# 分帶、多測試函數與自適應覆蓋證書族

## RH 等變算術障礙研究的半 AI 自主節點 v0.1

**研究日期：** 2026-07-24  
**技術研究主導：** OpenAI Codex（AI 研究協作者）  
**研究場域與授權：** Neo.K／EveMissLab  
**證據等級：** E2 浮點研究證據  
**定理狀態：** 未證明 RH，亦未得到全域支配證書

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## 摘要

上一節點已經辨認出真正的障礙：找到一個偏軸矩形上的一致負區塊，
並不足以壓過臨界線零點、未知偏軸區域與無窮尾部的正貢獻。單一測試
函數即使能同時保持算術純量為正，也可能因軸上洩漏而失敗數千倍。

本節點把研究單位由「一個函數、一個矩形」改成：

$$
\text{分帶}
\;+\;
\text{多測試函數正錐}
\;+\;
\text{交錯覆蓋證書族}.
$$

最初的 $3\times2$ 粗覆蓋揭露出近軸數值災難；僅沿距軸方向加密並
不能解決。真正有效的調整是各向異性的：越靠近對稱軸，越縮短高度窗。
最後採用 18 個有理矩形；遠軸高度寬為 $0.20$，近軸高度寬為 $0.10$。

在不使用任何已知 zeta 零點縱座標做最佳化的條件下，本節點生成 72
個 rank-one 候選，並以非負線性錐組合。18 個核心全部通過
$161\times121$ 密網格負性檢查，也全部通過一個刻意粗糙的浮點
$L^1$-Lipschitz 符號審核。

與六格粗覆蓋相比，自適應覆蓋使最壞軸能量下降約 $215.13$ 倍，
前 50 零點 holdout 質量下降約 $85.83$ 倍，原型尾界下降約
$479.69$ 倍。然而，單位負裕量下的部分全域餘量仍落在約
$-8.97$ 到 $-20.40$，全部失敗。

因此，本節點沒有得到全域矛盾；但它排除了兩條錯誤路線：

1. 只做距軸細分而不縮短高度窗；
2. 期待對角非負錐自動改善主要軸洩漏。

下一個合理節點不是繼續盲目切矩形，而是把對角錐升級為 PSD Gram
錐，利用 off-diagonal cross terms 改變偏軸相位，同時保持實軸非負。

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## 1. 研究歸屬與自主邊界

本節點是在研究交接後由 AI 研究端自主決定數學架構、實驗設計、
失敗標準與下一步。Neo.K／EveMissLab 的角色是提供既有研究場域、
前序材料、繼續研究的授權與未來審閱位置。

因此，本稿採取下列歸屬原則：

- 既有檔案中的命題按原檔保留；
- 本節點的分帶規格、目標函數、LP 架構、數值解讀與下一節點決策，
  歸屬 AI 研究判斷；
- 不把 AI 的技術選擇倒寫成 Neo.K 的數學主張；
- 數值成功不解讀為人類或 AI 已證明定理。

這項區分不是署名裝飾，而是證據鏈的一部分。半自主研究若沒有清楚
記錄「誰授權、誰判斷、誰驗證」，後續很容易把探索性結論誤當成人類
已背書的定理。

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## 2. 從單窗失敗到證書族

對實偶緊支撐函數 $\psi$，令

$$
G_\psi(w)
=
\int_{\mathbb R}\psi(t)e^{iwt}\,dt.
$$

其偏軸軌道區塊寫成

$$
B_\psi(w)
=
2\operatorname{Re}\!\left(G_\psi(w)^2\right).
$$

若某個目標矩形 $K$ 上有

$$
\sup_{w\in K}B_\psi(w)\le-c_K<0,
$$

這只建立局部負方向。要形成全域矛盾，仍需

$$
\Delta_K
=
c_K
-E_{\mathrm{axis}}
-E_{\mathrm{guard}}
-E_{\mathrm{other}}
-E_{\mathrm{tail}}
>0.
$$

上一節點的單一函數在這個條件上明確失敗。因此，本輪不再追求一個
函數同時負責所有幾何位置，而是令不同函數負責不同局部相位，再以
保持正性的錐來聚合。

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## 3. 為何不是先把函數相加再平方

若先令

$$
g_\lambda=\sum_r\lambda_rg_r
$$

再形成 $g_\lambda*\widetilde g_\lambda$，Fourier 側會出現

$$
\left(\sum_r\lambda_rG_r(w)\right)^2,
$$

其中含有未受控的交叉項。這已經不是線性證書族，也不能直接由每一個
候選的算術純量推出聚合後的算術正性。

本節點先採最保守的線性正錐：

$$
f_\lambda
=
\sum_r\lambda_r
\left(g_r*\widetilde g_r\right),
\qquad
\lambda_r\ge0.
$$

於是

$$
B_\lambda(w)
=
\sum_r\lambda_r
2\operatorname{Re}\!\left(G_r(w)^2\right),
$$

且

$$
Q_{\mathrm{arith}}(f_\lambda)
=
\sum_r\lambda_rQ_{\mathrm{arith}}(f_r).
$$

對實數 $t$，因 $g_r$ 為實偶函數，$G_r(t)$ 為實數，所以

$$
B_\lambda(t)
=
2\sum_r\lambda_rG_r(t)^2
\ge0.
$$

這使每個區域證書都可以用線性規劃求解，且證據接口清楚。其代價是
只能使用「對角」自由度；這個限制最後也成為本輪的主要負結果。

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## 4. 不再記住零點：軸帶能量

上一輪採用有限個已知零點消去條件

$$
G(\gamma_k)=0.
$$

這雖能降低已知前綴，卻迅速壓縮算術正子空間，也無法自然控制未知
零點。為避免把候選函數訓練成一張零點表，本輪候選生成完全不讀取
$\gamma_k$。

取三個連續實軸帶：

$$
[14,35],\qquad[35,70],\qquad[70,145],
$$

定義

$$
E(\psi)
=
\sum_I
\int_I
|G_\psi(t)|^2
\left(
1+\frac{\log(1+t)}{2\pi}
\right)\,dt.
$$

這不是無條件 $dN_{\mathrm{maj}}$ 證書，而是一個不依賴個別零點位置的
連續代理。前 50 個零點縱座標只在候選與錐權重確定後才讀入，計算

$$
Z_{50}(\lambda)
=
\sum_r\lambda_r
\sum_{n=1}^{50}|G_r(\gamma_n)|^2.
$$

所以「沒有使用零點縱座標最佳化」是程式層面的可重播事實。不過這
不等於統計學上的獨立樣本，因為連續能量帶仍覆蓋同一高度範圍。

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## 5. 粗覆蓋為何失敗

第一版母域為

$$
K=[20,20.5]\times[-0.2,-0.1],
$$

並使用三個高度窗與兩個距軸窗，共六格。所有格子在有限網格上都可
找到負候選，但上層距軸窗 $[-0.16,-0.1]$ 出現極端尺度放大：

- 最壞軸帶能量約 $10521.35$；
- 最壞前 50 零點質量約 $1122.65$；
- 最壞尾部原型界約 $4063.66$；
- 六格只有三格通過粗 Lipschitz 符號審核。

接著只把距軸方向分成四層。結果顯示最靠軸、仍含 $y=-0.1$ 的一層
幾乎維持相同災難。這說明問題不是單純的垂直帶太寬，而是高度方向
的相位一致性成本在靠軸時急遽增加。

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## 6. 自適應各向異性覆蓋

最終覆蓋採四個重疊距軸層：

$$
\begin{aligned}
Y_0&=[-0.200,-0.160],\\
Y_1&=[-0.170,-0.135],\\
Y_2&=[-0.145,-0.115],\\
Y_3&=[-0.125,-0.100].
\end{aligned}
$$

對 $Y_0,Y_1$，使用三個寬 $0.20$ 的高度窗：

$$
[20,20.2],\quad[20.15,20.35],\quad[20.3,20.5].
$$

對更靠軸的 $Y_2,Y_3$，使用六個寬 $0.10$ 的高度窗：

$$
\begin{aligned}
&[20,20.10],\ [20.08,20.18],\ [20.16,20.26],\\
&[20.24,20.34],\ [20.32,20.42],\ [20.40,20.50].
\end{aligned}
$$

總數為

$$
3+3+6+6=18.
$$

所有端點以十進位有理數解讀。程式把端點切成原子矩形，檢查每個
開胞腔的中點與全部邊界探針，證明沒有有理間隙；另以
$501\times301$ 網格獨立核對，最小覆蓋重數為一。

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## 7. 候選生成與兩階段 LP

基底延續前一節點的 24 維實偶緊支撐 polynomial-bump family。只施加
兩個結構條件：

$$
G(0)=0,
\qquad
G(i/2)=0.
$$

沒有 imposed $G(\gamma_k)=0$。約束後並以 $C_0$ 白化，維度為 22。

每個 patch 使用四個軸能量 penalty：

$$
\mu\in
\{0,\ 1.5\times10^{-4},\ 2\times10^{-4},\ 2.5\times10^{-4}\},
$$

故候選總數為

$$
18\times4=72.
$$

每一候選滿足

$$
\|\psi_r\|_{C_0}=1,
\qquad
Q_{\mathrm{arith}}(\psi_r)\ge5\times10^{-5}.
$$

對每個 patch，第一階段 LP 在核心負值正規化為 $-1$ 的條件下，最小化
軸帶能量。第二階段允許最多 5% 軸能量 slack，轉而最小化 guard 正峰。
若密核心網格發現違反點，exchange loop 會把最壞點加入 active set。

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## 8. 主要數值結果

### 8.1 局部符號

18 個 patch 的 dense-core maximum 都不大於

$$
-0.99999999999989.
$$

把 $L^1$ 與一階矩估計代入粗 Lipschitz 上界後，18 格仍全部為負。
最壞者為

$$
-0.3715422433640927.
$$

這是浮點、數值積分下的連續符號代理，不是 interval arithmetic 證書。

### 8.2 自適應覆蓋的量級改善

粗六格與自適應 18 格的最壞量比較如下：

| 指標 | 粗六格 | 自適應 18 格 | 改善倍數 |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 軸帶能量 | 10521.354469 | 48.907282 | 215.13 |
| 前 50 零點 holdout 質量 | 1122.654086 | 13.079704 | 85.83 |
| $145$ 以上尾部原型界 | 4063.657732 | 8.471493 | 479.69 |
| 最壞部分缺口絕對值 | 5196.499341 | 20.401803 | 254.71 |

這不是細微調參，而是覆蓋幾何改變了問題的數值條件數。

### 8.3 多函數錐的真實作用

若只最小化軸帶能量，所有 patch 的最優值都與最佳單一候選一致到
約 $10^{-12}$ 的相對浮點尺度。也就是說，對角非負錐的第一階段最優
解落在極端射線上。

當允許小量軸能量 overhead 後，多函數混合能改善 transition layer
$Y_1$ 的 guard：

- X0_Y1 改善約 $1.93\%$；
- X1_Y1 改善約 $9.41\%$；
- X2_Y1 改善約 $18.06\%$。

因此，多函數不是沒有作用；它負責的是邊界相位整形，而不是降低
主要軸洩漏。

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## 9. 為何仍然失敗

令核心負裕量正規化為一，先只計入已知前 50 軸上質量、尾部原型界
與 guard：

$$
\Delta_\alpha^{\mathrm{partial}}
=
1
-Z_{50,\alpha}
-E_{\mathrm{tail},\alpha}
-E_{\mathrm{guard},\alpha}.
$$

18 格全部滿足

$$
\Delta_\alpha^{\mathrm{partial}}<0,
$$

範圍約為

$$
-20.40
\le
\Delta_\alpha^{\mathrm{partial}}
\le
-8.97.
$$

而這還沒有收取所有未知偏軸區域的正貢獻。因此失敗不是證書精度的
小問題，而是當前 rank-one diagonal cone 的負裕量／洩漏比例仍差至少
一個數量級。

同時，目標窗沒有 winding certificate，並未證明其中存在 zeta 零點。
即使部分預算為正，也仍不能直接推出 RH 矛盾。

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## 10. 本輪真正得到的數學判斷

### 判斷 A：分帶必須各向異性

靠近對稱軸時，距軸方向與高度方向不能使用固定解析度。最佳化需要
更短的高度相位窗。這是一個由 ablation 支持的 E2 結論。

### 判斷 B：局部符號已不再是主要瓶頸

18 格全部通過粗連續符號代理後，剩餘缺口仍為 $9$ 到 $20$ 倍。繼續
只加密網格不會自動修復全域預算。

### 判斷 C：對角錐的能量前緣退化

Stage-one LP 一致選擇單一極端射線。若希望改善主要軸洩漏，必須增加
目前錐中不存在的自由度。

### 判斷 D：下一自由度是 PSD cross terms

令一組基函數 transform 組成向量

$$
\mathbf G(w)
=
\begin{bmatrix}
G_1(w)&\cdots&G_m(w)
\end{bmatrix}^{\mathsf T}.
$$

對

$$
A\succeq0,
$$

考慮

$$
B_A(w)
=
2\operatorname{Re}
\left(
\mathbf G(w)^{\mathsf T}
A
\mathbf G(w)
\right).
$$

在實軸上，

$$
B_A(t)
=
2\mathbf G(t)^{\mathsf T}A\mathbf G(t)
\ge0,
$$

但偏軸 cross terms 可以改變相位幾何。算術量與各種積分代理都可寫成
$\operatorname{tr}(AQ)$、$\operatorname{tr}(AE)$ 等線性函數，問題因而
可提升為凸 SDP。

本輪的 nonnegative conic family 正是 $A$ 為 diagonal 的特例。實驗
已經指出 diagonal frontier 的限制，因此 PSD 升級不是任意擴張，而是
由失敗資料直接導出的最小下一步。

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## 11. 下一節點規格

下一輪建議命名為：

> `RH_PSD_Gram_Banded_Global_Dominance_v0.2`

核心任務：

1. 固定本輪 18 格自適應覆蓋，不再先增加 patch 數；
2. 在每個局部 basis 上求解 $A_\alpha\succeq0$；
3. 同時約束核心負值、guard、算術純量、連續軸能量與 Sobolev／尾部
   roughness；
4. 輸出 diagonal-cone 與 full-Gram Pareto frontier；
5. 若 full-Gram 可把部分缺口推到正值，再加入未知偏軸分帶預算；
6. 只有當浮點餘量顯著大於所有誤差時，才投入 interval rounding 與
   獨立 verifier；
7. 若 full-Gram 仍穩定停在負餘量，整理成此基底與支撐半徑下的
   結構性不相容結果。

停止條件應預先寫明：

$$
\Delta_{\mathrm{global}}>0
$$

與

$$
Q_{\mathrm{arith}}>0
$$

必須同時以外向區間成立，才能宣告全球候選通過。任何 SLSQP、LP 或
SDP 的成功旗標都不等於定理。

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## 12. 結論

本節點沒有證明 RH；它做了更基礎但必要的工作：把「分帶、多測試
函數、覆蓋式證書族」從口號變成一個可重播、可失敗、可比較的研究
機器。

最重要的正結果是：

$$
\text{自適應高度細分}
\Longrightarrow
\text{近軸災難下降兩到三個數量級}.
$$

最重要的負結果是：

$$
\text{diagonal cone}
\not\Longrightarrow
\text{更佳主要軸能量前緣}.
$$

因此，研究路線現在比上一輪更窄、更清楚：保留自適應覆蓋，升級到
PSD Gram cross terms，並把全域支配餘量而非局部負性作為唯一接受
標準。