y2` | $108.648$ | $90.564$ | $16.65\%$ | $118.136$ | $57.893$ | $5.767$ | $0.000$ |
| `x1_Y2` | $102.932$ | $87.343$ | $15.15\%$ | $116.940$ | $55.339$ | $6.386$ | $0.000$ |
| `x2_Y2` | $105.775$ | $84.452$ | $20.16\%$ | $134.969$ | $52.227$ | $6.736$ | $0.000$ |
| `x3_Y2` | $109.426$ | $82.850$ | $24.29\%$ | $170.430$ | $49.349$ | $6.764$ | $0.000$ |
| `x4_Y2` | $114.605$ | $83.114$ | $27.48\%$ | $228.466$ | $48.118$ | $6.828$ | $0.000$ |
| `x5_Y2` | $120.882$ | $86.232$ | $28.66\%$ | $245.807$ | $50.968$ | $7.246$ | $0.000$ |
| `x0_Y3` | $156.532$ | $130.567$ | $16.59\%$ | $170.308$ | $83.496$ | $8.317$ | $0.000$ |
| `x1_Y3` | $148.288$ | $125.969$ | $15.05\%$ | $168.855$ | $79.829$ | $9.209$ | $0.000$ |
| `x2_Y3` | $152.418$ | $121.867$ | $20.04\%$ | $195.279$ | $75.371$ | $9.719$ | $0.000$ |
| `x3_Y3` | $157.687$ | $119.618$ | $24.14\%$ | $246.362$ | $71.253$ | $9.763$ | $0.000$ |
| `x4_Y3` | $165.027$ | $120.021$ | $27.27\%$ | $328.030$ | $69.508$ | $9.867$ | $0.000$ |
| `x5_Y3` | $174.067$ | $124.453$ | $28.50\%$ | $354.164$ | $73.570$ | $10.459$ | $0.000$ |

整體統計是

$$
\operatorname{mean}
\left(
\frac{\mathcal M_{\mathrm{diag}}-\mathcal M_{\mathrm{Gram}}}
{\mathcal M_{\mathrm{diag}}}
\right)
=0.2107757.
$$

最小與最大改善分別為

$$
0.1088656
\quad\text{與}\quad
0.2866441.
$$

### 5.2 新方向不是舊射線微調

對每個 rank-one Gram 解，取其主方向 $u_P$，再與 $72$ 條白化候選方向比較

$$
\theta_P
=\min_k\arccos
\frac{|\langle u_P,v_k\rangle|}
{\|u_P\|\,\|v_k\|}.
$$

得到

$$
29.22^\circ
\le\theta_P\le
70.15^\circ,
$$

平均約為

$$
53.92^\circ.
$$

因此 full Gram 的改善確實來自候選字典外的新方向。

### 5.3 rank sweep

| 格 | rank $1$ | rank $2$ | rank $4$ | rank $8$ | 輸出數值 rank |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| `X1_Y0` | $64.6038463421$ | $64.6038463420$ | $64.6038463422$ | $64.6038463424$ | $1$ |
| `X1_Y1` | $137.7908257036$ | $137.7908257022$ | $137.7908257027$ | $137.7908257017$ | $1$ |
| `x2_Y2` | $84.4520409177$ | $84.4520409182$ | $84.4520409179$ | $84.4520409177$ | $1$ |
| `x2_Y3` | $121.8674577314$ | $121.8674577313$ | $121.8674577310$ | $121.8674577312$ | $1$ |

這不能證明凸 SDP 最優解必為 rank one，但它否定了「目前只是 rank 不夠」這個最直接的解釋。

### 5.4 軸帶費用分解

| 軸帶 | 樣本費用範圍 | 平均費用 | 平均目標占比 | 成為最大帶的格數 |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $[14,18]$ | $1.733$–$7.092$ | $4.001$ | $3.98\%$ | $0$ |
| $[18,23]$ | $38.439$–$94.699$ | $64.602$ | $61.73\%$ | $18$ |
| $[23,35]$ | $11.896$–$28.868$ | $19.573$ | $18.70\%$ | $0$ |
| $[35,70]$ | $0.148$–$1.174$ | $0.487$ | $0.49\%$ | $0$ |
| $[70,145]$ | $0.0147$–$0.0353$ | $0.024$ | $0.02\%$ | $0$ |

尾項平均占 $15.09\%$。這個分解把問題從模糊的「全域洩漏太大」收斂成一個局部解析問題：在 $\operatorname{Re}z\approx20$ 的偏軸區域製造負平方實部，會在其正下方的實軸鄰域留下多大的不可避免正質量？

## 六、部分預算與未封閉的邏輯

本輪報告的部分餘量是

$$
\Delta_{\mathrm{partial}}
=1-\mathcal M(A)
-\max\!\left(0,\sup_{\mathrm{guard}}B_A\right).
$$

樣本版範圍為

$$
-141.9299
\le
\Delta_{\mathrm{partial}}^{\mathrm{samp}}
\le
-63.6038,
$$

連續修正版範圍為

$$
-353.1636
\le
\Delta_{\mathrm{partial}}^{\mathrm{corr}}
\le
-88.7713.
$$

全部為負。更重要的是，這些仍不是完整零點側預算，因為它們沒有加入：

1. 其他未知偏軸零點帶的有號費用；
2. 目標矩形內確實存在零點的 argument-principle 或 winding 證書；
3. 顯式公式全部項的區間化算術封裝；
4. 由局部條件提升到全臨界帶判定的形式推理。

所以

$$
\texttt{global\_certificate\_pass}=\mathrm{false}
$$

不是保守標籤，而是本輪正確的邏輯狀態。

## 七、對上一節點問題的回答

上一節點問：在「分帶、多測試函數、覆蓋式證書族」之後，full PSD Gram 是否可能靠交叉項突破？

答案應拆成兩句。

第一句是肯定的：

$$
\text{交叉項提供了穩定且可重播的 }10.9\%\text{–}28.7\%\text{ 改善。}
$$

第二句是否定的：

$$
\text{這個改善沒有把全域部分預算帶到同一數量級。}
$$

因此「分帶、多測試函數、覆蓋式證書族」是對的研究分解，但它不是最後缺少的自由度。分帶揭露了真正的瓶頸；full Gram 則排除了「只是候選射線太少」的簡單解釋。

## 八、下一節點：dual 軸帶—目標區轉移證書

### 8.1 為何現在應改做 dual

目前最好的樣本預算仍為

$$
64.6038>1.
$$

在這種尺度差下，繼續把 rank 從 $8$ 加到 $16$、把 $72$ 條射線擴成更多局部變體，或單純把網格再加密，最多可能改善 primal 上界，卻無法回答「這個函數類是否原理上就不可能小於 $1$」。

真正需要的是可驗證的下界。

### 8.2 有限維 dual 形式

令

$$
C(z)=2\operatorname{Re}\!\left(g(z)g(z)^{\mathsf T}\right),
\qquad
P(x)=g(x)g(x)^{\mathsf T}.
$$

則核心限制與軸質量分別是

$$
\langle C(z),A\rangle\le-1,
\qquad
\langle P(x),A\rangle=H_A(x).
$$

對每個帶選取機率測度 $\mu_j$，其中

$$
\mu_j\ge0,
\qquad
\mu_j(I_j)=1.
$$

因為上確界大於平均，

$$
\widehat N_j\sup_{x\in I_j}H_A(x)
\ge
\widehat N_j\int_{I_j}H_A(x)\,d\mu_j(x).
$$

所以任何矩陣

$$
M_\mu
=T+\sum_j\widehat N_j
\int_{I_j}P(x)\,d\mu_j(x)
$$

都給出

$$
\mathcal M(A)\ge\langle M_\mu,A\rangle.
$$

若只取一個核心點 $z_0$，並能證明某個 $\eta>1$ 使

$$
M_\mu+\eta C(z_0)\succeq0,
$$

那麼對所有 $A\succeq0$ 且

$$
\langle C(z_0),A\rangle\le-1
$$

都有

$$
\mathcal M(A)
\ge\langle M_\mu,A\rangle
\ge-\eta\langle C(z_0),A\rangle
\ge\eta
>1.
$$

這就是所需的軸帶—目標區轉移障礙。更強的版本可對多個核心點取非負乘子 $\eta_q$：

$$
M_\mu+\sum_q\eta_q C(z_q)\succeq0.
$$

這個 dual 證書有兩個優點：

1. 它直接提供 primal 最佳值的下界，而不是再提供一個新的上界候選；
2. 權重若集中到 $[18,23]$，就能檢驗本輪觀察到的主導帶究竟是演算法偶然，還是解析延拓的必然代價。

### 8.3 下一節點的成功與停止條件

下一節點暫定為

`RH_Axis_Target_Transfer_Dual_Obstruction_v0.3`。

成功條件分兩級：

- E2 成功：在全部 $18$ 格上找到穩定的 floating dual 下界，並在網格細化與權重擾動下不崩解；
- 可提升成功：把矩陣、權重、核心乘子與最小特徵值餘量有理化或區間化，形成可驗證 dual 證書。

停止條件也要明確：

- 若每格都能得到大於 $1$ 的 dual 下界，則目前 $R=3$、兩個結構零點、$22$ 維函數類在該分帶預算下應被視為已遭否決，下一步改變支撐或函數類；
- 若 dual 下界始終明顯小於 $1$，則 primal 還有理論空間，此時才有理由回頭引入真正凸 SDP 求解器、更完整 rank 或新的字典；
- 若只有 $[18,23]$ 的 dual 權重足以推高下界，則把全域問題局部化為該帶的解析不確定性原理。

## 九、可信度與主張邊界

本輪可以主張：

1. 在保存的浮點離散模型內，full-Gram 候選是構造性 PSD；
2. $18$ 格全部通過密核心與梯度加 Hessian 的浮點負性稽核；
3. 相對對角基線的改善、holdout 下降、rank collapse 與 $A_1$ 主導現象可由保存輸出重算；
4. 下一步改做 dual 下界，比繼續無方向擴張 primal 更有研究資訊量。

本輪不能主張：

1. 已找到凸 SDP 全域最優解；
2. 已完成精確積分或區間算術；
3. 已完成嚴格零點計數與尾界證書；
4. 已處理所有未知偏軸零點；
5. 已證明目標矩形包含零點；
6. 已得到 RH、非 RH、或任何 RH 等價命題的證明。

## 十、結論

本輪最重要的產物不是又一組較好的數字，而是把機制分開了：

$$
\text{舊射線限制}
\quad\longrightarrow\quad
\text{full-space 相位整形可改善},
$$

但

$$
\text{高 rank 不足}
\quad\not\approx\quad
\text{目前主瓶頸}.
$$

真正的主瓶頸集中在

$$
[18,23]
$$

這個與目標高度重疊的實軸帶。當 $[18,23]$ 單帶費用在所有 $18$ 格都已遠大於 $1$ 時，下一個有價值的問題不再是「還能不能再找到更好的函數」，而是：

$$
\boxed{
\text{偏軸單位負性究竟強迫多少鄰近實軸正質量？}
}
$$

如果這個轉移量可以 dual 證書化，研究就會第一次得到一個可否證、可停止、也可指引函數類改造的結構性判準。