工程紀錄 · 第三弧線起點 v1.1 · 2026-09-02 · CONDITIONAL_TRANSFER_CLOSED · GLOBAL_WEIL_ISOLATION_OPEN # 條件式偏軸 Cell 轉移、Weil 局部負慣性與 Li 全域壓縮 **RH-ConditionalOffAxisCell-ZetaTransfer v1.1** 本節點承接 AMRAL 黎曼猜想半自主研究第二弧線 v1.0。v1.0 已把抽象 Green 模型中的 $58$ 維局部位置盒證書，從 v0.9 的統一半徑 $2\times10^{-15}$ 嚴格提升到 $1.78\times10^{-6}$，並明確停止「繼續放大 local radius」作為主要研究方向。本節點不重新做局部覆蓋，而處理交接文件指定的下一個接口： $$ \text{hypothetical off-axis zeta zero} \Longrightarrow \text{legal occupancy cell}. $$ 本輪得到的核心結果是：**偏軸零點到有理 cell 的存在性 transfer 可以閉合；但原有只記錄 ordinate 的 occupancy representation 對實際 zeta 偏軸語義不足，必須顯式加入水平偏移自由度。** 在修正後的表示中，一個偏軸水平對稱 pair 對 Weil 零點側二次型天然誘導一個不定的 $2\times2$ block；使用兩個 multiplicative translates 即可在局部子空間中嚴格產生負慣性。然而這個局部負方向尚不能直接推出完整 Weil quadratic form 為負，真正未閉合的 GAP 已被壓縮為 **global isolation / dominance**。 **RH_CLAIM = False.** 本節點不宣稱證明或否證黎曼猜想。 --- ## 連接 · Connections 上一節點： - AMRAL v0.9：佔用算子族與覆蓋式 Green 證書 https://amral.evemisslab.com/riemann/semi-autonomous/p/proto-occupancy-operatorfamily-v0.9/ - AMRAL v1.0：局部區間 Green 位置覆蓋 https://amral.evemisslab.com/riemann/semi-autonomous/p/proto-localintervalgreen-cellcover-v1.0/ - AMRAL v0.1–v1.0：完整研究報告與 AI 交接 https://amral.evemisslab.com/riemann/semi-autonomous/p/proto-v0.1-v1.0-final-report-ai-handoff-v1.0/ v1.0 的正式研究邊界為： $$ \texttt{actual\_zeta\_occupancy\_family=false}, $$ $$ \texttt{global\_rh\_certificate=false}. $$ 交接文件指定下一節點： `RH-ConditionalOffAxisCell-ZetaTransfer-v1.1` 並要求下一步不要再以擴大 local radius 為主要目標。 本文件即為該節點的第一份續推稿。 --- ## 0. Claim register 本輪狀態： ```text RH_PROVED = FALSE RH_DISPROVED = FALSE OFFAXIS_TO_RATIONAL_CELL = TRUE ORDINATE_ONLY_TRANSFER_REPRESENTATION_SUFFICIENT = FALSE QUARTET_SYMMETRY_BLOCK_IDENTIFIED = TRUE LOCAL_NEGATIVE_INERTIA = TRUE ACTUAL_ZETA_OCCUPANCY_FAMILY = FALSE GLOBAL_WEIL_ISOLATION = FALSE GLOBAL_RH_CERTIFICATE = FALSE ``` 其中： - `OFFAXIS_TO_RATIONAL_CELL = TRUE` 是條件命題：若存在偏軸零點，則可把它放入一個有理的 off-axis cell。 - `LOCAL_NEGATIVE_INERTIA = TRUE` 是局部 Weil 零點 block 的結果，不等於完整 Weil quadratic form 已出現負證人。 - `GLOBAL_WEIL_ISOLATION = FALSE` 是目前真正的主要未閉合點。 - `RH_PROVED = FALSE` 與 `RH_DISPROVED = FALSE` 必須保留。 --- # 1. Representation correction：ordinate-only occupancy 不足 設一個非平凡零點為 $$ \rho=\beta+i\gamma. $$ 相對於臨界線，定義水平偏移 $$ \delta=\beta-\frac12. $$ RH 的幾何內容是 $$ \delta=0 $$ 對所有非平凡零點成立。 因此，只記錄 ordinate $$ \gamma $$ 不能區分 $$ \rho_0=\frac12+i\gamma $$ 與 $$ \rho_1=\frac12+\delta+i\gamma, \qquad \delta\neq0. $$ 兩者具有相同 ordinate，但只有第一個位於臨界線。 所以若 occupancy cell 要承載「實際 zeta 偏軸零點」的語義，最小表示至少必須包含 $$ C=I_\delta\times I_\gamma, $$ 而不能只使用 $$ C=I_\gamma. $$ 這裡的結論不是宣稱任何只使用 ordinate 的數學方法都不可能工作，而是： > 對目前 v0.9–v1.0 所需的「hypothetical off-axis zeta zero 到合法 occupancy cell」接口而言，ordinate-only representation 缺少直接表示 RH 違反量 $\delta$ 的自由度。 因此，本節點把 occupancy semantic state 從一維位置資料提升為至少二維： $$ (\delta,\gamma). $$ 若後續還要記錄 multiplicity、局部零點分離、證書半徑或 symmetry orbit，可再擴張成 $$ (\delta,\gamma,m,\text{cell metadata},\ldots), $$ 但 $\delta$ 與 $\gamma$ 是本接口不可丟失的核心座標。 --- # 2. 已知嚴格高度與偏軸 cell 的存在性 transfer Platt 與 Trudgian 已用 interval arithmetic 嚴格驗證： $$ 0<\gamma\le 3\times10^{12} \Longrightarrow \beta=\frac12, $$ 且該高度範圍內所有非平凡零點皆為 simple。 令 $$ H_0=3\times10^{12}. $$ 若 RH 為假，則存在非平凡零點 $$ \rho=\beta+i\gamma $$ 使得 $$ \beta\neq\frac12. $$ 由上述已驗證高度可知，可取 $$ |\gamma|>H_0. $$ 利用共軛對稱，可以選擇 $$ \gamma>H_0. $$ 再利用 functional-equation symmetry $$ \rho\longmapsto1-\rho, $$ 若必要，可選右半側代表，使 $$ \delta=\beta-\frac12>0. $$ 由非平凡零點位於臨界帶內， $$ 0<\beta<1, $$ 所以 $$ 0<\delta<\frac12. $$ 因此偏軸零點可以寫成 $$ \rho_+ = \frac12+\delta+i\gamma, $$ 其水平對稱點為 $$ \rho_- = \frac12-\delta+i\gamma. $$ 連同共軛對稱，形成 quartet $$ \frac12\pm\delta\pm i\gamma. $$ --- ## 2.1 有理 cell 因為有理數在實數中稠密，所以可選有理端點 $$ 0<\delta_-<\delta<\delta_+<\frac12 $$ 以及 $$ H_0<\gamma_-<\gamma<\gamma_+. $$ 定義 $$ C= [\delta_-,\delta_+] \times [\gamma_-,\gamma_+]. $$ 令 $N_\zeta(C)$ 表示右半側非平凡零點中，座標 $$ (\beta-\tfrac12,\gamma) $$ 落在 $C$ 內的零點數，計 multiplicity。 則有： ### Proposition 2.1 · Conditional off-axis rational-cell transfer 若 RH 為假，則存在有理 compact off-axis cell $$ C \subset \left(0,\frac12\right)\times(H_0,\infty) $$ 使 $$ N_\zeta(C)\ge1. $$ 也就是 $$ \boxed{ \neg RH \Longrightarrow \exists C\in\mathcal C_{\mathbb Q}^{\mathrm{off}} : N_\zeta(C)\ge1. } $$ 這一步的存在性 transfer 不需要再擴大 v1.0 的 local Green radius。 若後續需要「cell 中只含指定有限 orbit」之類更強的 isolation 性質，才需要使用 zeta 零點離散性與進一步的局部零點分離證書。 因此，本輪可把原 handoff 中最弱版本的 $$ \text{off-axis zero} \Longrightarrow \text{legal rational off-axis cell} $$ 標記為條件式 CLOSED。 --- # 3. Weil 零點側：偏軸 pair 產生不定 block Weil criterion 的核心之一，是 Riemann Hypothesis 等價於相應 Weil quadratic functional 的正半定性。對適當 test function $g$，令 Mellin transform 為 $$ G(s)=\int_0^\infty g(x)x^{s-1}\,dx. $$ 考慮上半平面的水平對稱 pair $$ s_+ = \frac12+\delta+i\gamma, $$ $$ s_- = \frac12-\delta+i\gamma. $$ 在標準 Weil spectral pairing 下， $$ 1-\overline{s_+}=s_-, $$ $$ 1-\overline{s_-}=s_+. $$ 因此，這一水平 pair 對零點側的局部貢獻，在所採 normalization 下可寫成 $$ q_{\delta,\gamma}^{+}(g) = 2m\, \operatorname{Re} \left( G(s_+)\overline{G(s_-)} \right), $$ 其中 $m$ 為 multiplicity。 若計入完整 quartet，可能依 normalization 多一個正的整體常數因子；以下 inertia 結論不受這個正因子影響。 令 $$ z= \begin{pmatrix} G(s_+)\\ G(s_-) \end{pmatrix}, $$ 以及 $$ J= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}. $$ 則 $$ q_{\delta,\gamma}^{+}(g) = m z^\ast Jz. $$ 而 $$ \operatorname{spec}(J)=\{-1,+1\}. $$ 所以，只要 $s_+$ 與 $s_-$ 真正是兩個不同 evaluation state，也就是 $$ \delta\neq0, $$ 局部 symmetry block 天然是不定的。 --- ## 3.1 臨界線退化 若 $$ \delta=0, $$ 則 $$ s_+=s_-= \frac12+i\gamma, $$ 局部貢獻退化為 modulus square： $$ q_{0,\gamma}^{+}(g) = 2m \left| G\left(\frac12+i\gamma\right) \right|^2 \ge0. $$ 所以局部結構呈現非常乾淨的分岔： $$ \boxed{ \delta=0 \Longrightarrow \text{positive square}. } $$ 而 $$ \boxed{ \delta\neq0 \Longrightarrow \text{two-state indefinite symmetry block}. } $$ 這個結構與 Bombieri 對 Weil quadratic functional 的有限截斷與負 eigenvalue 分析方向一致，但本節點只使用局部 pair block，不宣稱已重建 Bombieri 的完整全域 eigenvalue theorem。 --- # 4. 兩個 multiplicative translates 足以暴露局部負方向 定義 multiplicative translation $$ (\tau_a g)(x) = a^{-1/2}g(x/a), \qquad a>1. $$ 其 Mellin transform 滿足 $$ \widehat{\tau_a g}(s) = a^{s-\frac12}G(s). $$ 取兩個 test functions： $$ g_0=g, $$ $$ g_1=\tau_a g. $$ 在 $s_+$ 與 $s_-$ 上建立 evaluation matrix： $$ V= \begin{pmatrix} G(s_+) & a^{\delta+i\gamma}G(s_+) \\ G(s_-) & a^{-\delta+i\gamma}G(s_-) \end{pmatrix}. $$ 直接計算得 $$ \det V = G(s_+)G(s_-) a^{i\gamma} \left( a^{-\delta}-a^\delta \right), $$ 亦即 $$ \det V = -2a^{i\gamma} G(s_+)G(s_-) \sinh(\delta\log a). $$ 因此只要 $$ a>1, $$ $$ \delta>0, $$ 以及 $$ G(s_+)G(s_-)\neq0, $$ 就有 $$ \boxed{ \det V\neq0. } $$ 這表示 $\{g,\tau_ag\}$ 可以在 evaluation level 分辨水平 mirror pair。 --- ## 4.1 拉回 coefficient space 把局部 pair block 拉回由 $$ \{g,\tau_ag\} $$ 張成的二維 coefficient space，得到 Hermitian matrix $$ B = mV^\ast JV. $$ 行列式為 $$ \det B = m^2 \det(V^\ast) \det(J) \det(V). $$ 因為 $$ \det(J)=-1, $$ 所以 $$ \det B = -m^2|\det V|^2<0. $$ Hermitian $2\times2$ matrix 的 determinant 為負，故兩個實 eigenvalues 一正一負。 因此： ### Proposition 4.1 · Local negative inertia from two translates 若 $$ \delta>0, \qquad a>1, \qquad G(s_+)G(s_-)\neq0, $$ 則在 $$ \operatorname{span}\{g,\tau_ag\} $$ 中，偏軸水平 pair 所誘導的局部 Weil block 滿足 $$ \boxed{ \operatorname{inertia}(B)=(1,1). } $$ 因此存在 coefficient vector $$ c\neq0 $$ 使局部 pair contribution 為負。 這是一個純代數結論，不依賴浮點近似。 --- # 5. Cell 上非消失 seed function 的建構 上節需要 $$ G(s_+)G(s_-)\neq0. $$ 這不必被當成 lucky assumption。 令 $$ x=e^u. $$ 選 $$ \eta\in C_c^\infty(\mathbb R), $$ 滿足 $$ \eta(u)\ge0, $$ $$ \eta\not\equiv0, $$ 且 $$ \operatorname{supp}(\eta)\subset[-\varepsilon,\varepsilon]. $$ 定義 $$ g(e^u)=e^{-u/2}\eta(u). $$ 則 $$ G(s) = \int_{\mathbb R} \eta(u)e^{(s-\frac12)u}\,du. $$ 對 $$ s=\frac12+\delta+i\gamma, $$ 有 $$ G(s) = \int_{\mathbb R} \eta(u)e^{\delta u}e^{i\gamma u}\,du. $$ 其實部為 $$ \operatorname{Re}G(s) = \int_{\mathbb R} \eta(u)e^{\delta u}\cos(\gamma u)\,du. $$ 對一個 bounded cell $$ C= [\delta_-,\delta_+] \times [\gamma_-,\gamma_+], $$ 令 $$ \Gamma_C=\gamma_+. $$ 若選 $$ \Gamma_C\varepsilon<\frac{\pi}{4}, $$ 則對所有 $$ |u|\le\varepsilon $$ 與 $$ |\gamma|\le\Gamma_C $$ 都有 $$ \cos(\gamma u)>0. $$ 又因為 $$ \eta(u)e^{\delta u}\ge0, $$ 且不恆為零，所以整個 cell 上可得 $$ \operatorname{Re}G(s)>0. $$ 因此 $$ G(s)\neq0 $$ 在該 compact cell 上成立。 相同論證亦可作用於 $-\delta$ 的 mirror side。 --- ## 5.1 可驗證化 對 AMRAL 工程而言，可把這個 analytic construction 轉成： 1. rational cell input； 2. rational 或可嚴格包絡的 $\varepsilon$； 3. 明確 bump function； 4. interval arithmetic 計算； 5. 證明 $$ \inf_{s\in C}|G(s)|>0. $$ 這與 v0.9–v1.0 已採用的 interval-certificate 路線相容。 因此，局部 nonvanishing 不需要依賴數值猜測。 --- # 6. v1.1 的條件式主命題 把前面結果合在一起，可得到本節點的主要條件式敘述。 ### Theorem 6.1 · Conditional Off-Axis Quartet-Cell Transfer 若 RH 為假，則存在： - 一個有理 compact off-axis cell $$ C \subset \left(0,\frac12\right)\times(H_0,\infty), $$ - 一個 smooth compactly supported test function $g$， - 一個 rational parameter $$ a>1, $$ 使得： $$ N_\zeta(C)\ge1, $$ 且對 cell 中某一個 off-axis horizontal zero pair，其由 $$ \{g,\tau_ag\} $$ 生成的局部 Weil zero block 滿足 $$ \det B<0. $$ 因此 $$ \operatorname{inertia}(B)=(1,1). $$ 亦即： $$ \boxed{ \neg RH \Longrightarrow \exists \text{ rational off-axis cell carrying a local negative Weil direction}. } $$ 此處「local negative Weil direction」只指目標偏軸 symmetry block 在所構造二維 test-function subspace 的 restriction。 **它不等於完整 Weil quadratic form 已為負。** --- # 7. 真正未閉合的全域問題 完整 Weil quadratic form 不能只保留一個 target quartet。 把它示意拆成 $$ Q(g) = q_{\mathrm{target}}(g) + Q_{\mathrm{rest}}(g). $$ 本輪建立的是： $$ \exists g: q_{\mathrm{target}}(g)<0 $$ 在適當局部二維子空間中可以成立。 但這不能直接推出 $$ Q(g)<0, $$ 因為 $$ Q_{\mathrm{rest}}(g) $$ 包含其他全部零點與完整 explicit-formula 結構，其貢獻可能抵消 target block 的局部負值。 因此真正剩餘的 GAP 是： $$ \boxed{ \text{local quartet negative inertia} \Longrightarrow \text{global Weil negative witness}. } $$ 我們把它記為 $$ G_{\mathrm{global}}. $$ 更具體地，它至少包含以下幾個可能方向： 1. **Isolation**：建構 test function，使 target quartet 的 sampling 遠強於其他零點。 2. **Dominance**：證明 target negative contribution 在某個 canonical family 中最終壓過 rest。 3. **Frame / lower-bound control**：建立可控的 spectral decomposition，使局部負 block 不會在全域投影後消失。 4. **Arithmetic-side certificate**：不直接逐零點隔離，而在 explicit formula 的 prime side 建立等價負證人。 5. **Discrete criterion compression**：改用 Li / Keiper-Li sequence，把連續零點位置量詞轉成離散 index。 所以 v1.1 的真正進展不是 RH closure，而是把之前模糊的「實際 zeta 零點位置量詞」進一步壓縮為一個明確的 global isolation / dominance problem。 --- # 8. Li criterion：把連續全域量詞壓縮成離散序列 令 $$ w_\rho = 1-\frac1\rho. $$ 若 $$ \rho=\beta+i\gamma, $$ 則 $$ |w_\rho|^2 = \frac{|\rho-1|^2}{|\rho|^2}. $$ 直接展開： $$ |w_\rho|^2 = 1+\frac{1-2\beta}{|\rho|^2}. $$ 因此若 $$ \beta<\frac12, $$ 則 $$ \boxed{ |w_\rho|>1. } $$ 若 RH 為假，由 functional-equation symmetry 必有左半側偏軸零點，所以至少存在某個 transformed zero 滿足上述嚴格不等式。 另一方面，當 $$ |\gamma|\to\infty, $$ 由 $$ 0<\beta<1 $$ 可得 $$ |w_\rho|\to1. $$ 因此只要存在偏軸零點，就可以考慮一個有限的 extremal set，使 $$ R= \max_\rho |w_\rho|>1 $$ 在該 set 上達到。 對其餘零點可取得 gap $$ |w_\rho|\le R-\eta $$ 於非 extremal 部分成立，適當理解並配合 Bombieri–Lagarias 對零點 multiset 與收斂性的處理。 再利用 simultaneous Diophantine approximation，可選出無限多個整數 $n$，使 extremal phases 近乎同步。 於是 extremal contribution 以 $$ R^n $$ 尺度增長，而非 extremal 部分受 $$ (R-\eta)^n $$ 控制。 這是 Bombieri–Lagarias 對 Li criterion 反向方向的核心 amplification mechanism 之一。 --- ## 8.1 Li coefficients Li coefficients 可寫成 $$ \lambda_n = \sum_\rho \left[ 1- \left( 1-\frac1\rho \right)^n \right], \qquad n=1,2,3,\ldots $$ 並以標準的對稱與極限方式理解該零點和。 Li 的 theorem 給出： $$ \boxed{ RH \Longleftrightarrow \lambda_n\ge0 \quad \forall n\ge1. } $$ 因此若 RH 為假，Bombieri–Lagarias 的 amplification 證明會迫使相應 Li-type sums 在某些 $n$ 出現負值；在其 theorem 的對稱 multiset 設定下，這種負值可無限多次出現。 因此原本的連續零點位置問題 $$ (\beta,\gamma) \in (0,1)\times\mathbb R $$ 可以轉成 canonical discrete family： $$ n\in\mathbb N. $$ 也就是： $$ \neg RH \Longrightarrow \exists n: \lambda_n<0. $$ 更強的 Bombieri–Lagarias 分析在適當設定下給出無限多次 negativity。 這個轉換並沒有降低 RH 本身的數學難度，因為證明 $$ \lambda_n\ge0 \quad \forall n $$ 仍然與 RH 等價。 但它對 AMRAL 的工程化研究很重要，因為 global quantifier 的研究介面可以從「無界連續位置空間」改成「canonical countable sequence」。 --- # 9. 對 v0.9–v1.0 路線的含義 v0.9–v1.0 的主要技術成果是在抽象 Green 模型中建立可重播的局部 position certificate。 本輪顯示： 1. 單純繼續放大 local radius 不會自動補上 actual-zeta semantics。 2. 實際偏軸零點需要顯式水平偏移座標 $\delta$。 3. 偏軸 symmetry 本身已提供局部不定性。 4. 真正難點不是「局部能否出現負方向」，而是「如何讓局部負方向成為全域 Weil 負證人」。 5. Li / Bombieri–Lagarias criterion 提供另一條離散化 global quantifier 的自然接口。 因此下一輪不應把主要算力繼續投入： $$ h \longmapsto \text{larger certified local radius}. $$ 而應投入： $$ \text{global isolation}, $$ $$ \text{spectral dominance}, $$ 或 $$ \text{Li-sequence arithmetic certification}. $$ --- # 10. 外部一致性：compact-window positivity 的新障礙訊號 2026-08-25，Marcus Chuk 在 arXiv 上發布預印本 *Weil positivity in compact windows: certified two-sided bounds and a Landau--Widom decay law*。 該工作研究 support window $$ [-L,L] $$ 上的 Weil positivity profile，並在 $$ L=0.8 $$ 給出無條件嚴格下界 $$ Q(f) \ge 8.9\times10^{-18}\|f\|_2^2 $$ 對 support 長度 $1.6$ 的複值 test functions 成立。 同一工作亦指出某類 pointwise-envelope certificate 若隨 $L$ 擴張，必須處理的頻率尺度可達 $$ T_1 = 2\pi e^{A_L}, $$ 其中 $$ A_L\sim4e^L, $$ 形成 double-exponential barrier。 這份工作截至本文件日期仍是近期預印本，不能作為本研究自己的 proof step；但它提供了一個外部一致性訊號： > 單純把 compact window / local support 持續放大，未必是走向全域 RH closure 的有效工程策略。 這與 AMRAL v1.0 handoff 的「不要再以放大 local radius 為主要目標」方向相容。 --- # 11. GAP ledger ## CLOSED / CONDITIONAL-CLOSED ### G1. Off-axis zero to rational cell 狀態： ```text CONDITIONAL_CLOSED ``` 若 RH 為假，可把一個偏軸零點放入有理 compact off-axis cell。 --- ### G2. Missing horizontal coordinate 狀態： ```text MODEL_CORRECTION_IDENTIFIED ``` 對本 transfer interface，ordinate-only occupancy 不足；需保留 $$ \delta=\beta-\frac12. $$ --- ### G3. Local off-axis symmetry block 狀態： ```text CLOSED ``` 偏軸 horizontal pair 在 Weil spectral pairing 中形成不定的二狀態 block。 --- ### G4. Two-translate local negative inertia 狀態： ```text CONDITIONAL_CLOSED ``` 在 cell 上建構 nonvanishing Mellin seed，並取 $$ a>1, $$ 可使二維 restriction matrix 滿足 $$ \det B<0. $$ --- ## OPEN ### G5. Actual-zeta occupancy semantics 狀態： ```text OPEN ``` 需把 AMRAL 目前抽象 occupancy operator family 與實際 zeta zero orbit、multiplicity、cell semantics 完整接合。 --- ### G6. Global Weil isolation / dominance 狀態： ```text OPEN ``` 需證明局部 target quartet 的負方向可提升成完整 Weil quadratic form 的負 witness，或找到等價的 global arithmetic contradiction。 --- ### G7. Universal Li positivity certificate 狀態： ```text OPEN ``` Li criterion 把問題壓成 $$ \lambda_n\ge0 \quad \forall n\ge1, $$ 但仍缺 universal all-$n$ proof。 --- ### G8. Global RH certificate 狀態： ```text OPEN ``` 目前沒有： $$ RH $$ 的完整 proof，也沒有反例。 --- # 12. 建議下一節點 原本 v1.0 交接指定的 `RH-ConditionalOffAxisCell-ZetaTransfer-v1.1` 可以視為已取得第一階段條件式閉合。 下一節點建議命名： `RH-LiExtremal-GlobalCompression-v1.2` 主要任務不是重新證明 Li criterion，而是建立 AMRAL 自己可驗證、可重播的 global-compression ledger： 1. 固定 Li coefficient normalization 與 zero-sum convention。 2. 把 Bombieri–Lagarias extremal-modulus argument 形式化成 dependency graph。 3. 明確分離： - known theorem； - AMRAL 新推導； - computational certificate； - still-open universal step。 4. 尋找是否存在比直接 all-$n$ positivity 更適合 AMRAL 目前 Green / PSD 架構的 arithmetic surrogate。 5. 對有限 $n$ 做嚴格 interval / exact arithmetic certificate，但明確禁止把有限驗證誤寫成全域 RH 證明。 6. 若要回到 Weil 路線，主攻 target isolation / dominance，不再主攻 local-radius expansion。 --- # 13. Trust boundary 本文件必須維持以下邊界： ```text RH_CLAIM = FALSE GLOBAL_RH_CERTIFICATE = FALSE GLOBAL_WEIL_ISOLATION = FALSE ACTUAL_ZETA_OCCUPANCY_FAMILY = FALSE ``` 本輪真正建立或整理的是： ```text OFFAXIS_TO_RATIONAL_CELL = TRUE REPRESENTATION_REQUIRES_HORIZONTAL_OFFSET = TRUE LOCAL_OFFAXIS_BLOCK_IS_INDEFINITE = TRUE TWO_TRANSLATES_CAN_EXPOSE_LOCAL_NEGATIVE_INERTIA = TRUE ``` 但以下推論目前**禁止**： $$ \text{local negative block} \not\Longrightarrow \text{full Weil form negative} $$ 在沒有額外 isolation / dominance theorem 前，不能把局部負慣性提升成全域 RH conclusion。 同樣地： $$ \text{finite Li verification} \not\Longrightarrow RH. $$ 任何有限高度、有限 $n$、有限 cell、有限 matrix 的計算，都只能按其實際量詞範圍登錄。 --- # 14. 目前一句話狀態 > v1.1 已把「假設存在偏軸 zeta 零點」嚴格轉移到帶有水平偏移座標的有理 off-axis cell，並證明該偏軸 symmetry pair 可由兩個 multiplicative translates 在局部 Weil restriction 中產生負慣性；但從局部負 block 到完整 Weil quadratic form 的全域 isolation / dominance 仍未閉合。下一步應轉向 Li-extremal 或其他 global-compression 架構，而不是繼續放大 local Green radius。 --- # 15. References 1. AMRAL, **佔用算子族與覆蓋式 Green 證書 · v0.9**. https://amral.evemisslab.com/riemann/semi-autonomous/p/proto-occupancy-operatorfamily-v0.9/ 2. AMRAL, **局部區間 Green 位置覆蓋 · v1.0**. https://amral.evemisslab.com/riemann/semi-autonomous/p/proto-localintervalgreen-cellcover-v1.0/ 3. AMRAL, **v0.1–v1.0 完整研究報告與 AI 交接**. https://amral.evemisslab.com/riemann/semi-autonomous/p/proto-v0.1-v1.0-final-report-ai-handoff-v1.0/ 4. Dave Platt and Tim Trudgian, **The Riemann hypothesis is true up to $3\cdot10^{12}$**, *Bulletin of the London Mathematical Society* 53 (2021), 792–797. DOI: https://doi.org/10.1112/blms.12460 arXiv: https://arxiv.org/abs/2004.09765 5. Enrico Bombieri, **Remarks on Weil's quadratic functional in the theory of prime numbers, I**, *Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni* 11 (2000), 183–233. EUDML: https://eudml.org/doc/252338 BDM: https://www.bdim.eu/item?id=RLIN_2000_9_11_3_183_0 6. Xian-Jin Li, **The Positivity of a Sequence of Numbers and the Riemann Hypothesis**, *Journal of Number Theory* 65 (1997), 325–333. DOI: https://doi.org/10.1006/jnth.1997.2137 7. Enrico Bombieri and Jeffrey C. Lagarias, **Complements to Li's Criterion for the Riemann Hypothesis**, *Journal of Number Theory* 77 (1999), 274–287. DOI: https://doi.org/10.1006/jnth.1999.2392 8. Marcus Chuk, **Weil positivity in compact windows: certified two-sided bounds and a Landau--Widom decay law**, arXiv:2608.24827, submitted 2026-08-25. https://arxiv.org/abs/2608.24827 --- # 16. Provenance 研究主導：Neo.K 本節點續推與整理：ChatGPT / GPT-5.6 Sol 日期：2026-09-02 研究定位：AMRAL 黎曼猜想半自主研究線之續接工程稿。 本文件是研究 source artifact，不是 peer-reviewed publication；所有 claim 應依 Claim register 與 Trust boundary 解讀。