# 軸抑制與全窗洩漏感知最佳化器
## 有限臨界線消去、算術正錐維度塌縮與偏軸控制窗交換法

**英文題名：** *Axis-Suppressed Global-Window Optimizer: Finite Critical-Line Annihilation, Collapse of the Arithmetic-Positive Cone, and Off-Axis Exchange Constraints*  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-24  
**性質：** RH 工程研究／浮點有限維診斷原型  
**狀態：** 不是 RH 證明；不是區間證書

---

## 摘要

前一輪已經量化：現有局部負證書的負裕量，遠小於臨界線零點產生的正質量。本輪因此不再只最大化單一目標矩形的負性，而建立同時具有：

1. 有限臨界線取樣消去；
2. 算術二次值下界；
3. 目標矩形負性；
4. 有限偏軸控制窗交換限制；
5. 導數能量與剩餘軸上質量診斷；

的聯合最佳化原型。

測試空間由支撐於 \([-3,3]\) 的 24 個實偶 paired-bump 基底構成。在：

\[
G(0)=0,\qquad G(i/2)=0
\]

之外，再加入：

\[
G(\gamma_j)=0,\qquad 1\le j\le q.
\]

這裡的消去是有限基底與浮點求積模型中的線性等式，不是形式化零點證書。

本輪最重要的結果不是找到全域負窗，而是確認一個三方取捨：

\[
\boxed{
\text{軸上消去增加}
\Longrightarrow
\text{算術正方向維度下降}
\Longrightarrow
\text{目標及全窗相位自由度縮小}.
}
\]

在本基底中，算術正特徵方向由 \(q=0\) 時的 12 個，下降至 \(q=12\) 時的 1 個；當 \(q=15\) 時完全消失。

---

# 1. 為何控制窗不能直接貼住臨界線

若 \(\psi\) 實偶，則對實數 \(x\)：

\[
G(x)\in\mathbb R.
\]

因此：

\[
B(x)=2\operatorname{Re}(G(x)^2)=2G(x)^2\ge0.
\]

若非零整函數 \(G\) 在一個偏軸區域中滿足：

\[
B(x+iy)\le0,
\]

而該區域的閉包包含一段實軸開區間，令 \(y\to0\) 可得：

\[
G(x)=0
\]

在該區間成立。由整函數恆等定理：

\[
G\equiv0.
\]

因此非平凡測試函數不可能在一路貼到實軸的整個鄰域中保持軌道區塊非正。必須保留：

\[
|\operatorname{Im}w|\ge\beta_{\min}>0.
\]

完整路線只能研究 \(\beta_{\min}\downarrow0\) 時的成本，而不能用單一非零函數一次覆蓋到軸。

---

# 2. 基底改造

先前的全域 cosine-window 基底在加入少量軸上消去條件後，算術正方向快速消失。本輪改用局部 paired-bump：

\[
\phi_j(t)
=
b\left(\frac{t-a_j}{h}\right)
+
b\left(\frac{t+a_j}{h}\right),
\]

其中：

\[
b(u)=
\begin{cases}
(1-u^2)^3,& |u|<1,\\
0,& |u|\ge1.
\end{cases}
\]

此基底自動實偶、緊支撐且具有較多局部自由度。

---

# 3. 有限臨界線消去

令：

\[
\Gamma_q=\{\gamma_1,\ldots,\gamma_q\}.
\]

加入：

\[
G(\gamma_j)=0,\qquad \gamma_j\in\Gamma_q.
\]

有限軸上前綴的直接模平方貢獻因此被模型消去。但每一個條件都會降低約束後空間的維度，也會改變算術矩陣的慣性指標。

---

# 4. 算術正方向塌縮

掃描結果：

| \(q\) | 約束後維度 | 算術正方向 | 最大算術特徵值 |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | 22 | 12 | 5.89381875 |
| 4 | 18 | 8 | 0.42111899 |
| 8 | 14 | 4 | 0.00290303 |
| 10 | 12 | 2 | 0.00203168 |
| 12 | 10 | 1 | 0.00119356 |
| 15 | 7 | 0 | -0.00014260 |

所以在本基底、本支撐與本離散化中：

\[
q=15
\Longrightarrow
\text{約束子空間內不存在算術正方向}.
\]

這不是一般不可能定理，卻證明「消去更多軸上零點」不是免費操作。

---

# 5. 目標矩形

目標矩形為：

\[
K=[20,20.5]+i[-0.2,-0.1].
\]

每個 \(q\) 下解有限 minimax：

\[
\min_c\max_{w\in K_{\rm grid}}B_w(c),
\]

約束：

\[
c^\top C_0c=1,
\]

\[
c^\top M_{\rm arith}c\ge\delta_q,
\]

以及所有消去條件。

在 \(q=0\) 時，目標負裕量約為 \(1.95\times10^{-5}\)。加入兩至四個軸上消去條件後，負裕量下降到約 \(6\times10^{-7}\)。在更多條件下，共同負錐逐漸接近退化。

---

# 6. 全窗交換法

控制窗採用：

\[
W=[10,60]+i[-0.45,-0.05].
\]

先在稀疏控制點上解：

\[
\min_c\max_{w\in W_{\rm active}}B_w(c),
\]

同時要求目標矩形保持負值及算術二次值保持正值。再到較密網格找出最壞點，加入活動限制集合後重解。

這是一個半無限二次限制問題的浮點交換法原型。

---

# 7. 選定 \(q=12\) 候選

候選在有限模型中的最大線性條件殘差為：

\[
1.7333621857e-16.
\]

正規化：

\[
c^\top C_0c
\approx 1.
\]

算術值：

\[
Q_{\rm arith}
\approx 5.00000000001e-05>0.
\]

密集目標網格：

\[
\max_{w\in K}B(w)
\approx -2.64607989612e-08<0.
\]

前五十個軸上取樣中，扣除前十二個消去點後：

\[
\sum_{n=13}^{50}|G(\gamma_n)|^2
\approx 0.000154365729672.
\]

此量仍約為目標負裕量的：

\[
5833.75
\]

倍。

---

# 8. 全窗非正化失敗

在高密度有限控制窗網格上：

\[
\max_{w\in W\setminus K}B(w)
\approx 0.267543612562>0.
\]

最大控制窗正峰約為目標負裕量的：

\[
1.011e+07
\]

倍。

因此目前有限模型中可以同時成立：

\[
\text{有限軸上消去}
+
\text{目標負性}
+
\text{算術正值},
\]

但加入：

\[
B(w)\le0
\qquad
\forall w\in W
\]

後仍未找到可行解。

---

# 9. 幾何解讀

現在真正研究的是四個集合的交：

\[
\mathcal C_{\rm target-},
\qquad
\mathcal C_{\rm axis0},
\qquad
\mathcal C_{\rm arith+},
\qquad
\mathcal C_{\rm window-}.
\]

有限維結果顯示：

- 前三者存在交集；
- 加入第四者後未找到交集；
- 隨 \(q\) 增加，\(\mathcal C_{\rm arith+}\) 的維度快速塌縮。

---

# 10. 下一個節點

接下來不應只增加懲罰權重，而應改變證書結構。

## 10.1 支撐與維度掃描

研究：

\[
R=3,4,5,6
\]

及更高基底維度，確認正錐維度塌縮是否只是低維現象。

## 10.2 分帶證書

把偏軸帶分成淺、中、深區域，由不同測試函數負責，而不是要求單一函數控制整個臨界帶。

## 10.3 證書覆蓋族

尋找有限或可數測試函數族：

\[
\{G_\alpha\}_{\alpha\in A},
\]

使每個可能偏軸軌道至少被某個成員負向捕捉，而算術側能對整個族給出可加的正性證書。

---

# 11. 合法結論

本輪可合法確認：

\[
\boxed{
\text{有限數量的臨界線取樣可以在同一有限模型中被消去，}
\text{且仍保留目標負性與算術正值。}
}
\]

同時也確認：

\[
\boxed{
\text{消去條件會快速壓縮算術正方向；}
\text{單一函數的全偏軸窗非正化在現有基底中失敗。}
}
\]

因此下一階段應由「單一全域測試函數」轉向：

\[
\boxed{
\text{分帶、多證書、覆蓋式零點障礙系統。}
}
\]