# RH-W-17：腔室感知切分與事件薄層

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-07-24  
**狀態：** `CERTIFIED_CHAMBER_AWARE_EVENT_SUBDIVISION`  
**範圍聲明：** 本文只研究固定有限維 mixed-order Weil 字典上的參數腔室切分，不證明或反證黎曼猜想。

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## 摘要

RH-W-14 至 RH-W-16 的參數管都要求整個參數盒位於同一個 spline polynomial chamber 中；一旦某個 $\pm\log p^k$ 樣本可能跨越 spline knot，舊流程便整盒拒絕。

本輪第一次建立：

$$
\boxed{
\text{事件面定位}
\rightarrow
\text{穩定腔室／事件薄層切分}
\rightarrow
\text{逐區間嚴格矩陣}
\rightarrow
\text{exact }LDL^T
\rightarrow
\text{腔室鄰接圖}
}
$$

示範事件為

$$
\boxed{4d=\log 2},
$$

它使最遠 lag 的 $n=2$ 樣本同時穿過 correlation degree $3,5,7$ 的中央 spline knot。整個過程中 active prime powers 保持為

$$
\{2,3,4\},
$$

改變的是 polynomial piece 身分，而不是算術樣本的進場或退場。

系統將 master interval 切成三個閉區間：

$$
C_0=[0.17328669,0.17328679],
$$

$$
C_1=[0.17328679,0.17328680],
$$

$$
C_2=[0.17328680,0.17328690].
$$

其中 $C_1$ 嚴格包含 $\log2/4$。純有理 verifier 證明：

$$
\boxed{
\lambda_{\min}(M(d),G(d))>10^{-8}
\quad
\forall d\in C_0\cup C_1\cup C_2.
}
$$

因此第一次得到不刪除事件面的完整閉區間覆蓋。

---

## 1. 固定字典

固定尺度與相對平移：

$$
h=\frac{1797}{10000},
\qquad
\sigma=0.
$$

使用兩族基底：

- basis degree $m=1$，五個平移；
- basis degree $m=3$，五個平移。

總維度為十，相關核 degree 為

$$
1\times1\to3,
\qquad
1\times3\to5,
\qquad
3\times3\to7.
$$

中心位置為

$$
t_j=(j-2)d,
\qquad j=0,1,2,3,4.
$$

最遠一對基底的 center difference 為

$$
c=-4d.
$$

---

## 2. 事件方程

對樣本 $x=-\log2$，中央 knot 的方程為

$$
x=c,
$$

所以

$$
-\log2=-4d,
$$

即

$$
\boxed{d_*=\frac{\log2}{4}}.
$$

嚴格有理區間計算給出

$$
d_*
\in
[0.173286795139986327354308\ldots,
 0.173286795139986327354309\ldots].
$$

它被完整包含於事件薄層

$$
C_1=[0.17328679,0.17328680].
$$

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## 3. 同時多正則性事件

事件不是只作用於一個 block。對最遠 lag，以下 oriented entries 同時碰到中央 knot：

- $m=1$ self block，correlation degree $3$；
- $m=1/3$ cross block，correlation degree $5$；
- $m=3$ self block，correlation degree $7$。

計入方向與矩陣對稱位置，共有八個 oriented event witnesses。

因此這是一個：

$$
\boxed{
\text{SIMULTANEOUS CENTRAL SPLINE KNOT CROSSING}
}
$$

而不是單一矩陣元素的偶然切換。

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## 4. 為何事件薄層可以直接驗證

degree-$r$ cardinal B-spline 屬於

$$
C^{r-1}.
$$

本字典的最小 correlation degree 為 $r=3$，所以所有相關核至少為

$$
C^2.
$$

因此，即使區間跨越 knot，矩陣元素仍有全域有界二階導數。線性 interpolation remainder

$$
|F(d)-L(d)|
\le
\frac12
\sup|F''|
\rho_d^2
$$

仍然成立。

這是本輪的核心：

> 固定 polynomial piece 是生成簡潔公式的便利條件，但不是跨 knot 正性證書的必要條件；只要核的二階正則性足夠，就可以用事件薄層封住切換面。

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## 5. 三區間切分

### 5.1 左腔室 $C_0$

$$
C_0=[0.17328669,0.17328679].
$$

嚴格滿足

$$
4d<\log2.
$$

$n=2$ 樣本位於中央 knot 的固定一側，所有事件 entries 使用左 polynomial piece。

### 5.2 事件薄層 $C_1$

$$
C_1=[0.17328679,0.17328680].
$$

包含

$$
4d=\log2.
$$

本區間不宣稱固定 piece，而以左右 endpoint matrices 的凸組合加二階 remainder，直接覆蓋整個切換層。

### 5.3 右腔室 $C_2$

$$
C_2=[0.17328680,0.17328690].
$$

嚴格滿足

$$
4d>\log2.
$$

$n=2$ 樣本位於中央 knot 的另一側，使用右 polynomial piece。

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## 6. 算術腔室沒有改變

master interval 的最大相關支撐半徑為

$$
R_{\max}=4(0.17328690)+4(0.1797)=1.4119476.
$$

而

$$
R_{\max}<\log5.
$$

所以整個區間中 active von Mangoldt indices 始終為

$$
\boxed{2,3,4}.
$$

四個 endpoint matrices 的 activation graph 完全相同。

因此：

$$
\boxed{
\text{activation graph 不變}
\quad\text{但}\quad
\text{polynomial piece 改變}.
}
$$

這證明「prime-power chamber」與「spline-piece chamber」是兩層不同的離散結構。

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## 7. 嚴格矩陣證書

每一個 cell 使用：

$$
M(d)
=
(1-t)M(d_-)+tM(d_+)+R_M(d),
$$

$$
G(d)
=
(1-t)G(d_-)+tG(d_+)+R_G(d).
$$

採用 RH-W-15 修正後的二階 Weil bounds：

$$
L_3^{(2)}=2494,
\qquad
L_5^{(2)}=3110,
\qquad
L_7^{(2)}=3697.
$$

左右穩定腔室的最大 combined row remainder 為

$$
2.5526250009290203\times10^{-10},
$$

事件薄層只有

$$
2.5526250009290200\times10^{-12}.
$$

對每個 endpoint，純有理 verifier 檢查

$$
C-10^{-8}G-(\epsilon_{\rm point}+\epsilon_{\rm cell})I\succ0.
$$

三個 closed cells 全部通過。

因此：

$$
\boxed{
M(d)-10^{-8}G(d)\succ0
\quad
\forall d\in[0.17328669,0.17328690].
}
$$

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## 8. 數值觀察

以下只作探索，不進入證書：

| $d$ | midpoint $\lambda_0$ |
|---:|---:|
| 0.17328669 | $2.1880721932\times10^{-7}$ |
| 0.17328679 | $2.1880755243\times10^{-7}$ |
| 0.17328680 | $2.1880758603\times10^{-7}$ |
| 0.17328690 | $2.1880791895\times10^{-7}$ |

最低模態平滑穿越事件面，未出現折角、負值或 mode swap。

這與 B-spline 的正則性一致：中央 knot 切換 polynomial formula，但函數及前兩階導數保持連續。

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## 9. 腔室鄰接圖

本輪產生第一個可機讀的 adjacency graph：

$$
\boxed{
C_0^{\rm left}
\longleftrightarrow
C_1^{\rm event}
\longleftrightarrow
C_2^{\rm right}
}
$$

其資料保存在：

- `chamber_adjacency_graph.json`
- `event_surface_catalog.csv`
- `chamber_subdivision_certificate.json`

這是未來多參數盒自動切分的最小原型。

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## 10. 計算契約

jump-resolved exponential power recurrence 使用前

$$
K=1500
$$

項，而不是先前固定的 $K=5000$。剩餘部分仍由正的 geometric tail 嚴格包絡，因此降低的是成本，不是嚴格性。

最寬的已存矩陣 interval 約為

$$
1.936\times10^{-12},
$$

且 80 位 mpmath 對四個 endpoints 的 degree-$3/5/7$ 事件敏感 entries 全部落在嚴格區間內。

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## 11. 結論

RH-W-17 關閉了先前的「跨事件面整盒拒絕」限制：

$$
\boxed{
\text{固定腔室}
+
\text{事件薄層}
+
\text{鄰接圖}
}
$$

現在可以組成完整閉參數域證書。

它沒有找到 Weil 負方向，也沒有推進到 RH 證明；其研究價值在於讓參數延拓第一次可以合法穿過 spline chamber boundary，而不是停在邊界前。