# Paley–Wiener 軸核極值 ## RH 連續核對偶、原子障礙與二階 Schur 證書化 版本：v0.6 日期：2026-07-25 研究模式：半 AI 自主數學研究 技術研究主導：OpenAI Codex 研究現場授權與審閱：Neo.K / EveMissLab ## 摘要 本節點承接 v0.5 的 axis-notch co-design。父節點證明：若 notch 只以齊次 constraints 縮小既有 finite Gram space，就不可能改善原空間的 primal feasibility；外部 spectral lifts 與 27 組 local bump geometries 雖有 $1\%$ 至 $4\%$ 改善，joint safe dual bounds 仍大於 $1$。因此 v0.6 不再尋找另一批字典，而是把問題提升到 compact-support entire functions 的連續 Hilbert-space extremal。 本稿選擇 real-even clamped space $$ \mathcal H_R^0 \subset H_0^2(-R,R;\mathbb R), $$ 以 $$ \langle\psi,\phi\rangle_T =\kappa_R\int_{-R}^{R}\psi''(t)\phi''(t)\,dt $$ 作為 tail inner product，並施加 $$ G_\psi(0)=G_\psi(i/2)=0. $$ 有限 multi-test Gram matrix被提升為 $\mathcal H_R^0$ 上的 positive trace-class operator。實軸 evaluation 產生 positive rank-one operator， 偏軸 evaluation 則產生 $$ C_z=2(u_z\otimes u_z-v_z\otimes v_z), $$ 所以五軸帶 supremum 與核心 negativity 的 dual 自然成為 probability measures。本文證明：若 $$ I+\sum_jN_j\int P_x\,d\mu_j(x) +\alpha\int C_z\,d\nu(z)\succeq0, $$ 則 continuous primal value 至少為 $\alpha$。這個 weak-duality obstruction 不需要 strong duality。 本節點另導出一軸點、一核心點 extremal 的 rank-two closed form，並給出 clamped bi-Laplacian Green kernel與結構零點投影。數值部分使用兩條獨立 路徑： 1. nested clamped-even Chebyshev–Galerkin spaces； 2. 直接解 $\kappa_Rk''''=f$ 的 Green ODE solver。 在 simplified point test 中，raw-dimension-192 Galerkin 值與 direct Green 值只差約 $1.05\times10^{-9}$。五帶 joint dual 從 effective dimension $22$ 時的 $7.7882$ 單調下降，在 dimension $190$ 時到 $1.132475$。更關鍵的是：最後的 58 個軸原子與 2 個核心原子被直接移入 continuous Green RKHS 後，dictionary-independent floating threshold 收斂到 $$ 1.1324411997. $$ 在 $$ \alpha_{\rm safe}=1.0662376054 $$ 時，continuous-kernel finite-span matrix 的 minimum eigenvalue 約 $0.2568266$。 由於核心測度只有兩個原子，將 60 個 positive directions 吸收後，無限維 PSD 判定等價於一個 $2\times2$ Schur matrix PSD。最後再把 supports、 weights 與 target alpha 有理化，固定 $$ \alpha_\star=\frac{21}{20}=1.05. $$ 此 rational candidate 的 floating Schur minimum 為 $$ 0.0698852338. $$ 因此 v0.6 停止 dictionary 與 Galerkin expansion。下一節點只需對顯式 Green-kernel pairings、positive $60\times60$ solve 與 final $2\times2$ Schur matrix 做 interval enclosure。 本節點建立的是 continuous-kernel floating obstruction，不是 interval-certified analytic certificate，更不是 RH 證明或反證。 ## 1. 從有限字典障礙到連續問題 ### 1.1 v0.5 留下的真正問題 v0.5 的最強結論不是某一組 notch 失敗，而是有限空間內的單調性： $$ V'\subseteq V \Longrightarrow \mathcal F(V')\subseteq\mathcal F(V). $$ 若父 PSD Gram 已搜尋完整 $V$，那麼加入 $$ G(a)=0,\qquad G'(a)=0 $$ 只會刪除 directions，不會創造新 feasible point。這迫使研究路線做出 選擇： - 繼續加入外部 atoms，但無法判斷何時才足夠； - 或直接定義包含所有 admissible directions 的 continuous space。 v0.6 選擇後者。這不是把數值問題抽象化後逃離計算，而是要回答最核心的 可辨識問題： > v0.5 的 $\alpha>1$ 是 local bump dictionary 的人工障礙，還是 compact > support 與 axis/core geometry 本身已在連續空間形成 separation？ ### 1.2 為何使用 clamped $H_0^2$ compact support 的 Fourier transform自然進入 Paley–Wiener-type entire function framework。另一方面，父研究鏈的 tail penalty 由 $\psi''$ quadratic form 控制。因此選擇 $$ H_0^2(-R,R) $$ 有三個直接優點： 1. 以零延拓後保留 value/slope boundary compatibility； 2. $\|\psi''\|_{L^2}$ 在 clamped domain 上是 norm； 3. tail quadratic form 可直接變成 Hilbert identity。 本稿不是宣稱所定義空間等同某個未加權標準 $PW_R^2$。更精確地說，它是 compact-support Sobolev domain 經 Fourier transform所得的 Paley–Wiener-type Hilbert space。 ## 2. Continuous tail space 固定 $R=16$。令 $$ \mathcal H_R =\left\{ \psi\in H_0^2(-R,R;\mathbb R): \psi(t)=\psi(-t) \right\}. $$ clamped traces 為 $$ \psi(\pm R)=\psi'(\pm R)=0. $$ 定義 $$ \langle\psi,\phi\rangle_T =\kappa_R\int_{-R}^{R} \psi''(t)\phi''(t)\,dt, $$ 其中 $\kappa_R$ 沿用父研究鏈的 floating tail scale： $$ \kappa_R=2R\,\tau_R. $$ 由 clamped Poincaré inequality，$\|\psi''\|_2$ 控制 $\|\psi\|_2$ 與 $\|\psi'\|_2$。因此對 fixed $z=x+iy$， $$ \left| \int_{-R}^{R}\psi(t)e^{izt}\,dt \right| \le C(R,z)\|\psi\|_{\mathcal H_R}. $$ 所以 $$ G_\psi(z) =\int_{-R}^{R}\psi(t)e^{izt}\,dt $$ 是 bounded linear functional，並由 compact support 生成 exponential type 至多 $R$ 的 entire function。 結構零點定義 closed subspace $$ \mathcal H_R^0 =\left\{ \psi\in\mathcal H_R: G_\psi(0)=G_\psi(i/2)=0 \right\}. $$ 因 $\psi$ even， $$ G_\psi(0)=\int_{-R}^{R}\psi(t)\,dt, $$ $$ G_\psi(i/2) =\int_{-R}^{R}\psi(t)\cosh(t/2)\,dt. $$ ## 3. Evaluation operators ### 3.1 Real axis 由 Riesz representation，對每個 real $x$ 存在唯一 $p_x\in\mathcal H_R^0$，使 $$ \langle\psi,p_x\rangle_T=G_\psi(x). $$ 令 $$ P_x=p_x\otimes p_x. $$ 則 $$ \langle\psi,P_x\psi\rangle_T =G_\psi(x)^2\ge0. $$ ### 3.2 Off-axis core 對 $z=x+iy$，even symmetry 給出 $$ \operatorname{Re}G_\psi(z) =\int_{-R}^{R} \psi(t)\cos(xt)\cosh(yt)\,dt, $$ $$ \operatorname{Im}G_\psi(z) =-\int_{-R}^{R} \psi(t)\sin(xt)\sinh(yt)\,dt. $$ 令 $u_z,v_z$ 為兩個 real Riesz representers。則 $$ 2\operatorname{Re}G_\psi(z)^2 =2\left[ \langle\psi,u_z\rangle_T^2 -\langle\psi,v_z\rangle_T^2 \right]. $$ 所以核心 operator 恰為 $$ C_z =2\left( u_z\otimes u_z-v_z\otimes v_z \right). $$ 這個 rank-two identity 是整個 continuous reduction 的核心：偏軸負方向 不是一個大型未知 operator，而只來自 imaginary evaluation representer。 ## 4. Positive trace-class primal 有限 PSD Gram matrix可視為 finite-rank positive operator。連續化後考慮 $$ A\succeq0,\qquad A\in\mathcal S_1(\mathcal H_R^0). $$ 固定五帶 $$ \mathcal A_0=[14,18],\quad \mathcal A_1=[18,23],\quad \mathcal A_2=[23,35], $$ $$ \mathcal A_3=[35,70],\quad \mathcal A_4=[70,145], $$ 以及 v0.5 困難 patch $$ \mathcal P =[20.395,20.42]\times[-0.10625,-0.1]. $$ 引入 epigraph variables $s_j$，定義 primal： $$ \begin{aligned} \Lambda_R=\inf\quad& \operatorname{Tr}(A) +\sum_{j=0}^{4}N_js_j\\ \text{subject to}\quad& \operatorname{Tr}(P_xA)\le s_j \quad\forall x\in\mathcal A_j,\\ & \operatorname{Tr}(C_zA)\le-1 \quad\forall z\in\mathcal P,\\ &A\succeq0. \end{aligned} $$ $\operatorname{Tr}(A)$ 就是 tail objective，因為 tail quadratic form 已被 內積化。 ## 5. Measure dual weak theorem 令 $\mu_j$ 為 $\mathcal A_j$ 上的 probability measures，$\nu$ 為 $\mathcal P$ 上的 probability measure。假設存在 $\alpha>0$ 使 $$ W_\alpha =I+\sum_{j=0}^{4}N_j \int_{\mathcal A_j}P_x\,d\mu_j(x) +\alpha \int_{\mathcal P}C_z\,d\nu(z) \succeq0. $$ 對每個 primal-feasible $A$， $$ 0\le\operatorname{Tr}(W_\alpha A). $$ 又因 probability normalization 與 primal inequalities， $$ \begin{aligned} \operatorname{Tr}(W_\alpha A) &=\operatorname{Tr}(A) +\sum_jN_j \int\operatorname{Tr}(P_xA)\,d\mu_j(x)\\ &\quad+\alpha \int\operatorname{Tr}(C_zA)\,d\nu(z)\\ &\le \operatorname{Tr}(A)+\sum_jN_js_j-\alpha. \end{aligned} $$ 因此 $$ \Lambda_R\ge\alpha. $$ 這個定理只使用 weak duality。即使 infinite-dimensional strong duality 尚未建立，一個 dual-feasible witness 仍足以排除 $\Lambda_R<\alpha$。 這也解釋為何 dual axis grid 沒有 v0.4 primal coarse-grid false escape 的 同一問題：一個 atomic $\mu_j$ 在任意合法實軸位置都是真正的 continuous probability measure；它不需要覆蓋整個 band 才能提供 lower bound。 ## 6. 一軸點、一核心點閉式模型 ### 6.1 Generalized rank-two eigenvalue 固定 $x,z,N$。令 $$ B=I+Np_x\otimes p_x. $$ 考慮 $$ \inf_{A\succeq0} \left\{ \operatorname{Tr}(BA): \operatorname{Tr}(C_zA)\le-1 \right\}. $$ 令 $$ \widehat u=B^{-1/2}u_z,\qquad \widehat v=B^{-1/2}v_z $$ 及 $$ a=\|\widehat u\|^2,\quad b=\|\widehat v\|^2,\quad c=\langle\widehat u,\widehat v\rangle. $$ 因 $$ B^{-1/2}C_zB^{-1/2} =2\left( \widehat u\otimes\widehat u -\widehat v\otimes\widehat v \right), $$ 其非零 eigenvalues 為 $$ \lambda_\pm =(a-b)\pm \sqrt{(a+b)^2-4c^2}. $$ 若 $\lambda_-<0$，最佳 PSD operator 可取 most-negative eigendirection 上的 rank one，因此 $$ \Lambda(x,z;N) =-\frac1{\lambda_-}. $$ 亦即 $$ \Lambda(x,z;N) = \frac1{ \sqrt{(a+b)^2-4c^2}-(a-b) }. $$ ### 6.2 六個 kernel numbers Sherman–Morrison 給出 $$ B^{-1} =I-\frac{N}{1+N\|p_x\|^2} p_x\otimes p_x. $$ 所以 $$ a =\|u_z\|^2 -\frac{N\langle p_x,u_z\rangle^2} {1+N\|p_x\|^2}, $$ $$ b =\|v_z\|^2 -\frac{N\langle p_x,v_z\rangle^2} {1+N\|p_x\|^2}, $$ $$ c =\langle u_z,v_z\rangle -\frac{ N\langle p_x,u_z\rangle \langle p_x,v_z\rangle }{ 1+N\|p_x\|^2 }. $$ 因此 simplified problem 完全由 $$ \|p\|^2,\ \|u\|^2,\ \|v\|^2,\ \langle u,v\rangle,\ \langle p,u\rangle,\ \langle p,v\rangle $$ 決定。 ### 6.3 數值結論 固定 patch center $$ z_c=20.4075-0.103125i. $$ 對五帶逐點掃描後，最佳 single-point lower bounds 為 $$ 0.111322,\quad 0.261253,\quad 0.111224,\quad 0.111034,\quad 0.111031. $$ 全部低於 $1$。$A_1$ 的確最強，但它單獨不足以產生 obstruction。v0.5 反覆看到的阻擋必須來自多帶聯合，而不是單一 target-near peak。 ## 7. Clamped Green kernel ### 7.1 Explicit kernel 令 $$ L=2R,\quad \xi=s+R,\quad \eta=t+R, $$ $$ a=\min(\xi,\eta),\quad b=\max(\xi,\eta). $$ 對未施加結構零點的 clamped space， $$ K_{\rm cl}(s,t) =\frac{ a^2(L-b)^2 \left[3bL-(L+2b)a\right] }{ 6L^3\kappa_R }. $$ 它在 $s=t$ 前後是 cubic polynomial，前三階匹配到 $K,K',K''$，而第三導數 jump 使 $$ \kappa_R\partial_s^4K_{\rm cl}(s,t) =\delta_t(s). $$ 兩端滿足 $$ K_{\rm cl}=0,\qquad \partial_sK_{\rm cl}=0. $$ ### 7.2 Structural projection 令 $$ c_0(t)=1,\qquad c_1(t)=\cosh(t/2). $$ 以 $k_f$ 表示 density $f$ 的 clamped representer。結構 Gram 為 $$ M_{ij} =\langle k_{c_i},k_{c_j}\rangle_T. $$ 對任意兩個 densities $f,g$，投影到 $G(0)=G(i/2)=0$ subspace 後， $$ \Gamma(f,g) =\langle k_f,k_g\rangle_T -b_f^\mathsf TM^{-1}b_g, $$ 其中 $$ b_f =\begin{pmatrix} \langle k_{c_0},k_f\rangle_T\\ \langle k_{c_1},k_f\rangle_T \end{pmatrix}. $$ 所以所有 continuous inner products 都被化為顯式 Green integrals與一個 $2\times2$ projection。 ### 7.3 Independent ODE evaluation 程式沒有直接建立巨大 Green matrix，而是對 density $f$ 解 $$ \kappa_Rk''''=f. $$ 取左端為 $a=-R$，particular solution 為 $$ k_p(t) =\frac1{6\kappa_R} \int_a^t(t-s)^3f(s)\,ds. $$ 再加 $$ c_2(t-a)^2+c_3(t-a)^3 $$ 以滿足右端 value/slope zero。integral 由四個 cumulative moments $$ \int_a^t s^mf(s)\,ds,\qquad m=0,1,2,3 $$ 重建。 這條路徑與 Chebyshev–Galerkin 的基底、whitening 與 generalized eigensolver 不相同，因此可作真正的 cross-check。 ## 8. Nested Galerkin convergence ### 8.1 Basis family 令 $u=t/R$，採 $$ \phi_n(t) =\left(1-u^2\right)^2T_{2n}(u). $$ window 使 value 與 slope 在兩端為零，even Chebyshev polynomials使空間 nested。每個 raw space 投影兩個 structural rows 後，effective dimension 減 2。 ### 8.2 Joint sequence 計算結果： | effective dimension | raw joint $\alpha$ | |---:|---:| | $22$ | $7.788239$ | | $38$ | $3.679471$ | | $62$ | $1.588306$ | | $78$ | $1.300399$ | | $94$ | $1.184647$ | | $118$ | $1.159914$ | | $142$ | $1.139122$ | | $158$ | $1.133508$ | | $174$ | $1.132795$ | | $190$ | $1.132475$ | 這個 sequence 的下降很重要。低維 $\alpha=7.79$ 顯然不是 continuous 結論；空間放大後 primal freedom 增加，dual obstruction 必須下降。到 dimension $174$、$190$ 時下降量開始縮小，但仍不能只靠平台外推。 ### 8.3 Point-kernel convergence 在 $x=20.4$、$z=z_c$： $$ \Lambda_{40}=0.8789952, $$ $$ \Lambda_{96}=0.2017878, $$ $$ \Lambda_{160}=0.1135563, $$ $$ \Lambda_{192}=0.11244168195. $$ direct Green solver在 $\Delta t=0.0025$ 給出 $$ 0.11244168090. $$ 兩者絕對差約 $$ 1.05\times10^{-9}. $$ 這顯示 raw dimension 192 已解析 target-near high-frequency direction； v0.6 後續不必靠盲目增維猜測。 ## 9. Atomic transfer to the continuous kernel ### 9.1 Frozen measures dimension 190 的 optimized measures 有： $$ 22,\ 5,\ 14,\ 9,\ 8 $$ 個五帶 axis atoms，合計 58。core measure 只支撐在 $$ (20.395,-0.1),\qquad (20.42,-0.1), $$ weights 約為 $$ 0.5917914068,\qquad 0.4082085932. $$ ### 9.2 Higher-space reconstruction 不重新最佳化 measures，只把同一 witness 放入更高 Galerkin spaces： | raw dimension | fixed-measure threshold | |---:|---:| | $192$ | $1.13247521$ | | $208$ | $1.13247311$ | | $224$ | $1.13246577$ | | $256$ | $1.13245246$ | | $288$ | $1.13244239$ | 下降持續但已很小。 ### 9.3 Direct Green reconstruction 完全移除 Galerkin dictionary 後： | time step | direct Green threshold | |---:|---:| | $0.02$ | $1.1324314430$ | | $0.01$ | $1.1324406087$ | | $0.005$ | $1.1324411657$ | | $0.0025$ | $1.1324411997$ | 因此 fixed atomic measure 在 continuous Green kernel中的 floating threshold 穩定於 $$ 1.1324412. $$ 在 $$ \alpha_{\rm safe}=1.0662376054 $$ 時， $$ \lambda_{\min}(W_{\rm safe}) =0.2568265725. $$ 這已不是某個 finite dictionary 的 PSD，而是顯式 Green pairings所定義的 continuous-kernel finite-rank operator 的 floating PSD。 ## 10. Infinite PSD to a $2\times2$ Schur test ### 10.1 Positive and negative directions 對 finite atomic witness，把 58 個 axis vectors 與兩個 core-real vectors 乘上 coefficient/weight square roots後放入 $U$。令兩個 core-imag vectors 放入 $V$。則 $$ W_\alpha =I+UU^\ast-VV^\ast. $$ 令 $$ B_\alpha=I+UU^\ast\succ0. $$ 則 $$ W_\alpha\succeq0 $$ 等價於 $$ I-V^\ast B_\alpha^{-1}V\succeq0. $$ 由 Woodbury identity， $$ B_\alpha^{-1} =I-U(I+U^\ast U)^{-1}U^\ast. $$ 因此 final certificate matrix 為 $$ S_\alpha =I-\left[ V^\ast V -V^\ast U (I+U^\ast U)^{-1} U^\ast V \right]. $$ 注意相鄰 factors 依序相乘；括號內第二項完整地是 $$ V^\ast U(I+U^\ast U)^{-1}U^\ast V. $$ 因 $V$ 只有兩個 columns， $$ S_\alpha\in\mathbb R^{2\times2}. $$ ### 10.2 Floating Schur margin 在 $\alpha_{\rm safe}$： $$ S_{\rm safe} \approx \begin{pmatrix} 0.42967760&-0.44911051\\ -0.44911051&0.59598368 \end{pmatrix}, $$ 且 $$ \lambda_{\min}(S_{\rm safe}) \approx0.05608708. $$ 這個 reduction 比直接 interval-check 一個抽象 infinite operator簡單得多： v0.7 只需要 enclosure kernel Gram、positive $60\times60$ solve 與最後的 $2\times2$ matrix。 ## 11. Rational witness ### 11.1 Why lower alpha 本節點不把 floating optimum $1.13244$ 當作 certification target。選擇 $$ \alpha_\star=\frac{21}{20}=1.05 $$ 保留 $$ 0.05 $$ 的 lower-bound margin，同時增加 PSD buffer。 ### 11.2 Exact finite data 每一組 probability weights 轉成 denominator $$ 10^{12} $$ 的 integers，並用 largest-remainder rule 使每組 numerators 精確加總。 axis/core locations 轉成 decimal rationals。兩個 core points 為 $$ \left(\frac{4079}{200},-\frac1{10}\right), $$ $$ \left(\frac{1021}{50},-\frac1{10}\right). $$ core weights 為 $$ \frac{591791406771}{10^{12}}, \qquad \frac{408208593229}{10^{12}}. $$ ### 11.3 Rationalized floating audit 在 $\alpha_\star=1.05$： $$ \lambda_{\min}(W_{\alpha_\star}) \approx0.3122432495, $$ $$ \lambda_{\min}(S_{\alpha_\star}) \approx0.0698852338. $$ time step $0.005\to0.0025$ 時，Schur minimum 的變動約 $$ 2.68\times10^{-8}. $$ 這個變動只是實驗性 convergence indicator，不是 directed error bound。 ## 12. 研究判定 ### 12.1 已解決的問題 v0.6 已回答父節點的主要懷疑： > obstruction 不是 local bump dictionary 的假象。 證據不是只靠「換了一個更大的 basis 仍失敗」，而是： 1. nested spaces 顯示 obstruction 隨維度下降； 2. point extremal 與 direct Green solver 對到 $10^{-9}$； 3. frozen atomic measures 在更高 dimensions 持續穩定； 4. 同一 measures 在 explicit continuous Green kernel中仍給 $\alpha>1$； 5. infinite PSD 被精確降為有限 kernel Gram 與 $2\times2$ Schur test。 ### 12.2 尚未解決的問題 仍不能把 floating result 寫成 theorem instance，因為： - Green integrals 未做 directed rounding； - structural projection 未 interval-enclose； - positive solve 未 verified； - tail/count coefficients 未完成 theorem-backed interval transfer； - $H_0^2$ model 到 zeta explicit-formula admissibility 的完整接口未證明。 ### 12.3 Stop decision 因此： - 停止 notch dictionary search； - 停止 external lift scaling； - 停止更多 Galerkin dimensions； - 不重跑 primal construction； - 保存 rational 58+2 atomic witness； - 下一節點固定驗證 $\alpha=21/20$。 ## 13. v0.7 證書路徑 下一節點： `RH-IntervalGreenKernel-AtomicCertificate-20260725-v0.7` 工作分兩層。 ### 13.1 Layer A：abstract continuous extremal 以 exact rational finite data 與明確 continuous kernel，interval-enclose $$ S_{21/20}. $$ 目標是證明 $$ \lambda_{\min}(S_{21/20})>0. $$ 一旦完成，continuous weak duality 即給 $$ \Lambda_{16}\ge\frac{21}{20}. $$ ### 13.2 Layer B：zeta-facing coefficients 必須另行驗證： 1. $\kappa_R$ 真的是合法、保守的 tail coefficient； 2. $N_j$ 是帶完整假設的 count lower coefficients； 3. explicit-formula admissible tests與 $\mathcal H_R^0$ domain 的關係； 4. target patch 外所有 leakage regions； 5. local object 到 global RH statement 的全部量詞。 Layer A 是一個重要 analytic obstruction，但不能替代 Layer B。 ## 14. Trust boundary 本節點的正式結論是： > 在指定 clamped $H_0^2$ continuous axis/core model 中，trace-class primal > 具有 probability-measure weak dual；一軸點、一核心點模型可精確降為 > rank two。nested Galerkin 與獨立 Green solver 一致顯示，一個 58-axis、 > 2-core atomic measure 的 continuous-kernel floating threshold 為 > $1.1324412$。將資料有理化並固定 $\alpha=21/20$ 後，continuous PSD > 可精確降為 $2\times2$ Schur certificate，其 floating minimum 為 > $0.0698852$。因此下一步應做 interval certification，而非繼續擴大 > dictionary。 不能由本節點推出： - interval-certified continuous obstruction 已完成； - 所有 RH test-function architectures 都不可行； - target patch 中存在 zeta zero； - 未知偏軸零點的 global budget 已閉合； - RH 成立或不成立。 這一輪完成的是「從有限字典探索到可區間化連續核證書」的轉換，而不是 RH 終局。